Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Многочлени Лежандра, Чебишева і Лапласа - Математика

ЗМІСТ

Введення

1. Поліноми Лежандра

2. Багаточлени Чебишева

3. Перетворення Лапласа

4. Звернення перетворення Лапласа за допомогою многочленів, ортогональних на кінцевому проміжку

4.1 Постановка завдання

4.2.Обращеніе перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Лежандра

4.3. Звернення перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Чебишева першого роду.

Висновок

перетворення зміщений многочлен числення

ВСТУП

Математичний аналіз - розділ математики, що дає методи кількісного дослідження різних процесів зміни; займається вивченням швидкості зміни (диференціальне числення) і визначенням довжин кривих, площ і обсягів фігур, обмежених кривими контурами і поверхнями (інтегральне числення). Для задач математичного аналізу характерно, що їх рішення пов'язане з поняттям меж.

Початок математичного аналізу поклав в 1665 И.Ньютон і (близько 1675) незалежно від нього Г. Лейбніц, хоча важливу підготовчу роботу провели И.Кеплер (1571-1630), Ф.Кавальері (1598-1647), П.Ферма (1601 1665), Дж.Валліс (1616-1703) і І.Барроу (1630-1677).

Операційне числення - розділ математики, що займається головним чином алгебраїчними операціями, виробленими над символами операції (або перетворення).

У багатьох задачах математичного аналізу розглядаються ситуації, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж) простору. Простору можуть бути абстрактними, в яких «точки» насправді є функціями. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. У завдання теорії операторів входить докладний опис і класифікація різних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімізувати і спростити обчислення. Зазвичай теорію операторів застосовують до просторів, в яких допускається додавання множення точок, тобто лінійним просторам, групам, кільцям, полях і т.д.

Операційне числення дозволяє здійснити абстрактні постановки завдань і узагальнити такі розділи математичного аналізу, як теорія диференціальних та інтегральних рівнянь. Потужним стимулом для розвитку теорії операторів стали сучасні проблеми квантової теорії. Найбільш повні результати отримані для дистрибутивних операторів в т.зв. гільбертовому просторі. Інтерес до цієї області багато в чому пов'язаний з поданням таких операторів інтегральними перетвореннями.

У середині XIX століття з'явився ряд творів, присвячених так званому символічному обчисленню та застосуванню його до рішення деяких типів лінійних диференціальних рівнянь. Сутність символічного числення полягає в тому, що вводяться в розгляд і належним чином інтерпретуються функції оператора диференціювання.

.

Серед творів за символічним обчисленню слід зазначити що вийшла в 1862 році в Києві грунтовну монографію російського математика М. Є. Ващенко-Захарченко «Символічне числення і додаток його до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь». У ній поставлені і вирішені основні завдання того методу, який в подальшому отримав назву операційного.

У 1892 році з'явилися роботи англійського вченого О. Хевісайда, присвячені застосуванню методу символічного числення до вирішення завдань з теорії розповсюдження електричних коливань в проводах.

На відміну від своїх попередників, Хевісайд визначив зворотний оператор однозначно, вважаючи і вважаючи f (u) = 0 для u <0. Праці Хевисайда поклали початок систематичного застосування символічного, або операційного, обчислення до вирішення фізичних і технічних завдань.

Однак широко розвинене в працях Хевісайда операційне числення не отримало математичного обгрунтування, і багато його результати залишалися недоведеними. Суворе обгрунтування було дано значно пізніше, коли було встановлено зв'язок між функціональним перетворенням Лапласа і оператором диференціювання

якщо існує похідна, для якої

існує і f (0) = 0, то

.

Одним з найбільш потужних засобів вирішення диференціальних рівнянь, як звичайних, так, особливо, в приватних похідних, є метод інтегральних перетворень. Перетворення Фур'є, Лапласа, Ганкеля та інші застосовуються для вирішення завдань теорії пружності, теплопровідності, електродинаміки та інших розділів математичної фізики. Використання інтегральних перетворень дозволяє звести диференціальне, інтегральне або інтегро-диференціальне рівняння до алгебраическому, а також, у разі диференціального рівняння в приватних похідних, зменшити розмірність.

Інтегральні перетворення задаються формулою

, (1)

де функцііназиваются оригіналом і зображенням відповідно, і є елементами деякого функціонального простору, при цьому функціяназивается ядром інтегрального перетворення.

Більшість інтегральних перетворень є оборотними, тобто за відомим зображенню можна відновити оригінал, часто також інтегральним перетворенням:

(2)

Хоча властивості інтегральних перетворень досить великі, у них досить багато спільного.

перетворення зміщений многочлен числення

1. Поліноми Лежандра

Многочлени Лежандра - многочлен, який в найменшій мірі відхиляється від нуля в сенсі середнього квадратичного. Утворює ортогональную систему многочленів, на отрезкепо міру Лебега. Многочлени Лежандра можуть бути отримані з многочленовортогоналізаціей Грама - Шмідта.

Названі по імені французького математика Адрієн Марі Лежандра.

Многочлени Лежандра визначаються за формулою (званої формулою Родріга)

(3)

часто записують у вигляді:

(4)

Многочлени Лежандра також визначаються за такими формулами:

, Якщо;

, Якщо.

Вони також можуть бути обчислені за рекуррентной формулою:

Перші многочлени Лежандра рівні:

2. Багаточлени Чебишева

Многочлени Чебишева - дві послідовності многочленів Tn (x) і Un (x), названі на честь Пафнутія Львовича Чебишева.

Многочлени Чебишева відіграють важливу роль в теорії наближень, оскільки корені многочленів Чебишева першого роду використовуються як вузлів в інтерполяції алгебраїчними многочленами.

Многочлен Чебишева першого роду Tn (x) характеризується як багаточлен ступеня n зі старшим коефіцієнтом 2n- 1, який найменше відхиляється від нуля на інтервалі [- 1,1]. Вперше розглянуто самим Чебишева.

Многочлени Чебишева першого роду Tn (x) можуть бути визначені за допомогою рекурентного співвідношення:

Многочлени Чебишева першого родамогут бути також визначені за допомогою рівності:

або, що майже еквівалентно,

Кілька перших многочленів Чебишева першого роду

Многочлени Чебишева мають наступні властивості:

Ортогональность по відношенню до відповідних скалярному добутку (з весомдля многочленів першого роду ідля многочленів другого роду).

Серед усіх многочленів, значення яких на відрізку [- 1,1] не перевищують по модулю 1, многочлен Чебишева має: найбільший старший коефіцієнт найбільше значення в будь-якій точці за межами [- 1,1] якщо, то, де tk - коефіцієнт многочлена Чебишева першого роду, ak - коефіцієнт будь-якого з розглянутих полиномов.

Нулі полиномов Чебишева є оптимальними вузлами в різних інтерполяційних схемах. Наприклад, у методі дискретних особливостей, який часто використовується при дослідженні інтегральних рівнянь в електродинаміки і аеродинаміки.

3.

4. Перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, що зв'язує функціюкомплексного змінного (зображення) з функціейдействітельного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні та інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які визначили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають більш прості співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Інтеграл Лапласа має вигляд:

(5)

де інтегрування проводиться по деякому контуру Lвплоскості комплексного змінного z, що ставить у відповідність функції f (z), визначеної на L, аналітичну функцію F (p) комплексної змінної p = s + it. Багато інтеграли виду (5) були розглянуті П. Лапласом.

У вузькому сенсі під перетворенням Лапласа увазі одностороннє перетворення Лапласа

, (6)

зване так на відміну від двостороннього перетворення Лапласа

(7)

Перетворення Лапласа - приватний вид інтегральних перетворень ;. перетворення виду (6) або (7) тісно пов'язані з Фур'є перетворенням. Двостороннє перетворення Лапласа (7) можна розглядати як перетворення Фур'є функції, одностороннє перетворення Лапласа (6) - як перетворення Фур'є функції j (t) равнойпрі 0 Підінтегральна комплексна локально сумовних функцій f (t) називається функцією-оригіналом, або просто оригіналом; в додатках часто зручно трактувати змінне t як час. Функція F (p) = L [f], (р) називається також перетворенням Лапласа оригіналу f (t) або зображенням по Лапласу. Інтеграл (6) розуміється, взагалі кажучи, як умовно збіжний на нескінченності.

Апріорі можливі три випадки:

1) існує дійсне чіслотакое, що інтеграл (6) сходиться при, а при- розходиться; це число ?сназивается абсциссой (умовної) збіжності;

2) інтеграл (6) сходиться при всіх р, в цьому випадку вважають;

3) інтеграл (6) розходиться при всіх р, в цьому випадку вважають

Якщо, то інтеграл (6) представляє однозначну аналітичну функцію F (p) у півплощині збіжності. Зазвичай обмежуються розглядом абсолютно сходяться інтегралів (6). Точна нижня грань тих s, для яких існує інтеграл, називається абсцисою абсолютної збіжності

Якщо а - є нижня грань тих s, для которихчісло а іноді називають показником зростання оригіналу f (t).

При деяких додаткових умовах оригінал f (t) однозначно відновлюється за своїм F (p). Наприклад, якщо f (t) має обмежену варіацію в околиці точки t0ілі якщо f (t) кусочногладкая, то має місце формула обернення перетворення Лапласа:

(8)

Формули (6) і (8) дозволяють отримати ряд співвідношень між операціями, виробленими над оригіналами і зображеннями, а також таблицю зображень для часто зустрічаються оригіналів. Все це становить елементарну частину операційного числення.

В математичній фізиці важливі застосування знаходить багатовимірне перетворення Лапласа:

(9)

де t = (t1, ..., tn)

-точка re-мірного евклідового простору

Rn, p = (p1, ..., pn) = ? + i? = (?1, ..., ?n) + (?1, ..., ?n)

-точка комплексного простору

Cn, n?1, (p, t) = (?, t) + i (?, t) = p1t1 + ... + pntn

-скалярное твір, dt = dt1 ... dtn- елемент об'єму в Rn. Комплексна функція f (t) в (9) визначена і локально суммируема в області інтегрування

-позитивний координатному куті простору Rn. Якщо функція f (t) обмежена в C *, то інтеграл (9) існує у всіх точкахудовлетворяющіх умові Re (p, t)> 0 ,, яке визначає знову позитивний координатний кут

Інтеграл (9) визначає голоморфних функцій комплексних змінних p = (p1, - pn) в трубчастої областіпространствас підставою S. У більш загальному випадку в якості області інтегрірованіяв (9) та підстави Sтрубчатой області можна взяти будь-яку пару сполучених замкнутих опуклих гострих конусів в пространствес вершиною на початку координат. При n = 1 формула (9) переходить в (6), прічем- позитивна піввісь и- права напівплощина. Перетворення Лапласа (9) визначено і голоморфних і для функцій f (t) набагато більш широких класів. Елементарні властивості перетворення Лапласа з відповідними змінами залишаються справедливими і для багатовимірного випадку.

Чисельне перетворення Лапласа - чисельне виконання перетворення (6), переводящего оригінал f (t), 0Необхідність застосування чисельного перетворення Лапласа виникає внаслідок того, що таблиці оригіналів і зображень охоплюють далеко не всі зустрічаються в практиці випадки, а також внаслідок того, що оригінал або зображення найчастіше виражаються занадто складними, незручними для застосувань формулами.

Проблема поводження перетворення Лапласа, як задача відшукання рішення f (x) інтегрального рівняння першого роду (6), відноситься до класу некоректних задач і може бути вирішена, зокрема, за допомогою регулярізірующего алгоритму.

Задачу чисельного обернення перетворення Лапласа можна також вирішувати методами, заснованими на розкладанні функції-оригіналу в функціональний ряд. Сюди в першу чергу можна віднести розкладання в степеневий ряд, в узагальнений статечної ряд, в ряд по показовим функціям, а також в ряди по ортогональних функціях, зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі і Лагерра. Завдання розкладання оригіналу в ряди по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку. Нехай відомо перетворення Лапласа F (p) функції ? (t) f (t):

де f (t) - шукана функція, а ? (t) - неотрицательная, інтегрована на [0, ?) функція. Передбачається, що функція f (t) інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [0, Т] і належить класу L2 (? (t), 0, ?) .По зображенню F (р) .функціі ? (t), f (t) , функція f (t) будується у вигляді ряду по зміщеним многочленів Якобі, зокрема по зміщеним многочленів Лежандра, Чебишева першого і другого роду, коефіцієнти якого akвичісляются за формулою.

де- коефіцієнти зміщеного многочлена Лежандра, Чебишева першого і другого роду відповідно, записаних у вигляді

Іншим прийомом чисельного обернення перетворення Лапласа є побудова квадратурних формул для інтеграла звернення (8).

4. Звернення перетворення Лапласа за допомогою многочленів, ортогональних на кінцевому проміжку

4.1 Постановка завдання

Задачу перетворення Лапласа можна вирішувати методами, заснованими на розкладанні оригіналу в ряди по ортогональних функціях, зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра і Якобі.Ета задача, яка в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку, була піддана вивченню в роботах багатьох авторів .

Розглянемо постановку цього завдання в такому вигляді, як це зроблено в роботах В.М. Амербаева і в книзі В.А. Діткин і А.П. Прудникова [2].

Нехай відомо перетворення Лапласа F (p) функції ? (t) f (t):

(10)

Де f (t) - шукана функція, а ? (t) - неотрицательная, абсолютно інтегрована на [0, ?) функція. Припустимо, що функція f (t) інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [0, Т] і належить класу L2 (? (t), 0, ?):

(11)

Потрібно по зображенню F (р) функції ? (t) f (t), побудувати функцію f (t).

В інтегралі (10) введемо заміну змінної x = et; тоді він приведеться до виду

(12)

де

В силу умов, які накладені на функції f (t) і ? (t), інтеграл (12) сходиться всюди у площині Re p?, 0, тому змінної р можна надати значення 0, 1, 2, ... і отримати «зважені моменти »функції

(13)

Після цього решаемую завдання можна сформулювати так: знайти функціюпо її «зваженим моментам», або, що теж саме, знайти функцію f (t) за значеннями зображення функції ? (t) f (t) в цілочисельних точках p = k (k = 0 , 1, 2, ...). В окремому випадку це завдання можна спростити і по першій п + 1 «зваженим моментам» шукати многочлен, такий, щоб його «зважені моменти» збігалися із заданими моментами функції, тобто щоб виконувалися рівності

(14)

4.2.Обращеніе перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Лежандра

Розглянемо окремий випадок вагової функції

(15)

або.

Багаточленами, ортогональними на відрізку [0,1] з вагою, будуть зміщені многочлени Лежандра

Вони задаються формулою

при

або ж формулою

Величина rnв цьому випадку дорівнює

і розкладання функції f (t) по зміщеним многочленів Лежандра має вигляд

(16)

Величини ?kвичісляются за формулою

(17)

в якої- коефіцієнти зміщеного многочлена Лежандра

4.3. Звернення перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Чебишева першого роду.

Покладемо теперьВесовая функція має вигляд

и

Зміщені многочлени Чебишева першого родаявляются ортогональної системою на [0,1] по вазі

Многочлени Якобіотлічаются оттолько чисельним множником, а саме

,

де

Многочлениімеют вид

Значення rnвичісляются за формулами

а розкладання функції f (t) по зміщеним многочленів Чебишева першого роду має вигляд

(18)

Коефіцієнти ak (k = 0, 1, ...) обчислюються за формулою (17), в якої- коефіцієнти зміщеного многочлена Чебишева першого роду.

В обчисленнях зручніше користуватися тригонометричної записом многочленів, а саме:

Зробивши заміну змінної 2x - 1 = cos? (0????) і враховуючи, чторазложеніе (18) можна переписати у вигляді:

ВИСНОВОК

Одним з найбільш потужних засобів вирішення диференціальних рівнянь, як звичайних, так, особливо, в приватних похідних, є метод інтегральних перетворень.

Перетворення Фур'є, Лапласа, Ганкеля та інші застосовуються для вирішення завдань теорії пружності, теплопровідності, електродинаміки та інших розділів математичної фізики.

Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, що зв'язує функціюкомплексного змінного (зображення) з функціейдействітельного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні та інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які визначили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають більш прості співвідношення над їх зображеннями.

Інтеграл Лапласа має вигляд:

де інтегрування проводиться по деякому контуру Lвплоскості комплексного змінного z, що ставить у відповідність функції f (z), визначеної на L, аналітичну функцію F (p) комплексної змінної p = s + it.

Чисельне перетворення Лапласа - чисельне виконання перетворення

,

переводящего оригінал f (t), 0Необхідність застосування чисельного перетворення Лапласа виникає внаслідок того, що таблиці оригіналів і зображень охоплюють далеко не всі зустрічаються в практиці випадки, а також внаслідок того, що оригінал або зображення найчастіше виражаються занадто складними, незручними для застосувань формулами.

Задачу чисельного обернення перетворення Лапласа можна також вирішувати методами, заснованими на розкладанні функції-оригіналу в функціональний ряд. Сюди в першу чергу можна віднести розкладання в степеневий ряд, в узагальнений статечної ряд, в ряд по показовим функціям, а також в ряди по ортогональних функціях, зокрема по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі і Лагерра. Завдання розкладання оригіналу в ряди по многочленів Чебишева, Лежандра, Якобі в остаточному своєму вигляді зводиться до проблеми моментів на кінцевому проміжку. Нехай відомо перетворення Лапласа F (p) функції ? (t) f (t):

де f (t) - шукана функція, а ? (t) - неотрицательная, інтегрована на [0, ?) функція.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операційне числення на основі двосторонньої перетворення Лапласа. - М .: Видавництво іноземної літератури, 1952. - 507 с.

2. Діткин В.А., Прудніков А. П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М .: Головна редакція фізико-математичної літератури видавництва «Наука», 1974. - 544 с.

3. Кожевников Н.І., Краснощекова Т. І., Шишкін М. Є. Ряди та інтеграли Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа. - М .: Наука, 1964. - 184 с.

4. Крилов В.І., шкребти Н.С. Методи наближеного перетворення Фур'є і звернення перетворення Лапласа. - М .: Наука, 1974. - 226 с.
Економічна доступність медичного обслуговування
Російський Новий Університет Коледж РосНОУ Реферат на тему: Економічна доступність медичного обслуговування підготувала: студентка III курсу спеціальності банківська справа 080108.51 групи 315 В Рябова Валентина Москва 2011 Глава №1. Сучасна ситуація в системі охорони здоров'я «Удосконалення

Технологія виробництва телереклами із застосуванням новітніх технологій в області цифрової техніки
Зміст Введення I. Теоретична частина 1.1 Поняття і визначення реклами, її функції і класифікація 1.2 Розвиток аудіовізуальної реклами в Росії 1.3 Форми і методи реклами 1.3.1 Схема створення реклами 1.3.2 Специфіка рекламного тексту для телебачення 1.3.3 Музика рекламних роликів 1.4 Правові

Технології брендинга
1. Роль реклами всередині маркетингової програми Програма маркетингу включає планування реклами і прийняття рішень. Менеджер фірми повинен точно визначити причину скудного продажу, перш ніж укласти, що продаж товарів пов'язаний з поганим просуванням. Менеджер фірми повинен розвивати таку програму

Побудова міжгалузевих балансів
Побудова міжгалузевих балансів Зміст 1. Загальні поняття та схема МОБ 2. Основне рівняння МОБ 3. Види МОБ 4. Основні схеми і методи оцінки показників МОБ 5. Методи складання МОБ Мета: ознайомити з найважливіших показників СНР - міжгалузевим балансом виробництва і використання товарів і послуг

Особливості управління підприємством в умовах ринкового середовища
РЕФЕРАТ Курсова робота: 48 ст., 1 рис., 2 табл., 18 джерел. Об'єкт дослідження: Відкрите акціонерне товариство «Виробничо торгівельна фірма «Селена». Мета роботи - дослідження особливостей системи управління підприємством в умовах ринкового

Показники економічного та соціального розвитку регіону (на прикладі Рівненської області)
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ Кафедра регіонального управління КОНТРОЛЬНА РОБОТА з дисципліни Аналіз і планування соціально-економічного розвитку" Виконав: студент спец. «Менеджмент організацій» факультету менеджменту

Контроль виконання бюджету
Введення Розробка регулярних виробничих і фінансових планів (бюджетів) є найважливішою складовою планово-аналітичної роботи компаній усіх без винятку галузей економіки. Бюджетування сприяє зменшенню нераціонального використання коштів підприємства завдяки своєчасному плануванню господарських

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати