Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Множини. Операції над множинами - Математика

РЕФЕРАТ

Множини. Операції над множинами

ЗМІСТ

Способи завдання безлічі

Включення і рівність множин

Діаграми Ейлера-Венна

Операції над множинами

а) Об'єднання множин

б) Перетин множин

в) Різниця множин

Доповнення безлічі

Поняття множини належить до числа основних, невизначених понять математики. Воно не зводиться до інших, більш простим поняттям. Тому його не можна визначити, а можна лише пояснити, вказуючи синоніми слова «безліч» і наводячи приклади множин: безліч - набір, сукупність, зібрання яких-небудь об'єктів (елементів), що володіють загальним для всіх їх характеристичним властивістю.

Приклади множин:

1) безліч студентів в даній аудиторії;

2) безліч людей, що живуть на нашій планеті в даний момент часу;

3) безліч точок даної геометричної фігури;

4) безліч парних чисел;

5) безліч коренів рівняння х2-5х + 6 = 0;

6) безліч дійсних коренів рівняння х2 + 9 = 0;

Основоположник теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845-1918) писав: «Безліч є багато чого, мислиме нами як єдине». І хоча цей вислів ученого не є в повному розумінні логічним визначенням поняття множини, але воно вірно пояснює, що коли говорять про безліч, то мають на увазі деякий збори об'єктів, причому саме це зібрання розглядається як єдине ціле, як один (новий) об'єкт.

Об'єкти, що складають дане безліч, називають його елементами.

Безліч зазвичай позначають великими латинськими буквами, а елементи множини - малими латинськими літерами. Якщо елемент, а належить множині А, то пишуть: аА, а якщо а не належить А, то пишуть: аА.

Наприклад, нехай N-безліч натуральних чисел. Тоді 5N, ноN, N. Якщо А - безліч коренів рівняння х2-5х + 6 = 0, то 3А, а 4А.

У математиці часто досліджуються так звані числові множини, тобто множини, елементами яких є числа. Для самих основних числових множин утвердилися такі позначення:

N- безліч всіх натуральних чисел;

Z- безліч всіх цілих чисел;

Q- безліч всіх раціональних чисел;

R- безліч всіх дійсних чисел.

Прийнято також позначення Z +, Q +, R + відповідно для множин всіх невід'ємних цілих, раціональних і дійсних чисел, і Z?, Q?, R?-для множин всіх негативних цілих, раціональних і дійсних чисел.

Способи завдання безлічі

Безліч А вважається заданим, якщо стосовно будь-якого об'єкта а можна встановити, належить цей об'єкт безлічі А чи не належить; іншими словами, якщо можна визначити, чи є а елементом множини А чи не є. Існують два основних способи завдання безлічі:

1) перерахування елементів множини;

2) вказівка характеристичного властивості елементів множини, тобто такої властивості, яким володіють всі елементи даної множини і тільки вони.

Першим способом особливо часто задаються кінцеві множини. Наприклад, безліч студентів навчальної групи задається їх списком. Безліч, що складається з елементів a, b, c, ..., d, позначають за допомогою фігурних дужок: А = {a; b; c; ...; D}. Безліч коренів рівняння х2-5х + 6 = 0 складається з двох чисел 2 і 3: А = {2; 3}. Безліч У цілих рішень нерівності -2 <х <3 складається з чисел -1, 0, 1, 2, тому В = {- 1; 0; 1; 2}.

Другий спосіб завдання безлічі є більш універсальним. Безліч елементів х, що володіють даними характеристичним властивістю Р (х), також записують за допомогою фігурних дужок: Х = {х | Р (х)}, і читають: безліч Х складається з елементів х, таких, що виконується властивість Р (х) . Наприклад, А = {х | х2-5х + 6 = 0}. Вирішивши рівняння х2-5х + 6 = 0, ми можемо записати безліч А першим способом: А = {2; 3}.

Інший приклад: Х = {х | -1 ? х <4, ХZ}, тобто Х є безліч цілих чисел х, таких, що -1 ? х <4, значить, по-іншому: Х = {- 1; 0; 1; 2; 3}.

Розглянемо і такий приклад: F = {f | ¦f' (x) ¦? 1, 1 Може статися, що характеристичним властивістю, що визначає безліч А, не володіє жоден об'єкт. Тоді кажуть, що безліч А - пусте (не містить жодного елемента) і пишуть: А = O.

Наприклад, А = {х | х? + 9 = 0, ХR}-безліч дійсних чисел х, таких, що х? + 9 = 0- порожній безліч, тому таких дійсних чисел немає.

Включення і рівність множин

Нехай Х і У - два множини. Якщо кожен елемент х множини Х є елементом множини У, то кажуть, що безліч Х міститься у безлічі У і пишуть: ХУ або УХ. Кажуть також, що Х включено в У або У включає Х, або що Х є підмножиною множини У. Знаки включеніяіліотносятсятолько до множинам і їх не слід змішувати зі знаками приналежності I і. Якщо, наприклад, А - множина всіх студентів вузу, а В - безліч студентів-першокурсників цього вишу, то В є підмножина А, тобто ВА. Пусте безліч вважають підмножиною будь-якої множини Х, тобто OХ, яким би не було безліч Х. Ясно також, що кожне безліч є підмножиною самого себе: ХХ.

Якщо для двох множин Х і У одночасно мають місце два включення ХУ і УХ, тобто Х є підмножина безлічі У і У є підмножина множини Х, то безлічі Х і У складаються з одних і тих же елементів. Такі безлічі Х і У називають рівними і пишуть: Х = У. Наприклад, якщо А = {2; 3}, а В = {х | х? -5х + 6 = 0}, то А = В.

Якщо ХУ, але Х ? У, тобто існує хоча б один елемент множини У, що не належить Х, то кажуть, що Х є власне підмножина множини У, і пишуть: ХУ. Наприклад: NZ, ZQ, QR. Далі нам потрібно безліч, яке містить в якості свого підмножини будь-яке інше безліч. Таке «всеосяжне» безліч будемо називати універсальним і позначати буквою U.

Діаграми Ейлера-Венна

Для наочного уявлення множин використовують діаграми Ейлера-Венна. У цьому випадку безлічі позначають областями на площині і всередині цих областей умовно розташовують елементи множини. Часто все безлічі на діаграмі розміщують усередині прямокутника, який являє собою універсальне безліч U. Якщо елемент належить більш ніж одному безлічі, то області, що відповідають таким множинам, повинні перекриватися, щоб загальний елемент міг одночасно перебувати у відповідних областях. Вибір форми областей, що зображують безлічі на діаграмах, може бути довільним (кола, нутрощі еліпсів, багатокутники тощо). Покажемо, наприклад, за допомогою діаграми Ейлера-Венна, що безліч А є підмножиною множини В:

За допомогою такої діаграми ставати наочним, наприклад, таке твердження:

якщо АВ, а ВС, то АС.

Суворе доказ цього твердження, що не спирається на діаграму, можна провести так: нехай хА; так як АВ, то хВ, а так як ВС, то з хВ випливає, що ХС; значить, з того, що хА, слід ХС, а тому АС.

Операції над множинами

За допомогою декількох множин можна будувати нові безлічі або, як кажуть, проводити операції над множинами. Ми розглянемо наступні операції над множинами: об'єднання, перетин, різниця множин, доповнення множини. Всі розглянуті операції над множинами ми будемо ілюструвати на діаграмах Ейлера-Венна.

Об'єднання множин

Об'єднанням АВ множин А і В називається множина, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А або В.

Символічна запис цього визначення: АВ = {х | хА або хВ}.

Тут союз «або» розуміється в сенсі «неразделітельного або», тобто не виключається, що х може належати і А і В. Відзначимо, що в такому випадку елемент х, що входить в обидва безлічі А і В, входить в їх об'єднання тільки один раз (оскільки для безлічі не має сенсу говорити про те, що елемент входить в нього кілька разів).

Пояснимо визначення об'єднання множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна:

На діаграмі об'єднання множин А і В виділено штрихуванням.

Якщо безліч А визначається характеристичним властивістю Р (х), а безліч В - характеристичним властивістю Q (х), то АВ складається з усіх елементів, що володіють, принаймні, одним з цих властивостей.

Приклади об'єднань двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7}, В = {3; 5; 6}. Тоді АВ = {2; 3; 5; 6; 7}.

2) Нехай А = [- 1/4; 2], В = [-2/3; 7/4]. Тоді АВ = [- 2/3; 2].

3) Нехай А = {х | х = 8k, kZ}, B = {x | x = 8n-4, nZ}. Тоді AB = {x | 4m, mZ}.

Операція об'єднання множин може проводитися не тільки над двома множинами. Визначення об'єднання множин можна поширити на випадок будь-якої кількості множин і навіть - на систему множин. Система множин визначається так: якщо кожному елементу ? безлічі М відповідає безліч А?, то сукупність всіх таких множин ми будемо називати системою множин.

Об'єднанням системи множин {А?} називається безліч, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А?. При цьому загальні елементи декількох множин не розрізняються.

Таким чином, елемент хтогда і тільки тоді, коли знайдеться такий індекс ?0М, що хA?0.

У випадку, коли М звичайно і складається з чисел 1, 2, ..., n, застосовується запісьЕслі M = N, то маємо об'єднання послідовності множин.

Розглянемо ще один приклад: нехай М = (1, 2) і для кожного ? є М визначимо безліч А? = [0; ?]; тоді = [0; 2).

З визначення операції об'єднання безпосередньо випливає, що вона коммутативна, тобто А1A2 = A2А1, і асоціативна, тобто (А1A2) А3 = А1 (A2А3).

Перетин множин

Перетинанням А ? В множин А і В називається множина, що складається з усіх елементів, що належать одночасно кожному з множин А і В.

Символічна запис цього визначення: А ? В = {х | хА і хВ}.

Пояснимо визначення перетину множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна:

А ? В

На діаграмі перетин множин А і В виділено штрихуванням.

Якщо безліч А задається характеристичним властивістю Р (х), a безліч В-властивістю Q (х), то в А ? В входять елементи, одночасно володіють і властивістю Р (х), і властивістю Q (х).

Приклади пересічний двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7; 8}, В = {3; 5; 6; 7} .Тоді А ? В = {5; 7}.

2) Нехай А = [- 1/4; 7/4], В = [- 2/3; 3/2]. Тоді А ? В = [-1/4; 3/2].

3) Нехай А = {х | х = 2k, k є Z}, B = {x | x = 3n, n є Z}. Тоді А ? В = {x | x = 6m, mZ}.

4) Нехай А- безліч всіх прямокутників, В-безліч всіх ромбів. Тоді А ? В-безліч фігур, які одночасно є і прямокутниками, і ромбами, тобто множина всіх квадратів.

Операцію перетину можна визначити і для довільної системи множин {А?}, де ?М. Перетинанням системи множин {А?}, називається безліч, що складається з усіх елементів, що належать одночасно кожному з множин А?, ?М, тобто = {x | xА?для кожного ?М}.

У випадку, коли М звичайно і складається з чисел 1, 2, ..., n, застосовується запис. Якщо M = N, то маємо перетин послідовності множин.

У розглянутому вище прикладі системи множин А? = [0; ?], ?М = (1, 2) отримаємо: = [0; 1].

Операція перетину множин, як і операція об'єднання, очевидно, коммутативна і асоціативна, тобто А1?A2 = A2?А1і (А1?A2) ?А3 = А1? (A2? А3).

Різниця множин

Різницею А \ В множин А і В називається множина, що складається з усіх елементів множини А, які не належать безлічі В, тобто

А \ В = {х | хА і хВ},

що можна пояснити на діаграмі Ейлера-Венна наступним чином:

На діаграмі різниця А \ В виділена штрихуванням.

Приклади різниць множин:

1. Нехай А = {1; 2; 5; 7}, В = {1; 3; 5; 6}. Тоді А \ В = {2; 7}, а В \ А = {3; 6}.

2. Нехай А = [- 1/4; 2], В = [- 2/3; 7/4]. Тоді А \ В = (7/4; 2], а В \ А = [- 2/3; -1/4).

3. Нехай А - безліч всіх парних цілих чисел, В - множина всіх цілих чисел, що діляться на 3. тоді А \ В - безліч всіх парних цілих чисел, які не діляться на 3, а В \ А-безліч всіх непарних цілих чисел, кратних трьом.

Доповнення безлічі

Нехай безліч А і В такі, що АВ. Тоді доповненням множини А до множини В називається різниця В \ А. У цьому випадку застосовується позначення СBА = В \ А. Якщо в якості безлічі В береться універсальне безліч U, то застосовується позначення СА = СUА = U \ А і така безліч просто називають доповненням множини А. Таким чином, символічна запис визначення доповнення безлічі буде наступною: СА = {x | xA}.

На діаграмах Ейлера-Венна можна так пояснити визначення СВА і СА:
Вибіркова сукупність. Розрахунок середніх величин
НОУ СПО Вологодський кооперативний технікум Заочне відділення Контрольна робота № 1 Варіант № _ П.І.Б студента _ Група, шифр _ Адреса студента _ Місце роботи, посада _ Контрольна робота з дисципліни «Статистика» Дата надходження роботи в технікум _ Оцінка _ Дата перевірки _

Вибір способу зниження сукупного зносу об'єкта комерційної нерухомості з метою збільшення його ринкової вартості на прикладі офісного приміщення
Вибір способу зниження сукупного зносу об'єкта комерційної нерухомості з метою збільшення його ринкової вартості на прикладі офісного приміщення, що знаходиться за адресою пр-т Металургів, Єлізарова Зміст Вступ 1. Теоретичний аспект оцінки зносу об'єкта нерухомості 1.1 Поняття зносу об'єкта

Відпускні ціни на продукцію
Задача Завод подетальної спеціалізації випускає три вироби: А, Б, В. Розрахувати випускні ціни всіх виробів при таких вихідних даних. КN=1,39

Виручка від реалізації продукції та порядок її розрахунку
Міністерство освіти і науки України Кафедра Економіки і підприємництва Реферат з дисципліни «Фінанси підприємств» на тему: «Виручка від реалізації продукції та порядок її розрахунку» Для фінансової діяльності підприємства будь-якого

Втрати виробництва і собівартість продукції
Реферат на тему: «Втрати виробництва і собівартість продукції» Зміст 1. Сутність витрат і собівартість виробництва продукції; 2. Склад і класифікація витрат при визначенні собівартості продукції 3. Методика визначення собівартості продукції. Витрати виробництва

Світова Організація Торгівлі
Зміст Історія Цілі і завдання Короткі відомості Структура Проблеми вступу Росії в СОТ Вигоди СОТ Література Історія створення На даний момент для сталого та успішного розвитку економіки Російської Федерації просто необхідно налагодити свої торговельні відносини з країнами ближнього і далекого

Ефективність регіональних інвестицій в Україні
ЕФЕКТИВНІСТЬ РЕГІОНАЛЬНИХ ІНВЕСТИЦІЙ В УКРАЇНІ Розглядаються особливості проявів впливу інвестиційної діяльності на регіональну економіку. Аналізується регіональна ефективність інвестицій. Проводиться групування регіонів за обсягом інвестицій

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати