трусики женские украина

На головну

 Геометрія Лобачевського - Математика

Геометрія Лобачевського

Зміст

Введення

Глава I. Історія виникнення неевклідової геометрії

1.1 V постулат Евкліда, спроби його докази

1.2 Постулати паралельності Евкліда і Лобачевського

Глава II. Геометрія Лобачевського

2.1 Основні поняття

2.2 Несуперечність геометрії Лобачевського

2.3 Моделі геометрії Лобачевського

2.4 Дефект трикутника і багатокутника

2.5 Абсолютна одиниця довжини в геометрії Лобачевського

2.6 Визначення паралельної прямій. Функція П (х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практична частина

1. Сума кутів трикутника

2. Питання про існування подібних фігур

3. Основна властивість паралелізму

4. Властивості функції П (х)

Висновок. Висновки

Додатки

Список використаної літератури

Введення

Дана робота показує схожість і відмінності двох геометрій на прикладі докази одного з постулатів Евкліда і продовження цих понять у геометрії Лобачевського з урахуванням досягнень науки на той момент.

Будь-яка теорія сучасної науки вважається вірною, поки не створена наступна. Це своєрідна аксіома розвитку науки. Цей факт багаторазово підтверджувався.

Фізика Ньютона переросла в релятивістському, а та - в квантову. Теорія флогістону стала хімією. Така доля всіх наук. Доля ця не оминула геометрію. Традиційна геометрія Евкліда переросла в геометрії. Лобачевського. Саме цього розділу науки присвячена ця робота.

Мета даної роботи: розглянути відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда.

Завдання даної роботи: порівняти теореми геометрії Евкліда з аналогічними теоремами геометрії Лобачевського;

за допомогою вирішення завдань вивести положення геометрії Лобачевського.

Висновки: 1. Геометрія Лобачевського побудована на відмові від п'ятого постулату Евкліда.

2. У геометрії Лобачевського:

не існує подібних трикутників, які не рівні;

два трикутника рівні, якщо їх кути рівні;

сума кутів трикутника не дорівнює 1800, а менше (сума кутів трикутника залежить від його розмірів: чим більше площа, тим сильніше відрізняється сума від 1800; і навпаки, чим менше площа, тим ближче сума його кутів до 1800);

через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, паралельної даній.

Рекомендації: Я пропоную використовувати цю роботу як додаткову літературу в класах з поглибленим вивченням математики.

Глава 1. Історія виникнення неевклідової геометрії

1.1 V постулат Евкліда, спроби його докази

Евклід - автор першого дійшов до нас суворого логічного побудови геометрії. У ньому виклад на стільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моменту появи його праці «Начала» воно було єдиним керівництвом для вивчаючих геометрію.

«Начала» складаються з 13 книг, присвячених геометрії та арифметики в геометричному викладі.

Кожна книга «Почав» починається визначенням понять, які зустрічаються вперше. Слідом за визначеннями Евклід приводить постулати і аксіоми, тобто твердження, що приймаються без доведення.

V постулат Евкліда свідчить: і щоб усякий раз, коли пряма при перетинанні із двома іншими прямими утворює з ними односторонні внутрішні кути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з того боку, з якою ця сума менше двох прямих.

Найважливішим недоліком системи евклідових аксіом, включаючи і його постулати, є її неповнота, тобто недостатність їх для строго логічного побудови геометрії, при якому кожна пропозиція, якщо воно не фігурує в списку аксіом, повинно бути логічно виведено їх останніх. Тому Евклід при доказі теорем не завжди ґрунтувався на аксіомах, а вдавалися в інтуїції, до наочності і «чуттєвим» сприйняттям. Наприклад, поняття «між» він приписував чисто наочний характер; він мовчазно припускав, що пряма, що проходить через внутрішню точку кола, неодмінно повинна перетнути її в двох сторч. При цьому він грунтувався тільки на наочності, а не на логіці; докази цього факту він ніде не дав, і дати не міг, так як у нього були відсутні аксіоми безперервності. Немає в нього і деяких інших аксіом, без яких суворо логічне доведення теорем неможливо.

Але ніхто не сумнівався в істинності постулатів Евкліда, що стосується і V постулату. Тим часом вже в давнину саме постулат про паралельні привернув до себе особливу увагу ряду геометрів, що вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Ймовірно, це було пов'язано з відносно меншою очевидністю і наочністю V постулату: у неявному вигляді він припускає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частин площині, висловлюючи властивість, яка виявляється тільки при нескінченному продовженні прямих.

Сам Евклід і багато вчених намагалися довести постулат про паралельні. Одні намагалися довести постулат про паралельних, застосовуючи тільки інші постулати й ті теореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Всі такі спроби виявилися невдалими. Їх загальний недолік в тому, що в доказі неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рівносильне доказуваному постулату. Інші пропонували по-новому визначити паралельні прямі або ж замінити V постулат яким-небудь, на їхню думку, більш очевидним пропозицією.

Але багатовікові спроби докази п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, що відрізняється тим, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в Росії носить ім'я Лобачевського, який вперше опублікував роботу з її викладом.

І однією з передумов геометричних відкриттів Н.І Лобачевського (1792-1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський він був твердо впевнений в об'єктивному і не залежних від людської свідомості існування матеріального світу і можливості його пізнання. У промові «Про найважливіших предметах виховання» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф. Бекона: «залиште трудитися марно, намагаючись витягти їх одного розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини і на всі питання ваші буде відповідати вам неодмінно і задовільно ». У своєму творі «Про основи геометрії», що є першою публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевський писав: «перші поняття, з яких починається яка-небудь наука, повинні бути ясні й наведені до самого меншому числу. Тоді тільки вони можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; вродженим - не повинно вірити ».

Перші спроби Лобачевського довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року він прийшов до переконання в тому, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда і 11 (23) лютого 1826 зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь «Стислий виклад початків геометрії із строгим доказом теореми про паралельні», в якому були викладені початку відкритої їм «уявної геометрії», як він називав систему, пізніше отримала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826 увійшов до складу першої публікації Лобачевського по неевклідової геометрії - статті «Про основи геометрії», надрукованій у журналі Казанського університету «Казанський вісник» в 1829-1830гг. подальшому розвитку і додатків відкритої їм геометрії були присвячені мемуари «Уявна геометрія», «застосування уявної геометрії до деяких інтегралів» і «Нові початку геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані в «Учених записках» відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 рр . Перероблений текст «уявної геометрії» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшли окремою книгою німецькою мовою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевського. Нарешті, в 1855 і 1856 рр. він видав у Казані російською та французькою мовами «Пангеометрія». Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, який провів Лобачевського (1842) в члени-кореспонденти Геттінгенського вченого товариства, колишнього по суті Академією наук Ганноверського королівства. Однак у пресі з оцінкою нової геометричної системи Гаусс не виступив.

1.2 Постулати паралельності Евкліда і Лобачевського

Основним пунктом, звідки починається поділ геометрії на звичайну евклидову (вживану) і неевклідову (уявну геометрію або «Пангеометрія») є, як відомо, постулат про паралельні лінії.

В основі звичайної геометрії лежить припущення, що через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, яка визначається цією точкою і прямий, не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму. Той факт, що через точку, що не лежить на даній прямій, проходить принаймні одна пряма, не яка перетинає цю пряму, відноситься до «абсолютної геометрії», тобто може бути доведений без допомоги постулату про паралельні лінії.

Пряма ВВ, через Р під прямим кутом до перпендикуляру РQ, опущеному на АА1, не перетинає прямий АА1; ця пряма в геометрії Евкліда називається паралельної до АА1.

На противагу постулату Евкліда, Лобачевський приймає в основу побудови теорії паралельних ліній наступну аксіому:

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, яка визначається цією точкою і прямою, більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

Звідси безпосередньо випливає існування нескінченно безлічі прямих, що проходять через одну і ту ж точку і не перетинають дану пряму. Нехай пряма СС1не перетинає АА1; тоді всі прямі, що проходять всередині двох вертикальних кутів ВРС і В1РС1, також не перетинаються з прямою АА1.

Глава 2. Геометрія Лобачевського.

2.1 Основні поняття

У мемуарах «Про основи геометрії» (1829) Лобачевський насамперед відтворив свою доповідь 1826р.

Він визначає основні поняття геометрії, які не залежать від V постулату, і помітивши, що сума кутів прямолінійного трикутника не може бути>, як це має місце у сферичних трикутників, Лобачевський заявляє: «Ми бачили, що сума кутів прямолінійного трикутника не може бути>. Залишається припускати цю суму = або <. Те й інше може бути прийняте без всякого протиріччя згодом, від чого і відбувається дві Геометрії: одна, вживана донині по своїй простоті, погоджується з усіма вимірами насправді; інша, уявна, більш загальна і тому скрутна у своїх обчисленнях, допускає можливість залежності ліній від кутів ».

Лобачевський вказує, що в «уявної геометрії» сума кутів трикутника завжди <і дві прямі можуть не перетинатися у разі, коли вони утворюють з січною кути, у сумі менше. Паралельні прямі визначаються як такі, що не перетинаються, але можуть бути отримані граничним переходом з пересічних. Через кожну точку площини

проходять дві прямі, паралельні даній прямій, що лежить у цій площині; ці прямі ділять пучок прямих, що проходять через дану точку, на чотири області, у двох з яких проходять прямі, які перетинають дану пряму, а в двох - прямі, які не перетинають цю пряму не можуть бути отримані граничним переходом з пересічних - такі прямі називаються розбіжними ; паралельні прямі розмежовують перетинають прямі від розбіжних (на рис. Умовно зображені прямі r і r1, проведені через точку А паралельно прямий p, прямі q і q1, проведені через точку А і перетинають пряму p, і прямі s і s1, що розходяться з прямою p ). Кут між прямою, проведеної через точку А паралельно прямий р, і перпендикуляром, опущеним з А на р, Лобачевський називає «кутом паралельності» і показує, що функція, що виражає залежність цього кута від довжини а перпендикуляра, може бути (в сучасних позначеннях) записана у вигляді

П (а) = 2arctg e-a / q, (1)

де q - деяка постійна. При а = 0 кут паралельності завжди гострий, причому він прагне при а = 0, постійна же q може служити на площині Лобачевського абсолютної одиницею довжини, аналогічної абсолютної одиницею довжини, аналогічної одиниці кута в евклідовому просторі. Лобачевський встановлює також, що суперечать прямі мають загальним перпендикуляром і віддаляються один від одного по обидва боки від нього, а дві паралельні прямі наближаються один до одного і відстані точок однієї з них від іншого прагне до 0 при необмеженому видаленні цих точок. Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевського завжди менше, і якщо - «кутовий дефект» трикутника, тобто різниця між і сумою його кутів, то площа трикутника S дорівнює

S = q2, (2)

де q - та ж постійна, що й у формулі (1).

Коло при прагненні його радіуса до нескінченності переходить в системі Лобачевського не в пряму, а в особливого роду криву «граничного кола» - в даний час такі криві називають орициклом. Сфера при тих же обставинах переходить не в площину, а в криву поверхню, яку Лобачевський назвав «граничною сферою», а нині іменують орисфере. Лобачевський зазначає, що на орисфере має місце евклідова геометрія, причому роль прямих на ній грають орициклом. Це дозволяє Лобачевському, спираючись на евклидову тригонометрію на орисфере, вивести тригонометрію на площини в його геометричній системі. Назва «уявна геометрія» підкреслює, що ця геометрія відноситься до евклідової, «вживаною», за термінологією Лобачевського, як уявні числа, «уявні», за його термінологією, до дійсним.

Лобачевський відразу ж поставив питання про експериментальну перевірку того, яка геометрія має місце в реальному світі - «вживана» або «уявна», для чого він вирішив виміряти суму кутів трикутника, утвореного двома діаметрально протилежними положеннями Землі на її орбіті і Сиріусом і вважаючи один з кутів цього трикутника прямим, а інший - рівним куту паралельності, Лобачевський знайшов, що ця сума відрізняється від на різницю, меншу помилки кутомірних інструментів в його час. «Після того, - пише Лобачевський, - можна уявити, скільки ця різниця, на якій заснована наша теорія паралельних, виправдовує точність всіх обчислень звичайної геометрії і дозволяє прийняті початку розглядати як би строго доведеними».

Це пояснює, що під «суворим доказом теореми паралельних» у доповіді 1826р. Лобачевський розумів неможливість встановити експериментальним шляхом, яка з двох геометрій має місце в реальному світі, звідки випливає, що на практиці можна користуватися «вживаною геометрією», не ризикуючи впасти в помилку.

Найбільш повно викладена система Лобачевського в його «Нових засадах з повною теорією паралельних» (1835-1838). Виклад геометрії у Лобачевського грунтується на чисто топологічних властивості дотику і перетину, конгруентність тіл і рівність відрізків визначаються по суті за допомогою руху.

В пізніших роботах Лобачевський ввів координати і обчислив з геометричних міркувань цілий ряд нових визначених інтегралів, яким він спеціально присвятив роботу «Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів», багато з яких були включені в подальші довідники.

2.2 Несуперечність геометрії Лобачевського

Вивівши вже у своїй першій роботі «Про основи геометрії» формули тригонометрії своєї нової системи, Лобачевський зауважив, що «ці рівняння переменяются в ... (рівняння) сферичної Тригонометрії, як скоро замість боків а, b, c ставимо в а -1, b - 1, с -1, але в звичайній Геометрії і сферичної Тригонометрії всюди входять одні змісту (тобто відносини) ліній: отже, звичайна Геометрія, Тригонометрія і ця нова геометрія завжди будуть узгоджені між собою ». Це означає, що якщо ми запишемо теорему косинусів, теорему синусів і двоїсту теорему косинусів сферичної тригонометрії для сфери радіуса r у вигляді

sinA sinB sinC,

sin (a / r) sin (b / r) sin (c / r)

cos (a / r) = cos (b / r) * cos (c / r) + sin (b / r) * sin (c / r) * cosA,

cosA = -cosBcosC + sinBsinCcos (a / r),

то формули тригонометрії Лобачевського можна записати в тому ж вигляді, замінивши боку а, b, c трикутника творами ai, bi, ci; так як множення сторін а, b, c на i рівносильно множенню на i радіуса сфери, то, вважаючи r = qi і скориставшись відомими співвідношеннями

cos (ix) = ch x, sin (ix) = i sh x,

ми можемо переписати відповідні формули тригонометрії Лобачевського у вигляді

ch (a / q) = ch (b / q) * ch (c / q) -sh (b / q) * sh (c / q) * cosA,

sinA sinB sinC,

sh (a / q) sh (b / q) sh (c / q)

cosA = -cosBcosC + sinBsinCcos (a / q).

Сам Лобачевський користувався не функція ch x і sh x, а комбінаціями введеної їм функції П (х) з тригонометричними функціями; постійна q в цих формулах - та ж, що і в формулах (1) і (2).

Фактично Лобачевський довів несуперечність своєї системи тим, що ввів як на площині, так і в просторі координати і таким чином побудував арифметичну модель площини і простору Лобачевського. Однак сам Лобачевський бачив свідчення несуперечливість відкритої їм геометрії у зазначеній зв'язку формул його тригонометрії з формулами сферичної тригонометрії. Цей висновок Лобачевського неправомірне. У своїх мемуарах він довів, що формули сферичної тригонометрії випливають із його геометрії, між тим, щоб стверджувати, що з несуперечності тригонометричних формул випливає несуперечність геометрії Лобачевського, треба було довести, що всі пропозиції останньої можна вивести з її тригонометричних формул і «абсолютної геометрії» - пропозицій, що не залежать від п'ятого постулату. Лобачевський спробував провести такий доказ, але в його міркування вкралася помилка.

2.3 Моделі геометрії Лобачевського

Першою, за часом з'явилася модель планіметрії Лобачевского на деяких поверхнях (саме на поверхнях постійної негативної кривизни). На цих поверхнях в сенсі їх внутрішньої геометрії, коли відстані між точками визначаються за найкоротшим лініях на самій поверхні, виконується геометрія Лобачевського. Тільки не на всій площині, а на тій її частині, яка може бути представлена ??даної поверхнею. Разом з тим доведено, що не існує (в тривимірному евклідовому просторі) ніякої поверхні, яка своєю внутрішньою геометрією представляла б площину Лобачевського.

Реалізацію геометрії Лобачевського на поверхнях встановив італійський математик Бельтрамі в 1868 р

Відповідні поверхні можуть бути виготовлені, і тоді геометрія на шматках площині Лобачевського представляється найреальнішим способом.

Наступна за часом появи геометрична модель дається на звичайній евклідової площини. У ній вся площину Лобачевського представляється начинкою кола, прямі представлені хордами (з виключеними кінцями).

Перетворення - відображення кола на себе, що переводять хорди в хорди, приймаються накладення (руху або переміщення), так що рівними вважаються фігури всередині кола, яке відображаються одна на іншу при таких перетвореннях круга. (Аксіома паралельних не виконується: через точку А на рис. Проходить нескінченно багато «прямих» - хорд, що не перетинають «пряму» а.)

Геометрія Лобачевського в просторі представляється аналогічною моделлю. Простором служить внутрішність кулі, прямими - хорди з виключеними кінцями, накладаннями - відображення кулі на себе, що переводять хорди в хорди. Площині представляються начинкою кіл, які є плоскими перерізами кулі.

Ця модель називається моделлю Келі - Клейна тому, що фактично побудував в 1859 р англійський математик Келі, хоча і не зрозумів, що введена ним геометрія в колі і є геометрія Лобачевського. Це встановив в 1871 р німецький математик Клейн.

Таким чином, можна сказати, що геометрія Лобачевського виявляється не більш як деяким фрагментом геометрії Евкліда, тільки викладеним особливим чином. Якщо взяти звичайний круг, внутрішність його називати площиною, точки - точками, хорди - прямими і оголосити рівними фігури всередині кола, перекладні одна в іншу перетвореннями, при яких коло переходить сам у себе і хорди - в хорди, то це і буде геометрія Лобачевського.

Так багатовікові пошуки докази аксіоми паралельних і негадану неевклідової геометрії розв'язалися, можна сказати: в деякому переказі деяких елементів звичайної геометрії всередині кола.

Третя геометрична модель була дана в 1882 р французьким математиком Пуанкаре. У ній геометрія Лобачевського також представляється деяким фрагментом геометрії Евкліда, тільки викладеним особливим чином (істотно відмінним від моделі Келі-Клейна).

Але можна будувати аналітичну модель геометрії, представляючи точки координатами і висловлюючи відстань формулою в координатах.

Таку модель геометрії Лобачевського дав німецький математик Ріман в якості окремого випадку загальної визначеної ним геометрії, званої тепер ріманової. Ріман при вступі на посаду до Геттінгенського університету в 1854 р прочитав лекцію «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», в якій в загальних рисах визначив загальне поняття простору будь-якого числа вимірів і вказав загальний принцип введення метрики - вимірювання відстаней нескінченно малими кроками. Він також вказав можливе значення його теорії для фізики, як би передбачаючи теорію тяжіння Ейнштейна.

Однак лекція залишилася незрозумілою і була опублікована лише в 1869 р, після смерті Рімана.

Коли геометрія Лобачевського досить розвинена, можна на площині ввести координати і дати формулу, яка має відстань між точками через їх координати. Після цього варто лише перевернути висновок, заявивши: неевклідова геометрія - це теорія, в якій точки задаються координатами і відстані - відповідною формулою.

2.4 Дефект трикутника і багатокутника

Враховуючи, що в геометрії Лобачевського сума кутів трикутника менше 2d, введемо поняття про дефект трикутника, що дорівнює різниці між 2d і сумою кутів цього трикутника:

DABC = 2d-SABC.

Неважко бачити, що якщо відрізок BD розділяє АВС на трикутники ABD і DBC, то

DABC = DABD + DDBC.

Для n-кутника дефект вводиться як різниця між 2d (n-2) і сумою його кутів. Можна довести взагалі, що якщо багатокутник розбитий ламаними на кілька багатокутників, то дефект повного багатокутника дорівнює сумі дефектів його частин.

Евклід Лобачевський геометрія постулат

2.5 Абсолютна одиниця довжини в геометрії Лобачевського

Таким чином, в геометрії Лобачевського подібних фігур не існує, а це пов'язано з численними ускладненнями, які здаються дуже дивними для кожного, початківця знайомитися з неевклідової геометрією. Справді, з відсутності подібності випливає, що трикутник цілком визначається своїми трьома кутами (два трикутника з попарно рівними кутами рівні), що відрізок може бути визначений за допомогою кута (наприклад, як сторона рівностороннього трикутника із заданим кутом, менше 2 / 3d) .

В геометрії Евкліда для визначення відрізка необхідно задати неодмінно деякий інший відрізок (або систему відрізків) і вказати те геометричне побудова, за допомогою якого перший може бути отриманий з другого (частіше задається одиниця довжини і число, що виражає довжину визначається відрізка). В геометрії Лобачевського справа йде простіше: для визначення відрізка не треба задавати іншого відрізка, досить вказати тільки геометричне побудова, за допомогою якого може бути отриманий визначається відрізок (наприклад, як сторона рівностороннього трикутника з кутом, що одержуються з прямого кута за допомогою того чи іншого побудови ).

Якщо реальний простір підпорядковується законам геометрії Евкліда, еталон довжини необхідно повинен бути реалізований за допомогою деякого твердого тіла; якщо ж у реальному просторі має місце геометрія Лобачевського, то одиниця довжини може бути задана деяким геометричним побудовою - в цьому випадку сам простір своїми геометричними властивостями визначає ту чи іншу одиницю довжини. Це факт висловлюють, кажучи, що в просторі Лобачевського існують «абсолютні одиниці довжини», тобто не залежні від завдання тих чи інших відрізків.

Таким чином, в геометрії Лобачевського ми маємо більш тісний аналогію в питаннях вимірювання відрізків і кутів, ніж в евклідової геометрії (для кутів в обох геометріях існують абсолютні одиниці міри, наприклад прямий кут, що виходить за допомогою геометричної побудови незалежно від завдання тих чи інших кутів) .

2.6 Визначення паралельної прямій. Функція П (х)

Як ми бачили, з постулату Лобачевського безпосередньо випливає, що через промінь Р, що не лежить на даній прямій АА1, у площині, можна провести безліч прямих, що не перетинають АА1. Застосовуючи аксіому Дедекинда, можна показати що існують дві граничні прямі СС1і DD1, що розділяють клас перетинають прямих, що лежать в кутах CPD і C1PD1, від класу не перетинають, що проходять всередині кутів CPD1і DPC1. неважко бачити, що ці граничні прямі не перетинають пряму АА1 (якби існувала точка перетину S прямих АА1і СС1, то, взявши на пряму АА1точку Т правіше S, ми отримали б пряму РТ, що проходить всередині кутів CPD1і DPC1і перетинає АА1). Ці граничні прямі СС1DD1Лобачевскій називає паралельними прямий АА1в точці Р.

Таким чином, через кожну точку Р площині проходять дві прямі, паралельні даній: пряма DD1, паралельна АА1в напрямку А1А, і пряма СС1, паралельна тій же прямій в протилежному напрямку АА1. Обидві ці прямі розташовані симетрично щодо перпендикуляра PQ, опущеного на АА1. Кут C1PQ Лобачевський називає кутом паралельності. Він є функцією довжини перпендикуляра PQ, яку Лобачевський позначає так:

C1PQ = П (PQ).

Можна сказати, що постулат Евкліда відповідає припущенням, що кут паралельності - прямий. Відзначимо, що досить припустити, що функція П (РQ) постійна, щоб звідси випливав постулат Евкліда.

Необхідно дати собі ясний звіт, наскільки поняття паралелізму в неевклідової геометрії складніше відповідного поняття звичайної геометрії. Справді, за самим визначенням паралелізму недостатньо сказати, що пряма СС1параллельна АА1: необхідно при цьому не тільки вказати напрямок паралельності, але й ту точку Р, в якій має місце факт паралелізму (тобто в якій пряма СС1является граничної, що відокремлює перетинають прямі від що не перетинають). Тому критерій паралельності виражається боле складно, ніж в евклідової геометрії. Щоб довести, що пряма СС1в точці Р паралельна АА1в напрямку АА1, необхідно: 1) встановити факт не перетину цих прямих, 2) показати, що СС1в точці Р є граничній прямій; це останнє встановлюється зазвичай так («критерій кута»): проводимо пряму PR, що перетинає АА1, і розглядаємо кут C1PR, який своїм отвором звернений у бік паралельності; якщо кожен промінь, що має вершину в точці Р і проходить всередині цього кута, перетинає промінь RА1, то пряма СС1параллельна АА1в точці Р в напрямку АА1.

2.7 Модель Пуанкаре

Роль площині Лобачевського грає в моделі Пуанкаре відкрита напівплощина; роль прямих виконують містяться в ній півкола з центрами на що обмежує її прямий і промені, перпендикулярні цій прямій. Роль накладень виконують композиції інверсій щодо цих півкіл і віддзеркалень променях. Всі аксіоми евклідової геометрії тут виконуються, крім аксіоми паралельних, тим самим в цій моделі виконується геометрія Лобачевського.

Практична частина

1. Сума кутів трикутника

Досліджуємо насамперед зв'язок постулатів Евкліда і Лобачевського з питанням про суму кутів трикутника. Покажемо, що постулат Евкліда рівносильний припущенням, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим, а постулат Лобачевського - що сума менше двох прямих.

Насамперед виключимо припущення, що сума кутів трикутника може бути більше двох прямих.

Завдання 1. Довести, що сума кутів трикутника не може бути більше двох прямих.

Доказ - від протилежного: припустимо, що сума кутів трикутника АВС дорівнює 2d. Нехай ВАС - найменший кут цього трикутника (в окремому випадку, якщо АВС - рівносторонній трикутник або рівнобедрений трикутник, основа якого більше бічної сторони, то один з його рівних кутів). Проводимо медіану AD протилежного боку і відкладаємо відрізок DB1, рівний цієї медіані. з рівності трикутників ABD і B1DC виводимо, що DB1C = DAB, DCB1 = DBA. Таким чином, в трикутнику АВ1С (назвемо його першим вивідним трикутником) сума трьох кутів дорівнює також 2d, сума двох кутів з вершинами в кінцевих точках подвоєною медіани вихідного трикутника дорівнює, а найменший кут. З першого вивідного трикутника отримуємо аналогічним побудовою другий вивідний: беремо найменший кут, проводимо медіану противолежащей сторони і т.д. В отриманому таким чином другому вивідному трикутнику сума трьох кутів дорівнює 2d, сума двох кутів з вершинами в кінцевих точках подвоєною медіани першого вивідного трикутника, а найменший кут. Продовжуючи цей процес далі, одержимо ряд вивідних трикутників; в n-му трикутнику сума кутів дорівнює 2d, а сума кутів з вершинами в кінцях подвоєною медіани (n-1) -го вивідного трикутника. Якщо взяти n досить великим, то можна зробити менше, тобто третій кут цього трикутника буде більше 2d; ми отримуємо протиріччя.

Завдання 2. Довести, що якщо в якому-небудь трикутнику сума кутів дорівнює 2d, то це має місце і у всякому іншому трикутнику

Доказ. Позначимо суму кутів трикутника АВС через SАВС. Нехай у трикутнику АВС сума кутів дорівнює 2d; тоді два кути, наприклад А і С, гострі, і неважко показати, що висота ВD, опущена з вершини В, пройде всередині цього трикутника, тобто розіб'є його на два прямокутних трикутника. Враховуючи, що

SABC = SABD + SDBC-2d, (1)

і беручи до уваги попередню теорему, виводимо, що SABC = SABD = 2d.

Покажемо тепер, що в кожному прямокутному трикутнику сума кутів дорівнює 2d. Для цього візьмемо трикутник ABD і доповнимо його до прямокутника, добудувавши до нього рівний йому трикутник AEB з прямим кутом у вершині Е і катетами АЕ = BD і EB = AD. У цьому прямокутнику AEBD сума кутів дорівнює 4d. Відкладаючи сторону AD n раз прямий AY і прикладаючи потім один до іншого прямокутники, рівні AEBD, побудуємо прямокутник ALMK, складений з n2прямоугольніков, рівних AEBD. У прямокутнику ALMK сума кутів дорівнює 4d. Діагональ AM розбиває цей прямокутник на два прямокутних трикутника, в кожному з яких сума кутів дорівнює 2d (на підставі теореми 1). Беручи n достатньо великим, отримаємо прямокутний трикутник AMK, у якого катети будуть більше деякого заданого прямокутного трикутника PQR. Відкладаючи відрізки QT = KM, QS = AK, отримаємо прямокутний трикутник STQ, рівний прямокутного трикутника AMK і вміщає в собі заданий прямокутний трикутник PQR. Відрізок PT розбиває STQ на два трикутника, і так як SSQT = SSPT + SPTQ-2d, то SSPT + SPTQ = 4d, звідки (на підставі тієї ж теореми)

SSPT = SPTQ = 2d.

Застосовуючи то ж міркування до трикутника PTQ і відрізку RP, встановлюємо, що SPQR = 2d.

Отже, в кожному прямокутному трикутнику сума кутів дорівнює 2d. Але ми бачили вище, що кожен трикутник може бути розбитий на два прямокутні. Враховуючи співвідношення (1), одержуємо, що в будь-якому трикутнику сума кутів дорівнює 2d.

Отже, можливі тільки два припущення: або у всіх трикутниках сума кутів дорівнює 2d, або ж у всіх менше 2d.

Тепер ми встановимо зв'язок питання про суму кутів трикутника з постулатом паралельності.

Завдання 3. Довести, що якщо сума кутів трикутника дорівнює 2d, то має місце постулат Евкліда, якщо ж вона менше 2d, то справедливий постулат Лобачевського.

Має місце і зворотне пропозицію.

Доказ. Насамперед покажемо, що якщо сума кутів трикутника дорівнює 2d, то через точку Р, не лежить на прямій АА1, можна провести пряму, що утворить з прямою ВВ1 (АА1і ВВ1перпендікулярни до PQ) як завгодно малий кут і перетинає АА1.

Для цього побудуємо відрізок QQ1 = PQ; тоді кут B1PQ1 = d / 2. Відкладаємо відрізок Q1Q2 = PQ1; B1PQ = d / 22. потім продовжуємо цей процес: дивимося відрізки Q2Q3 = PQ2, Q3Q4 = PQ3, ......, Qn-1Qn = PQn-1. Отримуємо промені PQ3, PQ4, ......, PQn, що утворюють з променем РВ1угли d / 23, d / 24, ......, d / 2n. При збільшенні n ми можемо, таким чином, отримати кут, менше будь-якого заданого.

Тепер уже просто довести постулат Евкліда. Нехай деякий промінь PR утворює з PB1угол. Вибираючи n досить великими (так, щоб (d / 2n) <), ми отримаємо трикутник PQQn, причому промінь РR проходить всередині кута QPQn, тобто перетинає сторону QQn.

Розглянемо тепер припущення, що сума кутів трикутника менше 2d. Покажемо, що є прямі, відмінні від ВВ1, що проходять через точку Р і не перетинають АА1.

З'єднаємо деяку точку М, що лежить на АА1, з Р і проведемо промінь PR так, щоб МРR дорівнював РМQ. З припущення про суму кутів трикутника випливає, що МРВ1> РМQ, тобто промінь РR пройде всередині кута МРВ1; цей промінь не перетинає АА1, тому що в противному випадку вийшов трикутник, у якого зовнішній кут QMP дорівнює внутрішньому (МРR), з ним не суміжному.

Таким чином, перша половина теореми доведена, а з неї безпосередньо випливає зворотне пропозицію.

2. Питання про існування подібних фігур

Перейдемо до питання про зв'язок постулатів паралельності з питанням про існування подібних фігур. Доведемо, що існування подібних фігур можливо тільки в тому випадку, якщо справедливий постулат Евкліда. Для цього доведемо наступну теорему.

Завдання 4. Довести, що якщо існують два подібних трикутника, то справедливий постулат Евкліда.

Доказ. Нехай у трикутника АВС і А1В1С1угли попарно рівні:

А = А1, В = В1, С = С1, але сторона АВ> А1В1. На стороні АВ відкладемо відрізок АВ = АВ і проведемо пряму АМ під кутом ВАМ = А. Так як АМ не може перетинати пряму АС, то вона перетне відрізок ВС в деякій точці С. Так як АВС = АВС, то в чотирикутнику ААСС сума кутів дорівнює 4d. Розділяючи його діагоналлю на два трикутника, отримаємо, що в кожному з них сума кутів дорівнює 2d тобто справедливий постулат Евкліда.

3. Основна властивість паралелізму

Лобачевський доводить, що пряма, паралельна даній прямій в деякій своїй точці, паралельна їй у всіх своїх точках.

Завдання 5. Довести, що пряма зберігає ознака паралельності у всіх своїх точках.

Доказ. Нехай пряма ВВ паралельна в точці Р прямий АА. Розглянемо точку Q, лежачу від точки Р в сторону паралельності, тобто по ту ж сторону від прямої PR, що з'єднує Р з деякою точкою R на АА, що промінь RA. Візьмемо який-небудь промінь QQ, що проходить всередині кута BQR, зверненого своїм отвором в сторону паралельності, і доведемо, що він перетинає промінь RA. Для цього з'єднаємо яку-небудь його точку Q c P; промінь PQ перетне RA в деякій точці S (так як пряма ВВ паралельна прямій АА в точці Р). Луч QQ, що перетинає сторону PS трикутника RPS, не може перетнути відрізка PR (так як тоді він проходив би усередині суміжного кута PQR) і не проходить ні через одну з вершин цього трикутника. Тому він повинен перетнути відрізок PS. Таким чином, теорема доведена для того випадку, коли точка Q розташована від точки Р в сторону паралельності.

Розглянемо тепер той випадок, коли Q лежить у зворотному напрямку від точки Р. З'єднаємо промінь QQ, що проходить всередині кута BQR. Цей промінь перетне відрізок РR в деякій точці S. Продовжуючи промінь QQ по інший бік точки Q, беремо на цьому продовженні точку Т. Пряма ТР проходить всередині кута RPB, тобто перетинає RА в точці U. Отже, промінь QQ перетинає сторону RP трикутника RPU, не перетинає відрізок PU і не проходить ні через одну з його вершин, тобто перетинає відрізок RU. Таким чином, ознака паралельності мається на точці Q.

Після того як доведена ця теорема, ми можемо внести спрощення у термінологію теорії паралельності: при вказівці. що пряма ВВ паралельна АА, не треба задавати тієї точки прямої ВВ, в якій є факт паралелізму.

4. Властивості функції П (х)

Завдання 6. Довести, що для кожного гострого кута існує пряма, перпендикулярна до однієї його стороні і паралельна інший.

Доказ. Розглянемо перпендикуляри, поставлені до сторони OQ гострого кута POQ; серед них, звичайно, знайдуться такі, які перетинають сторону ОР (досить опустити з якої-небудь точки променя ОР перпендикуляр на OQ). Покажемо, що існує безліч перпендикулярів, що не перетинають ОР.

Доведемо це від протилежного, припускаючи, що всі перпендикуляри до сторони OQ перетинають ОР. Розглянемо на промені OQ ряд точок А, А, А, ..., Аnтакой, що

АА = ОА, А А = ОА, А А = ОА, ..., Аn-1An = OAn-1. Перпендикуляри, поставлені в точках А, А, ..., Аnк стороні OQ, згідно з припущенням, перетнуть промінь ОР в точках В, В, В, ..., Вn. Позначаючи дефект трикутника ОАВ через D, маємо

DOAB = DOBA + DBAB = 2DOAB + DBAB> 2D,

DOA B = DOB A + DB A B = 2DOA B + DB A B> 22D,

.................................................. ...................,

DOanBn = DOBn-1An + DBn-1AnBn = 2DOAn-1Bn-1 + DBn-1AnBn> 2nD.

Таким чином, збільшуючи n, ми можемо отримати трикутник ОАnВn, у якого дефект перевищує будь-яке число, а це неможливо, так як дефект будь-якого трикутника <2d.

Серед перпендикулярів до сторони OQ існують не перетинають сторону ОР. Розглянемо один з них - MN. Якщо він паралельний ОР, теорема доведена. В іншому випадку розбиваємо точки відрізка ОМ на два класи: до першого класу віднесемо ті точки, в яких перпендикуляри перетинають ОР, до другого - ті, в яких перпендикуляри не перетинають ОР. Ясно, що лівіше кожної точки першого класу лежать тільки точки першого ж класу, тобто класи лежать окремо: другий клас лежить правіше першого; таким чином, це - класи Дедекинда. Застосовуючи аксіому Дедекинда, отримуємо точку D, що розділяють ці класи.

Покажемо, що перпендикуляр DE до OQ паралельний ОР. Насамперед цей перпендикуляр не може перетнути ОР, так як, якби він перетинав ЗР в точці F, то, опускаючи з точки G, що лежить на ОР правіше F, перпендикуляр GJ на OQ, ми отримали б точку J першого класу, що лежить правіше точки D. Залишається показати, що будь-який промінь DK, що проходить всередині кута ODE, перетинає ОР. Опускаючи з якої-небудь точки До цього променя DK на OQ перпендикуляр KL, отримаємо точку L першого класу, тобто KL перетинає ЗР в деякій точці R. Пряма DK, що перетинає сторону LR трикутника ORL, повинна перетнути відрізок OR.

Таким чином, перпендикуляр DE дійсно паралельний ОР.

Завдання 7. Довести, що кут паралельності П (р) є спадною функцією довжини р перпендикуляра, приймаючої всі значення між 0 і d.

Доказ. Нехай РР паралельна QQ, тобто = П (РQ). Покажемо, що ця функція спадна.

Справді зменшуючи її аргумент, розглянемо відрізок PRП (PQ).

Висновок

Коли Евклід формулював п'ятий постулат, навряд чи він знав, яку бурю той викличе. Коли Лобачевський відмовився від п'ятого постулату, він не знав, що його «уявна геометрія» на перевірку виявиться реальною.

Не можна сказати, що геометрія Лобачевського єдино правильна. На даний момент до неї немає ніяких претензій. Але, можливо, через багато років вона застаріє.

Список використаної літератури

1. Верченко А.І., Науково-теоретичний журнал. Москва, «Школа-Пресс» 1993р.

2. Єфімов Н.В., Вища геометрія, «Наука», М., 1971р.

3. Лаптєв Б.Л., Н.И.Лобачевский і його геометрія. Посібник для учнів. М. «Просвещение», 1970р.

4. Широков П.А., Короткий нарис основ геометрії Лобачевського. М. «Наука», 1983р.

5. Юшкевич А.П., Історія математики в Росії. М., «Наука», 1968р.

Додатки

Біографія Лобачевського

Лобачевський Микола Іванович, другий син дрібного чиновника, народився 1 грудня (20 листопада) 1792 в Нижньому Новгороді, в Росії. Коли Миколі було 7 років, його мати, Парасковія Іванівна, залишилася одна з трьома маленькими синами. І до цього платню батька насилу вистачало на утримання сім'ї; тепер вона зустрілася з крайньою убогістю. Вона переїхала до Казані, де як могла, готувала дітей до школи, і вони були прийняті до гімназії на казенне утримання. Микола приступив до занять в 1802 році, в десятирічному віці. Його успіхи в математиці і в стародавніх мовах були феноменальні. У 14 років він був підготовлений для університету. У 1807 році він вступив до Казанського університету, в якому йому належало провести наступні 40 років життя - як студенту, екстраординарної професору, професору і, нарешті, ректору.

У 1811 році, у віці 18 років, Лобачевський отримав ступінь магістра, до того ж з відзнакою. В цей же час його старший брат Олексій вів курси елементарної математики з підготовки молодших урядовців, і, коли він отримав відпустку через хворобу, Микола замінив його. У квітні 1814 він був затверджений ад'юнктом чистої математики, а 2 роки потому йому було присвоєно звання професора.

Призначення Лобачевського екстраординарним професором відбулося в 1816 році в незвично молодому віці 23 років. Його обов'язки були багатотрудна. Додатково до роботи з математики йому доручалися лекційні курси з астрономії та фізики. Він блискуче впорався з дорученою завданням. Це послужило приводом для ще більшого навантаження.

Незабаром Лобачевський взявся за перебудову університетської бібліотеки та університетського музею, які перебували в хаотичному стані.

Зі смертю Олександра I справи обернулися на краще. Спеціальний уповноважений уряду для навмисного переслідування Казанського був звільнений. Потребуючи політичної і моральної підтримки своєї діяльності університеті, новий попечитель забезпечив призначення в 1827 році Лобачевського ректором. Математик був тепер главою університету, але ця посада аж ніяк не була синекурою. Під його вмілим керівництвом весь штат був реорганізований, були залучені кращі люди, викладання було лібералізовано, не дивлячись на офіційні перешкоди, була побудована бібліотека, відповідна вищому рівню наукових вимог, були організовані механічні майстерні для виготовлення наукових інструментів, які були потрібні для досліджень і викладання, була заснована і обладнана обсерваторія - улюблене дітище енергійного ректора.

Навіть ректорське гідність не утримує Лобачевського від роботи руками в бібліотеці і музеї, коли він відчував, що його допомога необхідна. Університет був його життям, і він любив його.

Здається неймовірним, що Лобачевський, так сильно перевантажений викладацькими та адміністративними обов'язками, міг знаходити час для наукової роботи. Він створив один з найбільших шедеврів всієї математики - неевклідову геометрію і поставив віху в людському мисленні. Він трудився над цим з перервами не менше 20 років. Його перше публічне повідомлення по цій темі було зроблено на фізико-математичному факультеті Казанського університету в 1826 році.

У 1846 році його грубо позбавили посад професора і ректора університету, хоча тоді він був сповнений фізичних і розумових сил, більш ніж коли-небудь він був здатний продовжувати свої математичні дослідження. Огидна невдячність влади зломила Лобачевського. Він залишив всі надії знову стати кимось в університеті, який своєю науковою славою майже цілком був зобов'язаний його зусиллям, і після цього з'являвся в ньому тільки випадково, щоб допомогти на іспитах. Хоча його зір швидко погіршувався, він був ще здатний до інтенсивного математичного мислення.

Він все ще любив університет. Його здоров'я похитнулося, коли помер його син; але він все ще сподівався, що зможе принести певну користь. У 1855 році університет святкував своє п'ятдесятиріччя. Лобачевський особисто був присутній на урочистостях і приніс ювіляру екземпляр «Пангеометрія» - завершальній наукової роботи його життя. Ця робота не була написана його власною рукою: він диктував її, так як на той час був уже сліпим. Через кілька місяців, 24 лютого 1856 року, 62-х років від роду, він помер

рис.

рис.

рис.

рис.

рис.

рис.

Рис.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка