трусики женские украина

На головну

 Потік вектора через поверхню. Застосування теореми Гаусса як метод розрахунку полів в симетричних випадках - Математика

М.І. Векслер, Г.Г. Зегря

Для вирішення завдань застосовується вираз

 = Qinside

що є комбінацією рівняння Максвелла з теоремою Гауса: - власне теорема Гаусса, - рівняння Максвелла ().

Eслі- деякий вектор, то- потік векторачерез поверхню. Зокрема, у вищенаведеному виразі варто потік вектора. Векторний елемент площі. Орт нормалізавісіт від геометрії завдання:

=

Задача. Заряд q розташований в точці (0, 0, l). Знайти потік векторачерез коло радіуса R c центром на початку координат, що лежить в площині xy.

Рішення: В площині xy зарядом створюється поле

При обчисленні потоку нам буде потрібно величина, десь вектор нормалі до кола, який у всіх точках орієнтований однаково, а саме поїли. Приймемо для визначеності

Тоді, оскільки, а, маємо:

В останньому виразі зроблений перехід до полярних координат: r - це відстань від початку координат у площині xy. Тепер можна робити інтегрування по площі круга:

 ? =

=

=

Задача. Обчислити потік векторачерез сферу радіуса R.

Відповідь: ? = 4? Ra

Теорема Гаусса вірна завжди (це математичний закон), але допомагає тільки в симетричних випадках, коли очевидна геометрія поля. У декартовом випадку заряд повинен змінюватися тільки уздовж однієї координати (наприклад x), в циліндричному - тільки залежно від віддалення від осі циліндра r, а в сферичному теж тільки від r, але r - видалення від центру кулі. Тоді при правильному виборі гаусом поверхні потік обчислюється дуже просто, так какпараллелен векторуна частини поверхні і ортогонален йому на інший її частини.

Вибір гаусом поверхні при розрахунку поля в точці x (або r):

- Площинна геометрія: циліндрична поверхня будь-якої форми перетину yz і будь-який його площі (S), що займає область (-? ... x) уздовж осі x;

- Сферична геометрія: сфера радіуса r

- Циліндрична геометрія: циліндрична поверхня круглого перетину радіуса r, що має довільну довжину L уздовж осі z.

 = Dr (r) · 4? r2 - сферична геометрія

 Dr (r) · 2? r L - циліндрична

 Dx (x) · S - Dx (-?) · S - плоска геометрія

Dx (-?) ? 0 тільки в некоректних завданнях. При цьому Dx (-?) = -qinside (x = + ?) / 2S.

Як записати qinside для різних геометрій? Якщо ми розрізняємо між зарядами ?, ?, ?, q (тобто не намагаємося все звести до ?, приписуючи йому і нескінченні значення), то

 qinside =

qc - точковий заряд в центрі, ?i - заряди концентричних сфер радіусів Ri (таких сфер може бути довільна кількість), аінтегрірует об'ємний заряд. Аналогічно в іншій геометрії: ?a - заряджена нитка по осі циліндра z, ?i - заряди циліндрів радіусів Ri.

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена як ? (x) = ? x2; при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x), застосовуючи теорему Гаусса.

Рішення: Почати слід з знаходження поля як функції координати Ex (x). Беремо гауссову поверхню у вигляді циліндричної поверхні, що займає область (-? ... x) уздовж осі x і має площу перерізу S в площині yz.

Оскільки

ми маємо вираз теореми Гаусса у вигляді

=

Залежно від того, в який діапазон потрапляє x (x <-a, -aa), ліва частина дає

=

=

 = 0, x <-a

Підставляючи qinside в теорему Гаусса, з урахуванням Dx = ?0Ex отримуємо поле:

Тепер можна знайти ? c урахуванням умови ? | x = 0 = 0, застосовуючи формулу

в якій x може бути як більше, так і менше нуля. Відповідно, для кожного з трьох відрізків, на яких знайдено Ex, отримуємо:

 ? (x) =

=

=

Як бачимо, в підсумку виходить той же результат, який був раніше отриманий шляхом рішення рівняння Пуассона.

Задача. Є дві концентричні заряджені сфери (?1, R1 і ?2, R2). Знайти Er (r) і ? (r).

Рішення: За теоремою Гаусса,

 qinside = 4? r2 Dr (r) = 4? ?0 r2 Er

причому

 qinside = 0 при r 4??1R12 при R1 4??1R12 + 4??2R22 при r> R2

Cоответственно, поле на кожній з ділянок буде

 Er = 0 при rПри обчисленні потенціалу ми повинні обчислити інтеграл. При цьому необхідно правильно виписувати Er на каждoм ділянці:

 ? (r) =

=

 ? (r) =

=

 ? (r) =

=

У цих виразах для ? (r) можливі очевидні алгебраїчні спрощення, але ми залишимо їх у такому вигляді, оскільки в подальших завданнях вони нам будуть потрібні саме такими.

Задача. Мається рівномірно заряджений за обсягом (?0) нескінченно довгий циліндр круглого перетину радіуса R. Знайти поле Er (r) і потенціал ? (r); при обчисленні потенціалу покласти ? | r = 0 = 0.

Рішення: В циліндричній системі координат при наявності тільки об'ємного заряду маємо:

 = Dr (r) · 2? r L = qinside

 qinside =

Тут L - довільно вибрана довжина уздовж осі циліндра, яка далі скорочується. При обчисленні qinside необхідно роздільно розглядати випадки rR:

 qinside =

Після цього, так як Dr = ?0Er, отримуємо поле:

 Er (r) =

 Er (r) =

Потенціал знаходиться інтегруванням Er з обумовленим в задачі умовою ? | r = 0 = 0:

 ? (r) =

 ? (r) =

=

З виду отриманого ? (r) ясно, що на нескінченності потенціал виявляється нескінченним. Це наслідок некоректності ситуації: описаний в задачі циліндр має нескінченну довжину і несе нескінченний сумарний заряд, чого на практиці бути не може. Щоб уникнути проблем, що виникають при природному умови ? | r = ? = 0, штучно задано ? | r = 0 = 0.

Список літератури

1. І.Є. Іродів, Завдання з загальної фізики, 3-е изд., М .: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с .; або 2-е вид., М .: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е вид., М .: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е вид., М .: Наука, 1992. - 661 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://edu.ioffe.ru/r

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка