трусики женские украина

На головну

 Рівняння, що містять параметр - Математика

Міська конференція учнів муніципальних освітніх установ, що займаються навчально-виховною діяльністю

«Кроки в науку»

Наукове товариство учнів «Пошук»

Муніципального освітнього закладу

«Середня загальноосвітня школа №86 м.Омськ»

Науковий напрямок: «Математика»

Рівняння, що містять параметр

Соколова Олександра Михайлівна

учениця 10 класу МОУ

«ЗОШ №86 м.Омськ»

Керівник: Дощанова Тіште Мухановна,

вчитель математики

Омськ 2011

Зміст

Введення

1. Знайомство з параметрами

1.1 Рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим

1.2 Рішення лінійних рівнянь з модулем

1.3 Рішення квадратних рівнянь

2. Приклади рішень рівнянь з параметром з ДПА та ЗНО частини З

Висновок

Введення

В даний час різні завдання з параметрами - це одні з найскладніших завдань на іспитах. А адже в екзаменаційних завданнях вони є як за 9 клас, так і за 11, але багато учнів навіть не беруться вирішувати ці завдання, так як свідомо вважають, що не зможуть їх вирішити, навіть не спробувавши. А на ділі, щоб впоратися з ними, потрібно всього лише проявити логіку, включити кмітливість і нічого складного не опиниться.

Свою роботу я захотіла присвятити завдань з параметрами, так як саме вони викликають у більшості учнів найбільші труднощі. Мені самій потрібно буде здавати ЗНО, і тому, звертаючись до цієї теми, я хотіла б полегшити і собі, і своїм слухачам, тяжкість вирішення завдань з параметрами.

Мета моєї роботи - навчитися розв'язувати рівняння з параметрами і познайомити учнів з методами вирішення подібних завдань.

Я поставила перед собою наступні завдання:

1. Самою навчитися розв'язувати рівняння з параметрами різних видів.

2. Ознайомити учнів з різними методами вирішення подібних рівнянь.

3. Викликати інтерес учнів до подальшого вивчення задач з параметрами.

У моїй роботі я розгляну наступні види завдань з параметрами:

1) рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим;

2) рішення лінійних рівнянь з модулем;

3) рішення квадратних рівнянь.

рівняння параметр невідоме модуль

1. Знайомство з параметрами

Для початку, варто було б пояснити, що собою представляють рівняння з параметрами, яким присвячена моя робота. Отже, якщо рівняння (або нерівність), крім невідомих, містить числа, позначені буквами, то воно називається параметричним, а ці букви - параметрами.

Якщо параметру, що міститься в рівнянні (нерівність), надати деяке значення, то можливий один із двох наступних випадків:

1) вийде рівняння (нерівність), що містить лише дані числа і невідомі (тобто без параметрів);

2) вийде умова, позбавлене сенсу.

У першому випадку значення параметра вважається допустимим, у другому - неприпустимим.

Вирішити рівняння (нерівність), що містить параметр, - це значить, для кожного допустимого значення параметра знайти безліч всіх значень даного рівняння (нерівності).

На жаль, не рідко при вирішенні прикладів з параметрами багато хто обмежується тим, що становлять формули, що виражають значення невідомих через параметри. Наприклад, при вирішенні уравненіяпереходят к у равнению; при m = записують єдине рішення. Але ж при m = -1 - незліченна безліч рішень, а при m = 1, рішень немає.

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Відразу видно, що при вирішенні цього рівняння варто розглянути такі випадки:

1) a = 1, тоді рівняння приймає види не має рішень;

2) при а = -1 приходило, очевидно, х будь;

3) при.

Відповідь: при a = 1 рішень немає, при а = -1 х будь-яке, при.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Очевидно, що, а, тобто х = b / 2, але, тобто 2b / 2, b4.

Відповідь: при b4 х = b / 2; при b = 4 немає рішень.

Приклад 3. За яких а уравненіеімеет єдине рішення?

Відразу хочу звернути увагу на поширену помилку - вважати дане рівняння квадратним. Насправді це рівняння ступеня не вище другий! При а - 2 = 0, а = 2, рівняння вироджується в лінійне має єдиний корінь х = 1/4. Якщо ж а2, то ми дійсно маємо справу з квадратним рівнянням, яке дає єдине рішення при D = 0 ,, а = 1, а = 6.

Відповідь: при а = 2, а = 1, а = 6.

1.1 Рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим

Вирішити таке рівняння - це значить:

1) визначити безліч допустимих значень невідомого і параметрів;

2) для кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідні безлічі рішень рівнянь.

Найпростіше рівняння першого ступеня з одним невідомим має вигляд ах-b = 0.

Пріуравненіе має єдине рішення, яке буде: позитивним, есліілі; нульовим, якщо; негативним, есліілі.

Якщо а = 0, то при b = 0 незліченна безліч рішень, а при b0 рішень немає.

Приклад 1. Для кожного значення а вирішити рівняння; знайти за яких а коріння більше нуля.

Це рівняння не є лінійним рівнянням (тобто являє собою дріб), але при х-1 і х0 зводиться до такого: або а-1-х = 0.

Ми вже виявили допустимі значення ікс (х-1 і х0), виявимо тепер допустимі значення параметра а:

а-1-х = 0А = х + 1

З цього видно, що при х0 а1, а при х-1 а0.

Таким чином, при а1 і а0 х = а-1 і це корінь більше нуля при а> 1.

Відповідь: при а <0 х = а-1; прірешеній немає, а при a> 1 коріння позитивні.

Приклад 2. Вирішити рівняння (1).

Допустимими значеннями k і x будуть значення, при яких.

Наведемо рівняння до найпростішого виду:

9х-3k = kx-12

(9 - k) x = 3k-12 (2)

Знайдемо k, при яких споконвічне рівняння не має сенсу:

Підставивши в (2), отримаємо:

.

Якщо підставимо, то отримаємо так само.

Таким чином, пріуравненіе (1) не має числового сенсу, т.е.- це неприпустимі значення параметра k для (1). Прими можемо вирішувати тільки рівняння (2).

1. Якщо, то рівняння (2) і разом з ним рівняння (1) мають єдине рішення, яке буде:

а) позитивним, якщо, при 4б) нульовим, якщо;

в) негативним, есліі k> 9 з урахуванням

, Отримуємо.

2. Якщо, то рівняння (2) рішень не має.

Відповідь: а) пріі, причому х> 0 для; x = 0 при k = 4; x <0 при;

б) пріуравненіе не має рішень.

1.2 Рішення лінійних рівнянь з модулем

Для початку, варто згадати, що таке модуль числа. Отже, абсолютною величиною або модулем числа називається саме число х, якщо х позитивний, число (-х), якщо х негативний, або нуль, якщо х = 0. Значення модуля може бути тільки позитивним.

Щоб зрозуміти рішення параметричних рівнянь, що містять знак модуля, найкраще продемонструвати рішення наочно, тобто навести приклади:

Приклад 1. Вирішити рівняння | x-2 | = b.

Так як, за визначенням модуля, | x-2 |, то при b <0 дане рівняння рішень не має. Якщо b = 0, то рівняння має рішення х = 2.

Якщо b> 0, то рішеннями рівняння є числа x = 2 + b і x = 2-b.

Відповідь: при b <0 рішень немає, при b = 0 х = 2, при b> 0 х = 2 + b і x = 2-b.

Приклад 2. Вирішити рівняння | xa | = | x-4 |. Найзручніше дане рівняння вирішити методом інтервалів, для двох випадків:

1) a;

2) 4.

1. Перший інтервал:

;

Другий інтервал:

, Тобто якщо а <4, то.

Третій інтервал:

а = 4, тобто якщо а = 4, то.

2. Перший інтервал:

а = 4 ,.

Другий інтервал:

a> 4, т.е. якщо 4 <а, то

Третій інтервал:

Відповідь: при а = 4 х-будь ;, при а <4.

Приклад 3. Для кожного значення параметра а знайти всі значення х, що задовольняють рівнянню | x + 3 | - a | x - 1 | = 4.

Розглянемо 3 проміжку: 1), 2), 3) і вирішимо вихідне рівняння на кожному проміжку.

1.,.

При а = 1 рівняння не має рішень, але при а1 рівняння має корінь. Тепер треба з'ясувати, за яких а х потрапляє на проміжок x <- 3, т.е. ,,,. Отже, вихідне рівняння на x <- 3 має один кореньпрі, а на інших а коренів не має.

2 ...

При а = - 1 рішенням рівняння є будь х; але ми вирішуємо на проміжку. Якщо а1, то рівняння має один корінь х = 1.

3 ...

При а = 1 рішенням є будь-яке число, але ми вирішуємо на. Якщо а1, то х = 1.

Відповідь: при; при а = - 1 та при а1 х = 1; при а = 1і при а1 х = 1.1.3 Рішення квадратних рівнянь з параметром

Для початку нагадаю, що квадратне рівняння - це рівняння виду, де а, b і с - числа, причому, а0.

Умови параметричних квадратних рівнянь можуть бути різні, але для рішень всіх їх потрібно застосовувати властивості звичайного квадратного рівняння:

а) Якщо D> 0, а> 0, то рівняння має два дійсних різних корені, знаки яких при с> 0 однакові і протилежні за знаком коефіцієнта b, а при с <0, причому за абсолютною величиною більше той, знак якого протилежний коефіцієнту b.

б) Якщо D = 0, а> 0, то рівняння має два дійсних і рівних між собою кореня, знак яких протилежний знаку коефіцієнта b.

в) Якщо D <0, а> 0, то рівняння не має дійсних коренів.

Аналогічно можна представити властивості коренів при а <0. Крім того, в квадратних рівняннях справедливі наступні твердження:

1. Якщо поміняти місцями коефіцієнти а і с, то коріння отриманого квадратного рівняння будуть обернені коріння даного.

2. Якщо поміняти знак коефіцієнта b, коріння отриманого квадратного рівняння будуть протилежні кореням даного.

3. Якщо коефіцієнти а і з різних знаків, то рівняння має дійсні корені.

Приклад1. Знайти всі значення параметра а, для яких квадратне рівняння: а) має два різних кореня; б) не має коренів; в) має два рівних кореня.

Дане рівняння за умовою є квадратним, тому а-1. Розглянемо дискриминант даного рівняння:

При а> -1 рівняння має два різних корені, тому D> 0, при a <-1 рівняння коренів не має, тому D <0, а двох однакових коренів це рівняння мати не може, тому D = 0 при а = -1, а це суперечить умові завдання.

Приклад2. Вирішити рівняння

При а = 0 рівняння є лінійним 2х + 1 = 0, яке має єдине рішення х = -0.5. А при а0, рівняння є квадратним і його дискримінант D = 4-4a.

При а> 1 D <0 тому рівняння коренів не має. При а = 1 D = 0, тому рівняння має два співпадаючих кореня = -1.

При a <1, але а0, D> 0 і дане рівняння має два різних кореня

;.

Відповідь: ІПРІ a <1, але а0; х = -0.5 при а = 0; = - 1 при а = 1.

Приклад3. Коріння уравненіятакови, що. Знайдіть а.

За теоремою Віетаі. Зведено обидві частини першої рівності в квадрат :. Враховуючи, що, а, одержуємо: або ,. Перевірка показує, що всі значеніяудовлетворяют умові.

Відповідь:

2. Приклади рішень рівнянь з параметром з ДПА та ЗНО частини З

Дізнавшись всю теоретичну основу і методи рішень різних рівнянь, що містять параметр, я вирішила застосувати свої знання на практиці. Ми вибрали кілька варіантів завдань ДПА і ЄДІ з частини С, що представляють собою саме ті види рівнянь, які були представлені в моїй роботі, а саме: рівняння першого ступеня з одним невідомим, рівняння з модулем і квадратне рівняння. Нижче будуть запропоновані рішення цих рівнянь.

1. Визначити значення k, при яких корені уравненіяположітельни.

Відразу можна виділити, що ,, з цього випливає, що пріуравненіе не має сенсу.

У рівняння х (3k-8) = 6-k підставимо неприпустимі значення х, щоб дізнатися, за яких k рівняння не має сенсу:

Отже, ми з'ясували, що.

Висловимо х :. Х буде більше нуля, якщо.

Враховуючи, що ,,. Відповідь:,.

2. При яких значеннях а уравненіеімеет рівні коріння?

Рівняння має рівні корені в тому випадку, якщо дискримінант дорівнює нулю. Знайдемо дискримінант даного рівняння і прирівняємо його до нуля:

Відповідь: при а = 2 і а = 2/35.

3. Для кожного значення параметра а знайти всі значення х, що задовольняють рівнянню a | x + 3 | +2 | x + 4 | = 2.

1) х + 3 = 0 2) х + 4 = 0

х = - 3 х = - 4.

х + 3 - - +

х + 4 - -4 + -3 +

Розглянемо 3 проміжку.

1.

а (- (х + 3) +2 (- (х + 4) = 2

-ах - 3а -2х - 8 = 2

х (- а - 2) = 10 + 3а (при а- 2)

.

Тепер треба з'ясувати, за яких а х потрапляє на проміжок.

Отже, на промежуткеуравненіе має єдиний кореньпрі.

2 ..

=> При а2 х = -3

При а = 2.

3.

=> При а-2 х = -3

При а = -2.

Відповідь: 1. при

2. при а2 х = -3

при а = 2.

3. при а-2 х = -3

при а = -2.

Висновок

Отже, виконавши цю роботу, я дійсно зрозуміла, як вирішуються рівняння з параметрами, придбала навик рішення і, сподіваюся, тепер не зіткнуся з труднощами при вирішенні подібних завдань на іспиті. Я сподіваюся, що моя робота допоможе учням успішніше і сміливіше вирішувати різні завдання з параметрами.

Звичайно, не всі далося відразу і легко - щоб навчитися розв'язувати рівняння з параметрами, потрібно вийти за рамки уявлень про зрівняння, при цьому не забуваючи про властивості того чи іншого типу рівняння. Вдається це не відразу. До того ж, в шкільній програмі задачам з параметрами не приділяється належної уваги, тому, побачивши таке на іспиті, звичайно, можна розгубитися. Але я сподіваюся, що викликала інтерес учнів до вивчення таких цікавих і нестандартних завдань, як рівняння, що містять параметр.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка