Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь - Математика

Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

1. Загальна постановка задачі.Найті дійсні корені рівняння, де- алгебраїчна або трансцендентна функція.

Точні методи розв'язання рівнянь підходять тільки до вузького класу рівнянь (квадратні, біквадратні, деякі тригонометричні, показникові, логарифмічні).

У загальному випадку рішення даного рівняння знаходиться приблизно в такій послідовності:

1) відділення (локалізація) кореня;

2) наближене обчислення кореня до заданої точності.

2. Відділення корня.Отделеніе дійсного кореня уравненія- це знаходження відрізка, в якому лежить тільки один корінь даного рівняння. Такий відрізок називається відрізком ізоляції (локалізації) кореня.

Найбільш зручним і наочним є графічний метод відділення коренів:

1) будується графік функції, і визначаються абсциси точок перетину цього графіка з віссю, які і є корінням рівняння;

2) якщо-складна функція, то її треба представити в відетак, щоб легко будувалися графіки функційі. Так як, то. Тоді абсциси точок перетину цих графіків і будуть корінням рівняння.

Прімер.Графіческі відокремити корінь рівняння.

Рішення. Уявімо ліву частину рівняння у вигляді. Отримаємо: Побудуємо графіки функційі.

Абсциса точки перетину графіків знаходиться на відрізку, значить корінь рівняння.

3.Уточненіе кореня.

Якщо шуканий корінь уравненіяотделён, тобто визначений відрізок, на якому існує тільки один дійсний корінь рівняння, то далі необхідно знайти наближене значення кореня з заданою точністю.

Така задача називається задачею уточнення кореня.

Уточнення кореня можна робити різними методами:

1) метод половинного розподілу (бисекции);

2) метод ітерацій;

3) метод хорд (січних);

4) метод дотичних (Ньютона);

5) комбіновані методи.

4. Метод половинного розподілу (бисекции).

Відрізок ізоляції кореня можна зменшити шляхом ділення його навпіл.

Такий метод можна застосовувати, якщо функціянепреривна на відрізку на його кінцях приймає значення різних знаків, тобто виконується умова (1).

Розділимо отрезокпополам точкою, яка буде наближеним значенням кореня.

Для зменшення похибки наближення кореня уточнюють відрізок ізоляції кореня. У цьому випадку продовжують ділити відрізки, що містять корінь, навпіл.

З отрезковівибірают той, для якого виконується нерівність (1).

У нашому випадку це відрізок, де.

Далі повторюємо операцію ділення відрізка навпіл, тобто Знаходиться так далі до тих пір, поки не буде досягнута задана точність. Тобто до тих пір, поки не перестануть змінюватися зберігаються у відповіді десяткові знаки або до виконання нерівності.

Гідність методу: простота (досить виконання нерівності (1)).

Недолік методу: повільна збіжність результату до заданої точності.

Приклад. Вирішити уравненіеметодом половинного розподілу з точністю до 0,001.

Решеніе.Ізвестен відрізок ізоляції корняі задана точність. За рівняння складемо функцію.

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:

,.

Перевіримо виконання нерівності (1): - умова виконується, значить можна застосувати метод половинного розподілу.

Знайдемо середину отрезкаі обчислимо значення функції в отриманій точці:

,.

Серед значенійівиберем два значення різних знаків, але близьких один до одного. Етоі. Отже, з отрезковівибіраем той, на кінцях якого значення функції різних знаків. У нашому випадку це відрізок знову знаходимо середину відрізка і обчислюємо значення функції в цій точці:

,,, - Задана точність результату не досягнуто, продовжимо обчислення.

,,,.

,,,.

,,,.

,,,.

,,,.

,,,.

,,,.

,,,.

, - Задана точність результату досягнуто, значить, знайшли наближене значення кореня.

Відповідь: корінь уравненіяс точністю до 0,001.5. Метод хорд (січних).

Цей метод застосовується при вирішенні рівнянь виду, якщо корінь рівняння відокремлений, тобто виконуються умови:

1) (функціяпрінімает значення різних знаків на кінцях відрізка);

2) проізводнаясохраняет знак на відрізку (функціялібо зростає, або зменшується на відрізку).

Перше наближення кореня знаходиться за формулою :.

Для наступного наближення з отрезковівибірается той, на кінцях якого функціяімеет значення різних знаків.

Тоді друге наближення обчислюється за формулою:

, Есліілі, якщо.

Обчислення тривають до тих пір, поки не перестануть змінюватися ті десяткові знаки, які потрібно залишити в ответе.6. Метод дотичних (Ньютона).

Цей метод застосовується, якщо уравненіеімеет корінь, і виконуються умови:

1) (функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка);

2) проізводниеісохраняют знак на відрізку (тобто. Функціялібо зростає, або зменшується на відрізку, зберігаючи при цьому напрямок опуклості).

На отрезкевибірается таке число, при которомімеет той же знак, що і, т. Е. Виконується умова. Таким чином, вибирається точка з абсцисою, в якій дотична до крівойна отрезкепересекает вісь. За точкусначала зручно вибирати один з кінців відрізка.

Перше наближення кореня визначається за формулою :.

Друге наближення кореня визначається за формулою :.

Обчислення ведуться до збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або при заданій точності- до виконання нерівності.

Переваги методу: простота, швидкість збіжності.

Недоліки методу: обчислення похідної та труднощі вибору початкового положенія.7. Комбінований метод хорд і дотичних.

Якщо виконуються умови:

1),

2) ісохраняют знак на відрізку,

то наближення корняуравненіяпо методу хорд і за методом дотичних підходять до значення цього кореня з протилежних сторін. Тому для швидкості знаходження кореня зручно застосовувати обидва методи одночасно. Тому один метод дає значення кореня з недоліком, а інший - з надлишком, то досить легко отримати задану ступінь точності корня.Схема рішення рівняння методом хорд і дотичних

1. Обчислити значення функциии.

2. Перевірити виконання умови. Якщо умова не виконується, то неправильно обраний відрізок.

3. Знайти проізводниеі.

4. Перевірити сталість знака похідних на відрізку. Якщо немає сталості знака, то невірно обраний відрізок.

5. Для методу дотичних вибирається затот з кінців відрізка, в якому виконується умова, т.е.іодного знака.

6. Наближення коренів знаходяться:

а) за методом дотичних :,

б) за методом хорд :.

7. Обчислюється перше наближення кореня :.

8. Перевіряється виконання умови :, де- задана точність.

Якщо умова не виконується, то потрібно продовжити застосування методу за схемою 1-8.

У цьому випадку відрізок ізоляції кореня звужується і має вигляд. Наближені значення кореня знаходяться за формулами:

і.

Обчислення тривають до тих пір, поки не буде знайдено таке значення, при которомісовпадут з точностью.Прімер. Вирішити уравненіеметодом хорд і дотичних з точністю 0,001, якщо відомо, що корінь рівняння.

Рішення.

1. Обчислимо значення функцііна кінцях відрізка:,.

2. Перевіримо виконання умови: - умова виконується.

3. Знайдемо похідні: і.

4. На отрезкепроізводниеі, тобто зберігають знак, отже, умова виконується.

5. Виберемо значеніедля методу дотичних. Т.к.і, то.

6. Знайдемо наближення кореня:

а) за методом дотичних:

б) за методом хорд :.

7. Знайдемо перше наближення кореня :.

8. Перевіримо виконання умови: - умова не виконується, значить потрібно продовжити обчислення.

9. Відрізок ізоляції кореня має вигляд :.

10. Продовжимо уточнення кореня за схемою. Для цього знайдемо значення функції на кінцях звуженого відрізка:

,.

11. Перевіримо умову: - виконується, значить можна продовжити застосування методу.

12. Так Какіні відрізку, то для методу дотичних :.

13. Обчислимо значення похідної :.

14. Знайдемо нові значення кінців відрізка ізоляції:

,.

15. Знайдемо друге наближення кореня :.

16. Перевіримо виконання умови: - нерівність невірний, значить необхідно продовжити обчислення.

17. Відрізок ізоляції кореня має вигляд :.

18. Обчислимо значення функції:

,.

19. умова-виконується.

20. Так Какіні, то для методу дотичних.

21. Обчислимо похідну :.

22. Обчислимо :,

.

23. Знайдемо третій наближення кореня :.

24. Перевіримо виконання нерівності: - умова виконується, значить, мета досягнута.

25. Отже, або-наближене значення кореня з точністю до 0,001.

Відповідь :.

9. Завдання для розрахункових робіт.

Вирішити рівняння методами:

а) бисекции,

б) хорд і дотичних.

 Варіант Вид алгебраїчного рівняння Корінь, який необхідно обчислити

1

 єдиний

2

 єдиний

3

 єдиний

4

 єдиний

5

 єдиний

6

 єдиний

7

 єдиний

8

 єдиний

9

 позитивний

 10

 єдиний

 11

 позитивний

 12

 єдиний

 13

 більший негативний

 14

 єдиний

 15

 єдиний

 16

 єдиний

 17

 єдиний

 18

 єдиний

 19

 єдиний

 20

 єдиний

 21

 єдиний

 22

 менший позитивний

 23

 єдиний

 24

 менший позитивний

 25

 єдиний

 26

 єдиний

 27

 єдиний

 28

 єдиний

 29

 єдиний

 30

 єдиний

 31

 менший позитивний

 32

 єдиний

 33

 більший негативний

 34

 єдиний

 35

 єдиний

 36

 єдиний

 37

 менший позитивний

 38

 єдиний

 39

 єдиний

 40

 єдиний
Управління проектами
Сутність та актуальність управління проектами 1. Основні поняття та визначення дисципліни Проект - це ідея і дії щодо її реалізації з метою створення продукту, послуги або іншого корисного результату. Проекти можуть бути класифіковані: - По типу (технічні, організаційні, економічні, соціальні,

Штучні екосистеми
Зміст 1. Принципи оптимізації структури і функцій ландшафту 2. Принципи формування захисних насаджень 3. Придорожні газони 4. Принципи облаштування і формування ландшафту на відвалах і насипі 5. Поверхневий шар звалища 6. Троянда колючайшая Список використаних джерел 1. Принципи оптимізації

Елементи теорії ймовірностей. Випадкові події
Елементи теорії ймовірностей. Випадкові події Мета вивчення - розвинути навички складання та аналізу математичних моделей нескладних завдань прикладного характеру, пов'язаних з випадковими явищами, навчити способам обчислення ймовірностей простих і складних подій, методам оцінки невідомих параметрів

Спиндоктор (новостной менеджер), як професія
ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО ЗА ОСВІТОЮ Державна освітня установа вищої професійної освіти «НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЦЬКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Інститут дистанційної освіти Спеціальність «Зв'язку з громадськістю» Кафедра культурологии і соціальної комунікації РЕФЕРАТ по курсу «Теорія і практика

Лапароскопическая холэцистоэктомия
Міністерство охорони здоров'я України Запорізький Державний Медичний Університет Кафедра оперативної хірургії і топографічної анатомії Реферат на тему Лапароськопічеська холэцистоэктомия Виконала: студентка 2 курсу 2 групи медичного факультету Давіденко Анастасия Володимирівна Перевірив: Любомирская

Конкурентоспроможність організації торгівлі на ринку
ЗМІСТ Введення 1. Розвиток конкурентоспроможності торговельного підприємства в ринкових умовах 1.1 Якість і конкурентоспроможність продукції як основні фактори ефективності роботи торгового підприємства 1.2 Методика оцінки якості та рівня конкурентоспроможності продукції на підприємствах Республіки

Маркетингові дослідження ринку та оцінка конкурентоспроможності товару
Міністерство освіти і науки Російської Федерації Санкт-Петербурзький Державний Інженерно-Економічний УніверсітетКафедра маркетингу та управління проектами Курсова робота з дисципліни Маркетинг Маркетингові дослідження ринку та оцінка конкурентоспроможності товару Виконала: Солодовникова Ганна

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати