На головну

 Рівняння, що містять параметр - Математика

Міська конференція учнів муніципальних освітніх установ, що займаються навчально-виховною діяльністю

«Кроки в науку»

Наукове товариство учнів «Пошук»

Муніципального освітнього закладу

«Середня загальноосвітня школа №86 м.Омськ»

Науковий напрямок: «Математика»

Рівняння, що містять параметр

Соколова Олександра Михайлівна

учениця 10 класу МОУ

«ЗОШ №86 м.Омськ»

Керівник: Дощанова Тіште Мухановна,

вчитель математики

Омськ 2011

Зміст

Введення

1. Знайомство з параметрами

1.1 Рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим

1.2 Рішення лінійних рівнянь з модулем

1.3 Рішення квадратних рівнянь

2. Приклади рішень рівнянь з параметром з ДПА та ЗНО частини З

Висновок

Введення

В даний час різні завдання з параметрами - це одні з найскладніших завдань на іспитах. А адже в екзаменаційних завданнях вони є як за 9 клас, так і за 11, але багато учнів навіть не беруться вирішувати ці завдання, так як свідомо вважають, що не зможуть їх вирішити, навіть не спробувавши. А на ділі, щоб впоратися з ними, потрібно всього лише проявити логіку, включити кмітливість і нічого складного не опиниться.

Свою роботу я захотіла присвятити завдань з параметрами, так як саме вони викликають у більшості учнів найбільші труднощі. Мені самій потрібно буде здавати ЗНО, і тому, звертаючись до цієї теми, я хотіла б полегшити і собі, і своїм слухачам, тяжкість вирішення завдань з параметрами.

Мета моєї роботи - навчитися розв'язувати рівняння з параметрами і познайомити учнів з методами вирішення подібних завдань.

Я поставила перед собою наступні завдання:

1. Самою навчитися розв'язувати рівняння з параметрами різних видів.

2. Ознайомити учнів з різними методами вирішення подібних рівнянь.

3. Викликати інтерес учнів до подальшого вивчення задач з параметрами.

У моїй роботі я розгляну наступні види завдань з параметрами:

1) рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим;

2) рішення лінійних рівнянь з модулем;

3) рішення квадратних рівнянь.

рівняння параметр невідоме модуль

1. Знайомство з параметрами

Для початку, варто було б пояснити, що собою представляють рівняння з параметрами, яким присвячена моя робота. Отже, якщо рівняння (або нерівність), крім невідомих, містить числа, позначені буквами, то воно називається параметричним, а ці букви - параметрами.

Якщо параметру, що міститься в рівнянні (нерівність), надати деяке значення, то можливий один із двох наступних випадків:

1) вийде рівняння (нерівність), що містить лише дані числа і невідомі (тобто без параметрів);

2) вийде умова, позбавлене сенсу.

У першому випадку значення параметра вважається допустимим, у другому - неприпустимим.

Вирішити рівняння (нерівність), що містить параметр, - це значить, для кожного допустимого значення параметра знайти безліч всіх значень даного рівняння (нерівності).

На жаль, не рідко при вирішенні прикладів з параметрами багато хто обмежується тим, що становлять формули, що виражають значення невідомих через параметри. Наприклад, при вирішенні уравненіяпереходят к у равнению; при m = записують єдине рішення. Але ж при m = -1 - незліченна безліч рішень, а при m = 1, рішень немає.

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Відразу видно, що при вирішенні цього рівняння варто розглянути такі випадки:

1) a = 1, тоді рівняння приймає види не має рішень;

2) при а = -1 приходило, очевидно, х будь;

3) при.

Відповідь: при a = 1 рішень немає, при а = -1 х будь-яке, при.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Очевидно, що, а, тобто х = b / 2, але, тобто 2b / 2, b4.

Відповідь: при b4 х = b / 2; при b = 4 немає рішень.

Приклад 3. За яких а уравненіеімеет єдине рішення?

Відразу хочу звернути увагу на поширену помилку - вважати дане рівняння квадратним. Насправді це рівняння ступеня не вище другий! При а - 2 = 0, а = 2, рівняння вироджується в лінійне має єдиний корінь х = 1/4. Якщо ж а2, то ми дійсно маємо справу з квадратним рівнянням, яке дає єдине рішення при D = 0 ,, а = 1, а = 6.

Відповідь: при а = 2, а = 1, а = 6.

1.1 Рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим

Вирішити таке рівняння - це значить:

1) визначити безліч допустимих значень невідомого і параметрів;

2) для кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідні безлічі рішень рівнянь.

Найпростіше рівняння першого ступеня з одним невідомим має вигляд ах-b = 0.

Пріуравненіе має єдине рішення, яке буде: позитивним, есліілі; нульовим, якщо; негативним, есліілі.

Якщо а = 0, то при b = 0 незліченна безліч рішень, а при b0 рішень немає.

Приклад 1. Для кожного значення а вирішити рівняння; знайти за яких а коріння більше нуля.

Це рівняння не є лінійним рівнянням (тобто являє собою дріб), але при х-1 і х0 зводиться до такого: або а-1-х = 0.

Ми вже виявили допустимі значення ікс (х-1 і х0), виявимо тепер допустимі значення параметра а:

а-1-х = 0А = х + 1

З цього видно, що при х0 а1, а при х-1 а0.

Таким чином, при а1 і а0 х = а-1 і це корінь більше нуля при а> 1.

Відповідь: при а <0 х = а-1; прірешеній немає, а при a> 1 коріння позитивні.

Приклад 2. Вирішити рівняння (1).

Допустимими значеннями k і x будуть значення, при яких.

Наведемо рівняння до найпростішого виду:

9х-3k = kx-12

(9 - k) x = 3k-12 (2)

Знайдемо k, при яких споконвічне рівняння не має сенсу:

Підставивши в (2), отримаємо:

.

Якщо підставимо, то отримаємо так само.

Таким чином, пріуравненіе (1) не має числового сенсу, т.е.- це неприпустимі значення параметра k для (1). Прими можемо вирішувати тільки рівняння (2).

1. Якщо, то рівняння (2) і разом з ним рівняння (1) мають єдине рішення, яке буде:

а) позитивним, якщо, при 4б) нульовим, якщо;

в) негативним, есліі k> 9 з урахуванням

, Отримуємо.

2. Якщо, то рівняння (2) рішень не має.

Відповідь: а) пріі, причому х> 0 для; x = 0 при k = 4; x <0 при;

б) пріуравненіе не має рішень.

1.2 Рішення лінійних рівнянь з модулем

Для початку, варто згадати, що таке модуль числа. Отже, абсолютною величиною або модулем числа називається саме число х, якщо х позитивний, число (-х), якщо х негативний, або нуль, якщо х = 0. Значення модуля може бути тільки позитивним.

Щоб зрозуміти рішення параметричних рівнянь, що містять знак модуля, найкраще продемонструвати рішення наочно, тобто навести приклади:

Приклад 1. Вирішити рівняння | x-2 | = b.

Так як, за визначенням модуля, | x-2 |, то при b <0 дане рівняння рішень не має. Якщо b = 0, то рівняння має рішення х = 2.

Якщо b> 0, то рішеннями рівняння є числа x = 2 + b і x = 2-b.

Відповідь: при b <0 рішень немає, при b = 0 х = 2, при b> 0 х = 2 + b і x = 2-b.

Приклад 2. Вирішити рівняння | xa | = | x-4 |. Найзручніше дане рівняння вирішити методом інтервалів, для двох випадків:

1) a;

2) 4.

1. Перший інтервал:

;

Другий інтервал:

, Тобто якщо а <4, то.

Третій інтервал:

а = 4, тобто якщо а = 4, то.

2. Перший інтервал:

а = 4 ,.

Другий інтервал:

a> 4, т.е. якщо 4 <а, то

Третій інтервал:

Відповідь: при а = 4 х-будь ;, при а <4.

Приклад 3. Для кожного значення параметра а знайти всі значення х, що задовольняють рівнянню | x + 3 | - a | x - 1 | = 4.

Розглянемо 3 проміжку: 1), 2), 3) і вирішимо вихідне рівняння на кожному проміжку.

1.,.

При а = 1 рівняння не має рішень, але при а1 рівняння має корінь. Тепер треба з'ясувати, за яких а х потрапляє на проміжок x <- 3, т.е. ,,,. Отже, вихідне рівняння на x <- 3 має один кореньпрі, а на інших а коренів не має.

2 ...

При а = - 1 рішенням рівняння є будь х; але ми вирішуємо на проміжку. Якщо а1, то рівняння має один корінь х = 1.

3 ...

При а = 1 рішенням є будь-яке число, але ми вирішуємо на. Якщо а1, то х = 1.

Відповідь: при; при а = - 1 та при а1 х = 1; при а = 1і при а1 х = 1.1.3 Рішення квадратних рівнянь з параметром

Для початку нагадаю, що квадратне рівняння - це рівняння виду, де а, b і с - числа, причому, а0.

Умови параметричних квадратних рівнянь можуть бути різні, але для рішень всіх їх потрібно застосовувати властивості звичайного квадратного рівняння:

а) Якщо D> 0, а> 0, то рівняння має два дійсних різних корені, знаки яких при с> 0 однакові і протилежні за знаком коефіцієнта b, а при с <0, причому за абсолютною величиною більше той, знак якого протилежний коефіцієнту b.

б) Якщо D = 0, а> 0, то рівняння має два дійсних і рівних між собою кореня, знак яких протилежний знаку коефіцієнта b.

в) Якщо D <0, а> 0, то рівняння не має дійсних коренів.

Аналогічно можна представити властивості коренів при а <0. Крім того, в квадратних рівняннях справедливі наступні твердження:

1. Якщо поміняти місцями коефіцієнти а і с, то коріння отриманого квадратного рівняння будуть обернені коріння даного.

2. Якщо поміняти знак коефіцієнта b, коріння отриманого квадратного рівняння будуть протилежні кореням даного.

3. Якщо коефіцієнти а і з різних знаків, то рівняння має дійсні корені.

Приклад1. Знайти всі значення параметра а, для яких квадратне рівняння: а) має два різних кореня; б) не має коренів; в) має два рівних кореня.

Дане рівняння за умовою є квадратним, тому а-1. Розглянемо дискриминант даного рівняння:

При а> -1 рівняння має два різних корені, тому D> 0, при a <-1 рівняння коренів не має, тому D <0, а двох однакових коренів це рівняння мати не може, тому D = 0 при а = -1, а це суперечить умові завдання.

Приклад2. Вирішити рівняння

При а = 0 рівняння є лінійним 2х + 1 = 0, яке має єдине рішення х = -0.5. А при а0, рівняння є квадратним і його дискримінант D = 4-4a.

При а> 1 D <0 тому рівняння коренів не має. При а = 1 D = 0, тому рівняння має два співпадаючих кореня = -1.

При a <1, але а0, D> 0 і дане рівняння має два різних кореня

;.

Відповідь: ІПРІ a <1, але а0; х = -0.5 при а = 0; = - 1 при а = 1.

Приклад3. Коріння уравненіятакови, що. Знайдіть а.

За теоремою Віетаі. Зведено обидві частини першої рівності в квадрат :. Враховуючи, що, а, одержуємо: або ,. Перевірка показує, що всі значеніяудовлетворяют умові.

Відповідь:

2. Приклади рішень рівнянь з параметром з ДПА та ЗНО частини З

Дізнавшись всю теоретичну основу і методи рішень різних рівнянь, що містять параметр, я вирішила застосувати свої знання на практиці. Ми вибрали кілька варіантів завдань ДПА і ЄДІ з частини С, що представляють собою саме ті види рівнянь, які були представлені в моїй роботі, а саме: рівняння першого ступеня з одним невідомим, рівняння з модулем і квадратне рівняння. Нижче будуть запропоновані рішення цих рівнянь.

1. Визначити значення k, при яких корені уравненіяположітельни.

Відразу можна виділити, що ,, з цього випливає, що пріуравненіе не має сенсу.

У рівняння х (3k-8) = 6-k підставимо неприпустимі значення х, щоб дізнатися, за яких k рівняння не має сенсу:

Отже, ми з'ясували, що.

Висловимо х :. Х буде більше нуля, якщо.

Враховуючи, що ,,. Відповідь:,.

2. При яких значеннях а уравненіеімеет рівні коріння?

Рівняння має рівні корені в тому випадку, якщо дискримінант дорівнює нулю. Знайдемо дискримінант даного рівняння і прирівняємо його до нуля:

Відповідь: при а = 2 і а = 2/35.

3. Для кожного значення параметра а знайти всі значення х, що задовольняють рівнянню a | x + 3 | +2 | x + 4 | = 2.

1) х + 3 = 0 2) х + 4 = 0

х = - 3 х = - 4.

х + 3 - - +

х + 4 - -4 + -3 +

Розглянемо 3 проміжку.

1.

а (- (х + 3) +2 (- (х + 4) = 2

-ах - 3а -2х - 8 = 2

х (- а - 2) = 10 + 3а (при а- 2)

.

Тепер треба з'ясувати, за яких а х потрапляє на проміжок.

Отже, на промежуткеуравненіе має єдиний кореньпрі.

2 ..

=> При а2 х = -3

При а = 2.

3.

=> При а-2 х = -3

При а = -2.

Відповідь: 1. при

2. при а2 х = -3

при а = 2.

3. при а-2 х = -3

при а = -2.

Висновок

Отже, виконавши цю роботу, я дійсно зрозуміла, як вирішуються рівняння з параметрами, придбала навик рішення і, сподіваюся, тепер не зіткнуся з труднощами при вирішенні подібних завдань на іспиті. Я сподіваюся, що моя робота допоможе учням успішніше і сміливіше вирішувати різні завдання з параметрами.

Звичайно, не всі далося відразу і легко - щоб навчитися розв'язувати рівняння з параметрами, потрібно вийти за рамки уявлень про зрівняння, при цьому не забуваючи про властивості того чи іншого типу рівняння. Вдається це не відразу. До того ж, в шкільній програмі задачам з параметрами не приділяється належної уваги, тому, побачивши таке на іспиті, звичайно, можна розгубитися. Але я сподіваюся, що викликала інтерес учнів до вивчення таких цікавих і нестандартних завдань, як рівняння, що містять параметр.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com