Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Межі. Порівняння нескінченно малих величин - Математика

Контрольна робота

Дисципліна: Вища математика

Тема: Межі. Порівняння нескінченно малих величин

Зміст

1. Межа числової послідовності

2. Межа функції

3. Другий чудовий межа

4. Порівняння нескінченно малих величин

Література

1. Межа числової послідовності

Вирішення багатьох математичних і прикладних задач призводить до послідовності чисел, заданих певним чином. З'ясуємо деякі їх властивості.

Визначення 1.1. Якщо кожному натуральному чіслупо якимось законом поставлено у відповідність дійсне число, то безліч чіселназивается числовою послідовністю.

Виходячи з визначення 1, видно, що числова послідовність завжди містить нескінченне число елементів. Вивчення різних числових послідовностей показує, що з ростом номера їх члени ведуть себе по-різному. Вони можуть необмежено збільшуватися або зменшуватися, можуть постійно наближатися до якогось числу або взагалі не проявляти будь-якої закономірності.

Визначення 1.2. Чіслоназивается межею числової послідовності, якщо для будь-якого чісласуществует такий номер числової послідовності, що залежить від, що для всіх номерів числовий последовательностівиполняется умова.

Послідовність, яка має межу, називається збіжної. У цьому випадку пишуть.

Очевидно, для з'ясування питання про збіжність числової послідовності необхідно мати критерій, який був би заснований тільки на властивостях її елементів.

Теорема 1.1. (Теорема Коші про збіжність числовий послідовності). Для того, щоб числова послідовність була сходящейся, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого чісласуществовал такий номер числової послідовності, що залежить від, що для будь-яких двох номерів числової послідовності, які задовольняють условіюі, було б справедливо нерівність.

Доказ. Необхідність. Дано, що числова последовательностьсходітся, значить, відповідно до визначення 2, у неї існує межа. Виберемо якесь число. Тоді, за визначенням меж числової послідовності, існує такий її номер, що для всіх номероввиполняется нерівність. Але так какпроізвольно, то буде виконуватися і. Візьмемо два якихось номера послідовності, тоді

.

Звідси випливає, що, тобто необхідність доведена.

Достатність. Дано, що. Значить, існує такий номер, що для даного условіяі. Зокрема, якщо, а, тоіліпрі умови, що. Це означає, що числова последовательностьдляогранічена. Отже, принаймні, одна з її подпоследовательностейдолжна сходитися. Нехай. Доведемо, чтосходітся ктакже.

Візьмемо довільне. Тоді, згідно з визначенням меж, існує такий номер, що для всехвиполняется нерівність. З іншого боку, за умовою дано, що у последовательностісуществует такий номер, що для всехібудет виконуватися умова.

Виберемі зафіксуємо деякий. Тоді для всехполучім:

.

Звідси випливає, що, що потрібно було довести.

Визначення 1.3. Числова последовательностьназивается монотонно зростаючою, якщо виконується нерівність, і монотонно спадною, якщо.

Теорема 1.2. Будь монотонно зростаюча обмежена зверху числова последовательностьімеет межа.

Аналогічна теорема є і для монотонно спадною числової послідовності.

2. Межа функції

При дослідженні графіків різних функцій можна бачити, що при необмеженому прагненні аргументу функції до якоїсь величиною, чи то кінцевою, чи то нескінченною, сама функція також може приймати ряд значень, необмежено наближаються до деякої величиною. Отже, для функції також можна ввести поняття межі.

Визначення 2.1. Чіслоназивается границі функції точці, якщо для любогосуществует таке число, що з условіяследует, що.

Дана умова записується у вигляді :. Відзначимо, що інтервал довжини, який містить в собі точку, називається-околицею точки.

Аналогічним чином вводиться поняття границі функції і при стремленіік. Так само як і у випадку числової послідовності, для функції існує теорема Коші, яка визначає існування в неї межі.

Теорема Коші про існування межі. Для того щоб функція, де, мала пределпрі, де, необхідно і достатньо, щоб для любогосуществовало таке число, що з условіявитекало умова.

Доведення теореми приводити не будемо. В якості межі функції можуть служити як кінцеві, так і нескінченні величини.

Геометричний зміст теореми Коші полягає в наступному. Візьмемо деяке, для якого. Тоді, згідно теоремі ,. Уявімо таку нерівність наступним чином :. Інакше кажучи, як толькостанет відрізнятися отменьше, ніж на, сама функція виявиться в смузі шириною, розташованої на лінії.

Y

X

У наведеному визначенні межі і теоремі Кошіможет прагнути кпроізвольним чином. Однак у багатьох випадках це прагнення відбувається з якоїсь однієї сторони. Для цього вводяться поняття односторонніх меж.

Визначення 2.2. Еслістремітся до, залишаючись весь час менше його, і при етомстремітся до, то це число називається межею функції зліва і позначається.

Визначення 2.3. Еслістремітся до, залишаючись весь час більше його, і при етомстремітся до, то це число називається межею функції праворуч і позначається.

Необхідно мати на увазі, що не завжди межі ліворуч і праворуч у точкеравни між собою.

3. Другий чудовий межа

Розглянемо числову послідовність, де, С ростомоснованіе ступеня зменшується до одиниці, а показник зростає до нескінченності, тому нічого конкретного про поведеніісказать можна. Для вичісленіявоспользуемся виразом для бінома Ньютона:

. (0.0.1)

У нашому випадку

.

З отриманого виразу випливає, що з увеліченіемвелічінарастет. Дійсно, перейдемо ВТК. Це призведе до того, що число доданків зросте на одне. Крім того, величина множників, укладених в дужки, теж зросте, тому що. Але якщо збільшується число доданків і самі складові ростуть, то. Значить, числова последовательностьмонотонно зростає.

Доведемо тепер, що дана послідовність обмежена зверху. Замінимо всі дужки відаедініцей. Так як, то

.

Крім того ,, ...,. Значить,

.

У правій частині нерівності після цифри 2 коштує спадна геометрична прогресія. Як відомо, суммапервих членів такої прогресії дорівнює :. У нашому випадку. З ростомвелічінабудет, очевидно, прагне до одиниці. Значить ,, тобто, обмежено зверху.

Отже, ми отримали, що. Але так какмонотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона має межу:

Можна довести, що даний межа справедливий не тільки для натуральних чисел, а й для будь-яких значень:

.

Отриманий вираз і називається другим чудовим межею.

Чіслоіспользуется для введення натуральних логарифмів. Такі логарифми позначаються, при цьому.

Слідство 3.1.

.

Зокрема, якщо, то.

Слідство 3.2.

.

Зокрема, якщо, то.

4. Порівняння нескінченно малих величин

Як випливає з визначення нескінченно малих величин, всі вони прагнуть до нуля, але швидкість цього прагнення може бути різна. Тому всі нескінченно малі величини можна порівнювати між собою.

Нехай дано дві нескінченно малі велічіниіпрі, тобто ,.

Визначення 4.1. Функціііназиваются нескінченно малими величинами одного порядку малості, якщо.

Визначення 4.4. Функціяназивается нескінченно малою величиною вищого порядку малості, ніж, якщо.

Визначення 4.3. Функціяназивается нескінченно малою величиною нижчого порядку малості, ніж, якщо.

Той факт, що, наприклад, має більш високий порядок малості, ніж, можна позначити таким чином :.

Визначення 4.4. Функціяназивается нескінченно малою велічінойго порядку малості відносно, якщо.

Визначення 4.5. Функціііназиваются непорівнянними нескінченно малими величинами, якщо не вигубите існує і не дорівнює.

Визначення 4.6. Дві нескінченно малі велічіниіназиваются еквівалентними, якщо.

Очевидно, що це окремий випадок нескінченно малих величин одного порядку малості. Еквівалентні величини позначаються наступним чином :.

Поняття еквівалентності має практичне застосування. Якщо, то це означає, що при достатньому прібліженіікна підставі теореми 9.4.1 можна написати :. Інакше кажучи, чи.

Отриманий результат дозволяє слідства першого і другого чудових меж представити таким чином:

;

;

;

;

;

при.

Даний факт значно полегшує обчислення меж, пов'язаних з першим і другим чудовими межами. Доведемо пояснює це теорему.

Теорема 4.1. Межа відносини двох нескінченно малих величин дорівнює межі відносини еквівалентних їм величин.

Доказ. Нехай дано дві нескінченно малі велічіниіпрі, прічемі. Розглянемо

,

що потрібно було довести.

Отже, при обчисленні меж, використовуючи заміни співмножників на еквівалентні їм більш прості величини, можна значно спрощувати вирази.

Розглянемо тепер теорему, яка дає досить простий ознака еквівалентності нескінченно малих величин.

Теорема 4.4. Дві нескінченно малі велічіниіпріеквівалентни тоді і тільки тоді, коли їх різниця є нескінченно мала величина більш високого порядку малості, чеми.

Доказ. Позначимо.

Необхідність. Дано, що. Розглянемо

,

то є. Аналогічно доводиться, що.

Достатність. Дано, чтоі. Розглянемо

,

тобто, що потрібно було довести.

Розглянемо ще одну теорему, що полегшує процес обчислення меж.

Теорема 4.3. Сума кінцевого числа нескінченно малих величин різних порядків малості еквівалентна доданку з найнижчим порядком малості.

Доказ. Нехай дано нескінченно малі величини, ІПРІ, причому ,,. Позначимо. Тоді

,

тобто, що потрібно було довести.

Література

1. Лобоцького Н.Л. Основи вищої математики. Мінськ, "Вища школа", 1973.

2. Мінорскій В.П. Збірник завдань з вищої математики.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М., "Наука", 1986.

4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., "Вища школа" вид. 5, 1977.

5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. М., "Вища школа" вид. 2.

6. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р.3

7. Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричні обчислення. - М .: Світ, 1999.

8. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М .: Світ, 1969.

9. Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць (2-е видання). - М .: Наука, 1966.

10. Ланкастер П. Теорія матриць. - М .: Наука, 1973.

11. Соколов Н. П. Просторові матриці та їх застосування. - М .: ГІФМЛ, 1960.
Штучні екосистеми
Зміст 1. Принципи оптимізації структури і функцій ландшафту 2. Принципи формування захисних насаджень 3. Придорожні газони 4. Принципи облаштування і формування ландшафту на відвалах і насипі 5. Поверхневий шар звалища 6. Троянда колючайшая Список використаних джерел 1. Принципи оптимізації

Удосконалення надання послуг в ресторані "Не гони"
ЗМІСТ Вступ 1. Послуги, які надаються в підприємствах ресторанного господарства 1.1 Сутність послуг ресторанного господарства і вимоги до них 1.2 Тенденції розвитку послуг ресторанного господарства 2. Аналіз діяльності ресторану «Не гони» 2.1 Маркетингове

Розрахунок нормативів гранично допустимого викиду шкідливих речовин підприємством
Практичне завдання з екології Тема: Розрахунок нормативів гранично допустимого викиду шкідливих речовин підприємством викид шкідлива речовина норматив Чита 2009 Наведені норми не поширюються на розрахунок концентрацій на далеких відстанях (більше 100 км) від джерел викидів. Вони призначені

Токсини водоростей та морських безхребетних
Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка Реферат на тему: «Токсини водоростей та морських безхребетних» Підготувала студент групи ХМХ-43 Горон Роман Львів-2010 Вступ водорость морський безхребетний Яди біологічного походження

Комерційна діяльність торговельного підприємства
Зміст Вступ 1 Роль комерційної діяльності на торгівельному підприємстві 2 Організаційно-правові форми суб'єктів комерційної діяльності, їх характеристика 3 Аналіз комерційної діяльності торгового підприємства, її ефективність 4 Функції

Логістичні рішення в складуванні
Рособразование Державна освітня навчання вищої професійної освіти Пензенська державна технологічна академія Кафедра Прикладна економіка Дисципліна Логістика Курсова робота на тему: Логістичні рішення в складуванні Пенза, 2010 План Введення 1. Загальні логістичні рішення в складуванні 1.1 Основні

Дослідження ринку сухарів ВАТ "Сарапульський хлібокомбінат" в місті Сарапул
Федеральне агентство з освіти Сарапульський Політехнічний Інститут (Ф) Державного освітнього закладу Вищої професійної освіти «Іжевський Державний Технічний Університет» Кафедра економіки і гуманітарних наук Курсова робота З дисципліни «Основи маркетингу» Тема: Дослідження ринку сухарів ВАТ

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати