На головну

 Провідники в електричному полі. Електростатичний метод зображень - Математика

М.І. Векслер, Г.Г. Зегря

Поле всередині провідника дорівнює нулю, тому провідники геометрично обмежують область, де повинні вирішуватися рівняння електростатики. На поверхні провідника ? = const (еквіпотенційної). Це досягається індукуванням залежної від координати поверхневої густини заряду ?. Поле ортогонально до поверхні провідника, але не обов'язково однорідно. Заряд ? на поверхні пов'язаний з полем як ? = ?0E.

Метод зображень полягає в заміні системи "заряди + провідна поверхня" на систему "заряди + зображення". Правила побудови зображень забезпечують еквіпотенційної необхідної поверхні. Для точкового заряду q, розташованого на відстані l від площини або центру сфери, а також для прямого нитки ?, розташованої на відстані l від осі циліндра:

площину q > q '= -q, l > l' = l

заземлена сфера q > q '= -qR / l, l > l' = R2 / l

циліндр ? > -?, l > l '= R2 / l

Якщо сфера не заземлена, то треба ще додатково поставити заряд + qR / l в початок координат. Циліндр і площину заземлені за визначенням (вони тягнуться до нескінченності, де ? = 0).

Основним практичним випадком є ??провідна площину: наприклад Земля. Він легко узагальнюється на систему зарядів (ниток, кілець і т. Д.) - Всю її треба відобразити відносно площини.

Задача. Точковий заряд q знаходиться на відстані l від провідній площині. Знайти щільність індукованого заряду як функцію відстані r від проекції заряду на площину.

Відповідь:

Задача. Нескінченна пряма нитка, несуча заряд ? на одиницю довжини, висить над провідної площиною на відстані l від неї. Знайти розподіл електричного поля і поверхневої густини індукованого заряду поблизу площини.

Рішення: Спочатку знаходимо поле однієї нитки по теоремі Гаусса, потім відображаємо нитку і шукаємо поле від нитки-зображення -?, далі векторно підсумовуємо ці поля. Після цього можна знайти ? в будь-якій точці як -?0 · Ewire + image.

Поле однієї нитки на відстані s від неї одно

і направлено від осі нитки або до неї. Тому поле однієї нитки в площині на відстані x від проекції нитки на площину буде ():

Таке ж по абсолютній величині поле створюється ниткою-зображенням. При векторному підсумовуванні полів двох ниток паралельні площини компоненти знищуються, а перпендикулярні їй - подвоюються:

Відповідно, маємо щільність індукованого заряду:

Проінтегрувавши ? (x) по x від -? до + ?, можна переконатися, що сумарний індукований заряд на одиницю довжини проекції нитки становить -?, як і повинно бути.

Задача. Дуже довга рівномірно заряджена зарядом ?0 нитка розташована по осі z і не доходить до провідній площині xy на відстань l. Знайти поле поблизу площини xy як функцію відстані r від початку координат.

Відповідь:

Задача. На відстані l від центру заземленою сфери радіуса RРішення: За правилами розміщення заряду-зображення, поміщаємо заряд -qR / l в точку на осі "центр сфери - заряд q", віддалену від центру на відстань R2 / l. Тоді відстань від заряду-зображення до найближчої до заряду точки сфери буде R-R2 / l. У цій точці і поле від істинного заряду, і поле від заряду-зображення направлені до центру сфери, а їх сума за абсолютною величиною буде

 Enear =

=

Відразу ж знаходиться ?:

Аналогічно знаходимо щільність індукованого заряду в віддаленій точці, тільки там поле від заряду q направлено від центру, а від зображення - на центр. Сума цих полів виявляється спрямованої до центру і по модулю рівний:

 Efar =

так що

Список літератури

1. І.Є. Іродів, Завдання з загальної фізики, 3-е изд., М .: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с .; або 2-е вид., М .: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е вид., М .: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е вид., М .: Наука, 1992. - 661 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://edu.ioffe.ru/r

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com