Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Формування і перевірка гіпотез - Економіко-математичне моделювання

Формування і перевірка гіпотез

У логіці методи міркувань діляться на два класи: дедуктивні висновки і правдоподібні міркування (або недедуктивних висновки). Для виконання дедуктивних висновків необхідні деякі правила логічного висновку; ці правила визначені математичної формальною системою, за допомогою якої моделюються міркування і багато в чому відповідають правилам логічного висновку, що використовуються в строгих математичних доказах. З попередніх розділів ми вже знаємо, що для систем логічного аналізу на основі E-структур передбачені два правила виводу - транзитивності і контрапозиции, за допомогою яких формується CT-замикання структури. Крім того, для контролю коректності структури використовуються методи перевірки наявності або відсутності колізій. Ці методи не є правилами виведення, але сприяють їх успішної реалізації.

Однак природні міркування не обмежуються тільки дедуктивним висновками. Дедукція, як правило, працює на заключному етапі розумових процесів, коли побудовані деякі вихідні твердження, які мають статус аксіом. Тоді отримання наслідків (теорем) з аксіом і перевірка того, що деяке твердження є наслідком з цих аксіом, відносяться до дедукції У той же час самі аксіоми нерідко формуються за допомогою деяких узагальнень і творчої інтуїції. Ця розумова діяльність відноситься вже до правдоподібним міркувань.

Зрозуміло, що за допомогою логіки, мабуть, неможливо відобразити все різноманіття творчого пошуку. Але деякі його різновиди все ж можна відтворити, використовуючи суворі математичні системи. Деякі методи правдоподібних міркувань можуть бути реалізовані з використанням математики і цілком можлива реалізація їх на комп'ютері. До них відносяться індукція (у вузькому сенсі пошук закономірностей на прикладах), абдукція (пошук пояснень для деяких несподіваних і не виводяться з аксіом фактів або прикладів) і формування гіпотез (пошук нових тверджень, які не є наслідками прийнятих аксіом).

Прикладом індукції в міркуваннях є висновок німецьким астрономом Іоганном Кеплером (1571-1630) математичних законів руху планет навколо Сонця на основі даних астрономічних спостережень. Але індуктивні висновки не завжди бувають, безумовно, вірними. Якщо ми, припустимо, подорожуючи по Європі та Азії, зустрічаємо тільки білих лебедів, то ми можемо зробити індуктивний висновок "Все лебеді білі". Але, якщо ми потрапимо в Австралію, то нам доведеться змінити свою точку зору, так як там зустрічаються чорні лебеді. В даний час багато методи пошуку закономірностей на прикладах розвинулися в цілу галузь комп'ютерних технологій, яка отримала назву Data Mining.

Абдукції ми розглянемо пізніше. А в цьому розділі познайомимося з гіпотезами. По суті гіпотеза - це нове знання, яке не є наслідком прийнятих аксіом (або посилок). У той же час, щоб гіпотеза була коректною, вона не повинна суперечити нашим аксіомам - для E-структур це означає, що при додаванні сформульованої гіпотези в конкретну структуру не відбувається логічних конфліктів у вигляді колізій.

Розглянемо спочатку найпростіші випадки такого безконфліктного оновлення знань. Нехай початкове знання представлено коректної E-структурою R, і в цій E-структурі є безліч T базових термінів. Тоді найпростішим випадком безконфліктного оновлення знань буде випадок, коли нове судження (припустимо, це судження A®B) містить терміни (A і B), які не входять до складу базових термінів E-структури R. Ясно, що при додаванні цього судження в R будь-які колізії неможливі. Наприклад, якщо ми до посилок з прикладу 6 (розділ 3) додамо судження "Всі лебеді білі", то побачимо, що за змістом воно ніяк не пов'язане з термінами з цього прикладу. Судження такого типу можна вважати нейтральними щодо досліджуваного знання. І такий випадок в силу своєї тривіальності ніякого інтересу не представляє.

Більш цікавий випадок, коли в новому судженні поряд з новими термінами містяться базові терміни E-структури R. Найпростіший варіант, коли в систему додається нове судження, але при цьому в системі міститься тільки один з термінів нового судження. Тоді незалежно від того, чи є новим терміном предикат або суб'єкт цього судження, наша система «сприйме» нове судження без всяких колізій. За рахунок поступового нарощування таких розглянутих вище випадків відбувається необмежене розширення будь вихідної системи.

Як приклад розглянемо полісіллогізм Л. Керрола.

1) Всякі малі діти нерозумні;

2) Всі, хто приборкує крокодилів, заслуговують на повагу;

3) Всі нерозумні люди не заслуговують на повагу.

Додамо в цей полісіллогізм ще одне судження: "Всі обманщики не заслуговують поваги". У цьому судженні предикат представлений терміном, вже містяться в системі, а суб'єкт - новим терміном («обманщики»). В результаті такого поповнення наша система також залишиться коректної системою, а число базових термінів системи збільшиться на два («обманщики» і їх заперечення - "не обманщики»). При цьому в новій системі з'являються деякі цікаві особливості, які будуть розглянуті дещо пізніше.

Безконфліктність системи, оновленої за рахунок такої гіпотези, можна перевірити, побудувавши відповідне CT-замикання. Більш складним є випадок, коли в новому судженні передбачається нова зв'язок між двома і більше термінами вихідної системи. Частково цей випадок був розглянутий у попередньому розділі, коли за допомогою верхніх конусів в коректній E-структурі будувалися деякі екзистенційні судження, в яких з'являлися вже нові терміни. Тим самим ми безконфліктно доповнювали вихідну E-структуру новими судженнями, не використовуючи при цьому основні правила виводу (контрапозиции і транзитивності). Але цей метод дозволяє сформувати тільки гіпотези, які є безумовними екзистенційними судженнями.

Розглянемо приклад умовного екзистенціального судження. Нехай задана проста E-структура з двома судженнями: A®B і B®C. Побудуємо її CT-замикання і виділимо всі максимальні верхні конуси:

AD = {A, B, C}; D = {,,}.

CT-замикання цієї E-структури представлено у вигляді графа на рис. 1.

дедуктивний логічний висновок міркування

Рис. 1 Рис. 2

Випробуємо для цієї E-структури екзистенціальне судження W® (, B). Сукупність литералов {, B} не включена ні в один з максимальних верхніх конусів і тому дане судження не є безумовним. А буде структура коректною, якщо ми приєднаємо це судження до вихідної системи (рис. 2)?

Перевірка по теоремі показує, що коректність структури не порушиться. Але в чому полягає "умовність" даного екзистенціального судження? Точніше, за яких умов або коректних зміни у структурі додавання цього судження в структуру призведе до колізії? Справа в тому, що в структурі міститься співвідношення A®B (тобто в термінах алгебри множин AIB - нестроге включення), і при цьому допускається можливість рівності A і B. У той же час екзистенціальний судження W® (, B) означає , що в множині B міститься хоча б один елемент з доповнення множини A і, отже, рівність A і B неможливо. Іншими словами, розглядається екзистенціальне судження вводить в структуру обмеження, яке не мало б місця, якби до структури додавалося безумовне екзистенціальне судження.

Даний приклад ілюструє той факт, що додавання нових суджень, що містять два і більше термінів вихідної системи, не завжди є простою справою і деколи вимагає ретельної перевірки. Таку перевірку можна істотно полегшити, якщо використовувати комп'ютерну програму аналізу міркувань.

Розглянемо ситуацію, коли в новому судженні (або в сукупності нових суджень) містяться тільки базові терміни. Такі судження не є екзистенційними, будемо називати їх базовими судженнями. Почнемо з простого прикладу. Нехай існуюче знання представлено E-структурою, показаною на малюнку 1. Склад базових термінів цієї E-структури утворює безліч T = {A, B, C ,,,}. Питається, чи можна в цю E-структуру додати хоча б одне судження, використовуючи тільки терміни з безлічі T, і при цьому потрібно простежити, щоб нове судження не містилося в CT-замиканні цієї структури?

Якщо не знати деяких закономірностей E-структур, то для відповіді на це питання потрібно тупий перебір всіх суджень, які не містяться в CT-замиканні, і перевірка кожного з них на коректність. Можливих варіантів перебору тут чимало, але є способи, що дозволяють істотно скоротити кількість перевірок. Розглянемо, як це робиться. Для вирішення цього завдання побудуємо таблицю з чотирьох колонок.

У першій колонці записується CT-замикання нашої системи - зліва від стрілки літерал, а праворуч - літерали, які досяжні з цього литерала. Відразу ж в цій колонці видно максимальні елементи нашої структури - у них дужки праворуч порожні. Знаючи максимальні елементи, можна легко отримати мінімальні елементи E-структури (вони необхідні для побудови максимальних верхніх конусів). Виявляється, мінімальні елементи в E-структурах є доповненнями максимальних елементів (мається доказ цього співвідношення, яке тут не наводиться). Так, у нашому прикладі мінімальні елементи A і, тому максимальними елементами будуть соответственноі C.

У другій колонці здійснюється перетворення відповідного вихідного судження CT-замикання так, що в розглянутій рядку суб'єкт судження буде тим же самим, а предикатами судження будуть всі терміни з T, які відсутні у вихідному судженні. Наприклад, якщо вихідною був рядок A® (B, C), то в другій колонці записується рядок A® (A ,,,), в якій будуть всі терміни з T, виключаючи B і C. Очевидно, що судження, представлені цим рядком (A® A, A®, A®, A®), в CT-замиканні не містяться. Деякі з цих суджень (наприклад, A®) можна виключити відразу ж без перевірки на коректність.

У третій колонці записується результат, отриманий у другій колонці, але при цьому з числа предикатів виключається термін, який в цьому рядку є суб'єктом, і термін, який є запереченням суб'єкта. Ці результати заносяться в третю колонку таблиці. Таким чином, з можливих кандидатів у коректні гіпотези відразу ж виключаються судження типу X®X і X®. Перше судження стверджує, що кожне безліч включено в самого себе, що є аксіомою, а другий передбачає елементарну колізію парадоксу і тому не є коректним.

У четвертій колонці відтворюються записи третьої колонки, але при цьому з правої частини цих записів виключаються предикати, що утворюють в сукупності з суб'єктом судження, зворотні тим, які містяться в CT-замиканні. Наприклад, у другому рядку із запису B® (A ,,) ми виключили з правої частини термін A, так як його присутність на увазі, що нам доведеться перевіряти судження B®A, хоча в CT-замиканні є зворотне йому судження A®B. Як уже відомо, суміщення прямого і зворотного судження в одній E-структурі призводить до появи елементарного циклу між двома літералами.

В результаті виявляється, що належить перевірити 12 елементарних суджень - по два судження в кожному рядку. Розглянемо як приклад перший рядок A® (,), в якій містяться два елементарних судження A®і A®. Спочатку відтворимо діаграму Хассе нашої вихідної системи (рис. 3) і додамо до цієї системи першій проверяемое судження (рис. 4). Тепер досить подивитися на малюнок, щоб переконатися, що нова система містить колізію парадоксу A®, оскільки з A є шлях в. Той же результат ми отримаємо, якщо у вихідну систему додамо другий проверяемое судження (рис. 5).

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

При перевірці всіх інших елементарних суджень з четвертої колонки нашої таблиці виявляється, що всі вони ініціюють колізію парадоксу. Таким чином, у вихідну систему неможливо додати яку-небудь посилку, що містить тільки базові терміни, щоб при цьому не виникало ніяких колізій. Системи з такою властивістю ми надалі будемо називати насиченими системами. При цьому "насиченість" системи не означає, що в неї взагалі не можна нічого додавати. Як було показано раніше, до зазначених систем можна додавати без колізій скільки завгодно екзистенціальних суджень.

Перевірку коректності гіпотези, що містить тільки базові літерали, можна спростити, якщо скористатися співвідношенням, вираженим наступною теоремою. Але спочатку необхідно визначити ще одну операцію (інверсію), яка часто використовується в E-структурах.

Інверсією (Inv (S)) довільного безлічі S литералов є безліч літералів таке, що кожному Літерали LiIS ставиться у відповідність літералI Inv (S).

Іншими словами, для виконання інверсії в безлічі літералів ми замість кожного литерала з цієї безлічі записуємо його доповнення. Так, якщо S = {A ,, C}, то Inv (S) = {, B,}. Інверсія володіє деякими цікавими властивостями. Зокрема, неважко перевірити, що при дворазовому застосуванні інверсії до певного безлічі літералів буде отримано те ж саме безліч, тобто Inv (Inv (S)) = S.

Теорема. Нова базова судження A®B є коректною гіпотезою в коректній E-структурі G, якщо спільно дотримуються дві рівності:

ANCBD = ?;

ANCInv (BD) = ?.

Доказ. Припустимо, що ANCBD ? ?. Це означає, що існує деякий літерал W, який одночасно належить і AN, і BD. Звідси випливає, що W є попередником литерала A і нащадком литерала B. Тому, коли літерали A і B з'єднуються дугою A®B (тобто ми додаємо гіпотезу в структуру), то виходить, що через літерали A і B існує шлях з W в W, що означає колізію циклу. Таким чином, необхідність умови (i) доведена. Припустимо, що ANCInv (BD) ? ?. Це означає, що існує літерал W, такий, що W є попередником A, а- нащадком литерала B. Тоді при додаванні гіпотези A®B в структуру з'являється шлях з W в, що означає колізію парадоксу. Таким чином, необхідність умови (ii) доведена. Кінець докази.

З доведення теореми ясно, що в структурі є колізія циклу в тому випадку, коли не дотримується умова (i), а колізія парадоксу, - коли не дотримується умова (ii).

Розглянемо, як можна використовувати теорему 5 для вирішення попередньої задачі. Припустимо, нам треба перевірити коректність гіпотези B®. Будуємо для цих литералов відповідні конуси:

BN = {A, B}; D = {,,}; Inv (D) = {A, B, C}.

Перевіряємо умови теореми 5: BNCD = ?; BNC Inv (D) = {A, B}.

Звідси випливає, що при додаванні гіпотези B®в структуру колізії циклу не утворюється, зате з'являється колізія парадоксу.

Перевірка насиченості навіть простої системи є досить трудомістким заняттям і тут доцільно скористатися обчислювальними можливостями комп'ютера. Однак є класи E-структур, насиченість яких легко розпізнається без нудного перебору. До цього класу належать, зокрема, все E-структури, у яких діаграма Хассе містить дві не перетинаються один з одним максимальні ланцюга, тобто шляху, початком яких є мінімальні елементи структури. Наприклад, якщо ми побудуємо діаграму Хассе якийсь E-структури і побачимо таку картинку (рис. 6), то можемо сміливо без всяких перевірок стверджувати, що ця система є насиченою.

Рис. 6

Неважко переконатися, що до даного структурному класу належить також і система, насиченість якої ми тільки що перевірили методом перебору. До цього класу належать майже всі приклади полісіллогізм, що наводяться в підручниках з логіки. Разом з тим, цей клас є всього лише окремим випадком E-структур і відповідних їм міркувань, тобто можливі класи E-структур, у яких схеми будуть більш заплутаними. Далі будуть розглянуті E-структури, для яких перевірка насиченості не є такою простою процедурою. Наведемо визначення та співвідношення, які після попереднього аналізу будуть більш зрозумілими.

Для заданої E-структури будь-яке судження, що містить тільки пару різних базових термінів цієї E-структури і не міститься в її CT-замиканні, називається базовим невиводимість судженням.

E-структура є насиченою, якщо додавання в неї будь-якого базового невиводимість судження викликає колізії парадоксу або циклу. В іншому випадку така структура є ненасиченої.

Для ненасичених E-структур будь-яке її базове невитравне судження, що не викликає в цій E-структурі будь-яких колізій, називається базовою коректної гіпотезою цієї E-структури.
Українська і зарубіжна культура
Братські школи і їх роль в розвитку культури. Боротьба за збереження культурної самобутності давно стала однією з основних тим в історії українців. Постійно знаходячись під владою чужоземних держав, вони неодноразово випробовували спроби асиміляції пануючою культурою. XIV - XVI ст., з часів

Дослідження муміє
МЕТОДИ І РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛІДЖЕННЯ муміє МУСУРМАНКУЛОВ Р.Т. Зміст Огляд Мікробіологічний аналіз радіаційний аналіз Мікроелементний аналіз Біохімічний аналіз Токсілогіческій аналіз Дослідження канцерогенності Методи ідентифікації муміє Огляд Проблема визнання муміє лікарським засобом і введення

Екзотермічний ефект при відновному піролізі хлорорганічних сполук
ВСТУП Проблема ліквідації та переробки відходів виробництва - одне з важливих завдань сучасної промисловості. Значна частина відходів припадає на частку хімічної промисловості, в тому числі і її хлоридной підгалузі. Відходи хлорорганічних виробництв - вінілхлориду, епіхлоргідриду, дихлоретану

Ведическая культура
Якщо ми звернемося до наидревнейшим письмових пам'ятників, виявлених на території Древній Індії, то тексти індуської (харрапской) культури (ок. 2500 - 1700 років до н. е.), які досі ще повністю не розшифровані, є першим джерелом інформації про життя (спільно з археологічними знахідками) древнеиндийского

Предмет вивчення теорії ймовірностей
Реферат на тему: Предмет вивчення теорії ймовірностей Виконала: учениця 9-Б класу Перепелиця Юлія Валки, 2011 Вступ Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення

Моделювання забруднення чорнозему свинцем з метою встановлення екологічно безпечної концентрації
Моделювання забруднення чорнозему свинцем з метою встановлення екологічно безпечної концентрації Введення На кожен квадратний метр суші протягом року атмотехногенним шляхом в середньому випадає 5.6-9.5 мг свинцю [16]. Однак головна небезпека для міських ландшафтів полягає не тільки і не стільки

Деменція у зв'язку з епілепсією
Ярославська Державна Медична Академія Кафедра психіатрії, психотерапії і Медичної психології Завідувач кафедри: Професор Е.А.Грігорьева; Викладач: Асистент Д.С. Веселов ІСТОРІЯ ХВОРОБИ Б. Г.В. 46 років. Діагноз Клінічний: F 02.8.2 Основний: Деменція у зв'язку з епілепсією. Ускладнення основного:

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати