На головну

 Потік вектора через поверхню. Застосування теореми Гаусса як метод розрахунку полів в симетричних випадках - Математика

М.І. Векслер, Г.Г. Зегря

Для вирішення завдань застосовується вираз

 = Qinside

що є комбінацією рівняння Максвелла з теоремою Гауса: - власне теорема Гаусса, - рівняння Максвелла ().

Eслі- деякий вектор, то- потік векторачерез поверхню. Зокрема, у вищенаведеному виразі варто потік вектора. Векторний елемент площі. Орт нормалізавісіт від геометрії завдання:

=

Задача. Заряд q розташований в точці (0, 0, l). Знайти потік векторачерез коло радіуса R c центром на початку координат, що лежить в площині xy.

Рішення: В площині xy зарядом створюється поле

При обчисленні потоку нам буде потрібно величина, десь вектор нормалі до кола, який у всіх точках орієнтований однаково, а саме поїли. Приймемо для визначеності

Тоді, оскільки, а, маємо:

В останньому виразі зроблений перехід до полярних координат: r - це відстань від початку координат у площині xy. Тепер можна робити інтегрування по площі круга:

 ? =

=

=

Задача. Обчислити потік векторачерез сферу радіуса R.

Відповідь: ? = 4? Ra

Теорема Гаусса вірна завжди (це математичний закон), але допомагає тільки в симетричних випадках, коли очевидна геометрія поля. У декартовом випадку заряд повинен змінюватися тільки уздовж однієї координати (наприклад x), в циліндричному - тільки залежно від віддалення від осі циліндра r, а в сферичному теж тільки від r, але r - видалення від центру кулі. Тоді при правильному виборі гаусом поверхні потік обчислюється дуже просто, так какпараллелен векторуна частини поверхні і ортогонален йому на інший її частини.

Вибір гаусом поверхні при розрахунку поля в точці x (або r):

- Площинна геометрія: циліндрична поверхня будь-якої форми перетину yz і будь-який його площі (S), що займає область (-? ... x) уздовж осі x;

- Сферична геометрія: сфера радіуса r

- Циліндрична геометрія: циліндрична поверхня круглого перетину радіуса r, що має довільну довжину L уздовж осі z.

 = Dr (r) · 4? r2 - сферична геометрія

 Dr (r) · 2? r L - циліндрична

 Dx (x) · S - Dx (-?) · S - плоска геометрія

Dx (-?) ? 0 тільки в некоректних завданнях. При цьому Dx (-?) = -qinside (x = + ?) / 2S.

Як записати qinside для різних геометрій? Якщо ми розрізняємо між зарядами ?, ?, ?, q (тобто не намагаємося все звести до ?, приписуючи йому і нескінченні значення), то

 qinside =

qc - точковий заряд в центрі, ?i - заряди концентричних сфер радіусів Ri (таких сфер може бути довільна кількість), аінтегрірует об'ємний заряд. Аналогічно в іншій геометрії: ?a - заряджена нитка по осі циліндра z, ?i - заряди циліндрів радіусів Ri.

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена як ? (x) = ? x2; при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x), застосовуючи теорему Гаусса.

Рішення: Почати слід з знаходження поля як функції координати Ex (x). Беремо гауссову поверхню у вигляді циліндричної поверхні, що займає область (-? ... x) уздовж осі x і має площу перерізу S в площині yz.

Оскільки

ми маємо вираз теореми Гаусса у вигляді

=

Залежно від того, в який діапазон потрапляє x (x <-a, -aa), ліва частина дає

=

=

 = 0, x <-a

Підставляючи qinside в теорему Гаусса, з урахуванням Dx = ?0Ex отримуємо поле:

Тепер можна знайти ? c урахуванням умови ? | x = 0 = 0, застосовуючи формулу

в якій x може бути як більше, так і менше нуля. Відповідно, для кожного з трьох відрізків, на яких знайдено Ex, отримуємо:

 ? (x) =

=

=

Як бачимо, в підсумку виходить той же результат, який був раніше отриманий шляхом рішення рівняння Пуассона.

Задача. Є дві концентричні заряджені сфери (?1, R1 і ?2, R2). Знайти Er (r) і ? (r).

Рішення: За теоремою Гаусса,

 qinside = 4? r2 Dr (r) = 4? ?0 r2 Er

причому

 qinside = 0 при r 4??1R12 при R1 4??1R12 + 4??2R22 при r> R2

Cоответственно, поле на кожній з ділянок буде

 Er = 0 при rПри обчисленні потенціалу ми повинні обчислити інтеграл. При цьому необхідно правильно виписувати Er на каждoм ділянці:

 ? (r) =

=

 ? (r) =

=

 ? (r) =

=

У цих виразах для ? (r) можливі очевидні алгебраїчні спрощення, але ми залишимо їх у такому вигляді, оскільки в подальших завданнях вони нам будуть потрібні саме такими.

Задача. Мається рівномірно заряджений за обсягом (?0) нескінченно довгий циліндр круглого перетину радіуса R. Знайти поле Er (r) і потенціал ? (r); при обчисленні потенціалу покласти ? | r = 0 = 0.

Рішення: В циліндричній системі координат при наявності тільки об'ємного заряду маємо:

 = Dr (r) · 2? r L = qinside

 qinside =

Тут L - довільно вибрана довжина уздовж осі циліндра, яка далі скорочується. При обчисленні qinside необхідно роздільно розглядати випадки rR:

 qinside =

Після цього, так як Dr = ?0Er, отримуємо поле:

 Er (r) =

 Er (r) =

Потенціал знаходиться інтегруванням Er з обумовленим в задачі умовою ? | r = 0 = 0:

 ? (r) =

 ? (r) =

=

З виду отриманого ? (r) ясно, що на нескінченності потенціал виявляється нескінченним. Це наслідок некоректності ситуації: описаний в задачі циліндр має нескінченну довжину і несе нескінченний сумарний заряд, чого на практиці бути не може. Щоб уникнути проблем, що виникають при природному умови ? | r = ? = 0, штучно задано ? | r = 0 = 0.

Список літератури

1. І.Є. Іродів, Завдання з загальної фізики, 3-е изд., М .: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с .; або 2-е вид., М .: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е вид., М .: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е вид., М .: Наука, 1992. - 661 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://edu.ioffe.ru/r

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com