трусики женские украина

На головну

Простір без нескінченності - Авіація і космонавтика

Простір без нескінченності

А, дійсно, якщо Всесвіт не нескінченний...

Може таке бути?

Виявляється, може.

І навіть не в тому розумінні, що вона займає частину простору. Всесвіт може займати і весь простір, але цей простір не має місць в математиці 8734, що означаються знаком &#; (нескінченність).

Щоб зрозуміти це, нам має бути зробити усього три кроки.

Спочатку зобразимо такий простір в загальних контурах, а потім почнемо прорисовывать всі деталі.

Отже, крок перший.

Одномірний простір.

У буденному розумінні воно представляється нам чимсь типу числової прямої.

На прямій відмітимо початок відліку - точку Про і від неї в одну сторону зі знаком плюс (+), в іншу зі знаком мінус (-), через рівні інтервали, звані одиницею вимірювання, зробимо розмітку +1, +2, +3, ...,+ ∞ і, відповідно, -1, -2, -3, ..., - ∞. Тобто і з однією, і з іншого боку стоять знаки ∞ - цей одномірний нескінченний простір.

Тут задаємо наше питання: «Чи Може існувати одномірний простір, не вмісний ∞?»

Виявляється, може.

У первинній зарисовці будемо приводити лише ті приклади, які нам будуть необхідні і достатні для розуміння суті і подальшого логічного опису наступних кроків. При цьому постараємося уникати введення яких-небудь нових визначень.

Накреслимо коло.

Цей також одномірний простір.

Але як не розмічайте такий простір, якщо за одиницю вимірювання візьмемо певну кінцеву величину, то знак ∞ ніде в такому просторі поставити не вдасться.

Дане коло - локальний приклад одномірного простору, не вмісного знака ∞.

Крок другий.

Двомірний простір.

На площині проведемо дві взаємно перпендикулярні прямі. Розмітимо їх точно також, як і пряму на першому кроці, за точку відліку кожної взявши точку перетину. Таким чином визначимо двомірний нескінченний простір.

Тут знову задаємо наше питання: «Чи Може існувати двомірний простір, не вмісний ∞?»

Виявляється, також може.

Візьміть в руки глобус.

Як не розмічайте його поверхню, знак ∞ поставити ніде не вдасться.

Дана сфера - локальний приклад двомірного простору, не вмісного ∞.

Переходимо до третього кроку.

Через точку перетину двох взаємно перпендикулярних прямих проводимо третю пряму, перпендикулярну двом першим. Розмітимо її точно також, як і на перших двох кроках. Отримаємо трьохмірний нескінченний простір, точніше спосіб його відображення - декартову систему координат.

Задаємо первинне питання: «Чи Може існувати простір, не вмісний знака ∞?»

Виявляється, може.

Локального прикладу, подібного прикладам на перших двох кроках, тут привести не вдасться.

Ці локальні приклади були приведені лише для того, щоб отримати спосіб відображення такого простору в декартовой системі координат, який дозволить визначити спосіб рахунку ідеально-певного простору - простору, не вмісного знака ∞, в глобальному розумінні.

Перейдемо до способу відображення ідеально-певного простору в декартовой системі координат.

Повернемося до одномірного простору.

Як можна відобразити коло на прямій?

На колі відмітимо будь-яку точку і приймемо її за початок відліку, визначивши точно також, як і на прямій - Про (з нульовим значенням). Від точки Про відмірюємо половину кола в будь-яку сторону і цю відмітку означаємо точкою М (тобто ОМ - половина кола в будь-яку сторону). Від точки Про в одну сторону зі знаком (+), в іншу зі знаком мінус (-), точно з такими ж однаковими інтервалами по довжині як і на прямій робимо розмітку. При цьому точка М отримує два значення +m і -m.

Така розмітка визначає і спосіб рахунку одномірного ідеально-певного простору (не вмісного ∞).

Щоб відобразити коло на прямій, розірвемо коло в точці М і, сумістивши точки Про коло і прямої, розвернемо полуокружности ОМ на пряму. Отримаємо відрізок прямий [-m,+m], який і відобразить коло на прямій і визначить спосіб рахунку одномірного ідеально-певного простору на прямій.

Тобто при русі по колу від точки Про в плюсову сторону ми досягнемо точки М зі значенням +m, яка на прямій буде мати одночасно значення -m, і при подальшому русі підемо в негативну область відрізка [-m,+m], а при подальшому русі повернемося в точку Про на прямій.

Відображення кола на прямій носить досить простий характер - без спотворень. Єдиним ускладненням є роздвоєння значення точки М, що, власне, особливо і не заважає жити.

Цікавіше виходить при відображенні сфери на площину.

Давайте пригадаємо уроки географії.

Є глобус, сферична поверхня якого відображає земну поверхню без особливих спотворень.

Є так звані карти світу - відображення сферичної поверхні на площині. Мені згадуються по уроках географії два основних способи відображення: перший спосіб - дві півкулі у вигляді двох кіл, другий спосіб - щось на зразок еліпса, на якому «забабахана» відразу вся сферична поверхня.

У ЦУПе на прямокутному екрані зображена вся поверхня Землі приблизно за другим способом, при цьому коло (орбіта супутника) відображається у вигляді якоїсь зигзаги.

Зрозуміло, відобразити сферу на площині без яких-небудь спотворень не вдається.

Ми вибираємо такий спосіб відображення сфери на площину, який дає нам ключ до способу рахунку ідеально-певного простору.

Для наглядності за початок координат виберемо Північний полюс.

По нульовому меридіану почнемо рух від Північного полюса до Південного.

Відобразимо цей рух на площині.

Отримаємо відрізок прямий, що з'єднує Північний полюс з Південним.

Повернемося на Північний полюс.

На цей раз почнемо рух в протилежну сторону по меридіану (вже 180-му) до Південного полюса.

Отримаємо відображення цього меридіана на площині у вигляді відрізка, що з'єднує Північний полюс з Південним в протилежну сторону. Південний полюс при цьому «роздвоїться». По суті, ми відобразили коло на пряму.

Далі тим, у кого не вистачає уяви, рекомендується взяти в руки олівець і листок паперу.

Якщо ми точно таким же чином пройдемо по всіх можливих меридіанах, то Південний полюс відобразиться у нас на площині у вигляді кола з центром - Північним полюсом і радіусом рівним довжині меридіана.

Точка Південний полюс на сфері відобразиться у вигляді кола на площині.

Північний полюс взятий за початок координат лише для наглядності.

Зрозуміло, що за початок координат на сфері може бути взята будь-яка точка.

Подовжніх спотворень (вдовж меридіанів) при такому відображенні бути не може (як при відображенні кола на пряму), а ось широти будуть виглядати як концентричні кола, довжини яких збільшуються по мірі видалення від Північного полюса.

При цьому Південний полюс, як згадувалося, буде відображений у вигляді кола.

Виходячи з такої «картинки», при необхідності можна обчислити коефіцієнт поперечних спотворень, а краще коефіцієнт поправки для будь-якої з широт.

Таким чином, якщо коло на прямій відображається у вигляді відрізка без яких-небудь лінійних спотворень, то сфера на площині відобразиться у вигляді кола з відповідними поперечними спотвореннями.

Маючи координати на колі відображення, ми будемо мати координати і на сфері і таким чином отримуємо точний спосіб рахунку такого простору.

Коло і сфера - локальні приклади одномірного і двомірного ідеально-певного простору.

Тепер ми підготовлені до третього вирішального кроку - визначенню трьохмірного ідеально-певного простору в глобальному розумінні (простору, не вмісного знака ∞).

Щоб не було ніякого бродіння в мозках, треба чітко уясняти, що всі визначення, в тому числі прямої, колі, сфери, дані нам в декартовой системі координат. І, хоч відображення ідеально-певного простору в декартовой системі координат має спотворення, саме декартова система координат дає нам можливість точного рахунку ідеально-певного простору (не вмісного ∞).

За точку відліку ідеально-певного простору можна прийняти будь-яку точку цього простору. Прив'яжемо до цієї точки точку початку відліку декартовой системи координат і почнемо отримувати відображення ідеально-певного простору в декартовой системі координат. Виберемо будь-яку пряму в декартовой системі координат, що проходить через початок відліку. Одномірний ідеально-певний простір в цьому напрямі відобразиться на цій прямій у вигляді відрізка, середина якого співпадає з точкою відліку, подібно тому, як в локальному прикладі відображається коло на прямій. Іншими словами, якщо наш простір не містить ∞, те, пройшовши по цієї прямої з початку системи координат в одну і іншу сторону на цілком певну однакову відстань, звану довжиною меридіана Всесвіту, ми виявимося в одній і тій же точці, званій протилежним полюсом відносно точки початку відліку. Одна і та ж точка (полюс) відобразитися на цій прямій у вигляді двох точок подібно тому, як при відображенні кола на відрізку прямої. Рух по цій прямій в одномірному ідеально-певному просторі відобразитися на цій прямій у вигляді руху по відрізку відображення одномірного ідеально-певного простору на прямій в декартовой системі координат. Цей рух буде прораховуватися точно також як і в першому локальному прикладі.

Якщо ми виберемо знову ж будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат, то отримаємо ще дві точки в просторі, що знаходяться вже на цій прямій на тій же самій відстані від початку відліку, званій довжиною меридіана Всесвіту - 1 заходів (один меридіан).

Проробивши цю процедуру у всіх можливих напрямах, ми отримаємо сукупність точок, створюючих сферу з радіусом 1 заходів.

Насправді ця сфера в декартовой системі координат відображає одну єдину точку в ідеально-певному просторі, звану полюсом відносно початку відліку. Через цю точку перетинаються всі лінії, що проходять через початок координат і що відображаються діаметрами освіченої кулі в декартовой системі координат, подібно тому, як перетинаються всі діаметри кола відображення двомірного ідеально-певного простору при відображенні сфери на площину у другому локальному прикладі. Сама куля, що вийшла називається кулею відображення ідеально-певного простору в декартовой системі координат.

Всякий діаметр цієї кулі є відрізком відображення одномірного ідеально-певного простору і прораховується точно також як в першому локальному прикладі при відображенні кола на відрізок прямий і називається ідеальною лінією, що проходить через початок відліку. Ідеальні лінії будемо називати просто ідеальними, подібно прямими в декартовой системі координат.

Всяке коло цієї кулі, перетинаючий його центр, є довкола відображення двомірного ідеально-певного простору і прораховується точно також як у другому локальному прикладі при відображенні сфери на площину і називається ідеальною поверхнею, що проходить через початок відліку.

Коло відображення визначає і спосіб рахунку ідеально-певного простору загалом.

Наприклад, треба розрахувати відстань між двома точками, заданими в кулі відображення певними координатами. Для цього ми визначаємо кут між радіусом-векторами, задаючими ці точки. Після цього переходимо в коло відображення, що перетинає обидва цих радіуса-вектора. Визначаємо координати точок в цьому колі відображення. По цих координатах визначаємо відстань між цими точками по сфері, визначуваній цим довкола відображення, як у другому локальному прикладі.

Хоч кінцева формула, що визначає цю відстань, має громіздку форму, вона прораховується на будь-якому домашньому комп'ютері запросто. При цьому це обчислення має абсолютну математичну точність, тобто такий простір прораховується абсолютно. Причому для всіх цих розрахунків досить знань звичайної шкільної математики.

Тут варто зробити зупинку - як говорили древні: «Розумному досить».

Залишилося обчислити довжину меридіана Всесвіту і «золоту ключик у нас в кишені».

До речі, школярі можуть повирішувати задачки типу як буде виглядати зіркове небо вночі - чи буде повна засветка, як буде виглядати траєкторія руху зірки, якщо вона рухається по ідеальній, тобто без впливу на неї яких-небудь сил, як буде розподілятися маса Всесвіту. Можна прикинути, при яких відстанях відносно 1 заходів будуть помітні поперечні спотворення.

1 заходів - довжина меридіана Вселеної

2 міра - відповідно, довжина будь-якої ідеальної

Можна використати десятеричні дольные одиниці вимірювання відстаней:

1 ммер (миллимер), 1 мкмер (микромер), 1 нмер (наномер) і т.д.

Очевидне, що замість планіметрії тут доведеться використати сферометрию.

Щоб розмовляти всім на одній мові, давайте використати тут наступну термінологію:

одеп - одномірний ідеально-певний простір (російська вимова абревіатури: одиоп - одйоп - одеп), вона ж ідеальна

отеп - відрізок відображення одепа

деп - двомірний ідеально-певний простір, вона ж ідеальна поверхня

кодеп - коло відображення депо - є ключем рахунку епа

еп - ідеально-певний простір

шароеп - куля відображення епа

одеп - деп - еп

отеп - кодеп - шароеп

Далі можна порассуждать над деякими твердженнями.

Наприклад: всі ідеальні (вони ж одепы), належні одному і тому ж депо, перетинаються один з одним в двох точках (назвемо їх полюсами), які ділять ці ідеальні пополам.

Чи Варто доводити це твердження?

Подивіться на глобус, і вам все стане ясне.

До речі, тут варто відповісти на контрольне питання: «Які лінії на глобусі є ідеальними для даного локального прикладу депо?»

Ну, якщо з перетинами ідеальних в депо все зрозуміло, то з перетинами ідеальних в епе все не так очевидно. Тут стоїть трохи порассуждать.

Також може показатися неочевидним і наше твердження, що всі ідеальні в епе, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці (полюсі відносно початку координат), що відображається в шароепе у вигляді сфери.

Приведемо тут наступні міркування.

Візьмемо дві будь-які ідеальні, пересічні на початку координат. Перетнемо ці ідеальні кодепом (насправді ці дві пересічні ідеальні цілком визначають цей кодеп в епе подібно тому, як дві пересічні прямі визначають площину в просторі в декартовой системі координат). Точка початку координат епа є точкою початку координат і кодепа. Значить в кодепе вони пересекуться в одній і тойже точці, що відображається в кодепе у вигляді кола (радіус кола рівний 1 заходів).

Візьмемо будь-яку третю ідеальну, що проходить через початок координат. Послідовно перетинаючи цю ідеальну кодепами, що проходять через перші дві ідеальні, приходимо до висновку, що всі ці три ідеальні перетинаються в одній і тій же точці.

Так послідовно перетинаючи кодепами цю ідеальну з всіма іншими ідеальними епа, що проходять через початок координат, приходимо до висновку, що всі ідеальні, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці, що відображається в шароепе у вигляді сфери, що є полюсом в епе відносно початку координат.

Власне, ці міркування і визначають еп.

Тепер повернемося до глобуса. Глобус в ідеалі - це куля. Насправді земна поверхня має якийсь рельєф, так і, взагалі, Земля - це не куля, а щось типу сфероида.

Так ось, еп - це поняття глобальне.

Чому цей простір ідеальний - тому, що в ньому кожна ідеальна (одеп) прораховується як ідеальне коло, кожний деп прораховується як ідеальна сфера.

Тобто ніяких рельєфів, тим більше ніяких самопересечений в епе немає.

Крім того в епе відсутня невизначеність - ∞, воно прораховується абсолютно. Тому цей простір ідеально-визначений. Коротше, це еп.

У першому і другому локальному прикладі ми використали для представлення одномірного і двомірного ідеально-певного простору наступне вимірювання: на першому кроці - одномірна лінія - коло представлене в двомірному просторі на площині; на другому кроці - двомірна поверхня - сфера - в трьохмірній декартовой системі координат. Третього локального прикладу ми, взагалі, привести не змогли через те, що четвертого вимірювання ми уявити собі не можемо.

Тут у багатьох може з'явитися знада поговорити про існування четвертого вимірювання. Тому давайте тут все-таки старатися «розставляти всі точки над е».

Визначення поняття розмірності простору лежить в локальній області. Що значить - трьохмірний простір. Це означає, що через будь-яку точку цього простору ми можемо провести тільки три взаємно перпендикулярних відрізка прямих. Четвертого відрізка прямої взаємно перпендикулярного першим трьом через цю точку ми провести ніяк не зможемо. Тому наш простір - трьохмірний, і про четверте вимірювання нашого простору говорити безглуздо.

Власне, ця е-теорія простору не дає нам нічого в чисто практичному плані, крім почуття ідеальної визначеності, внаслідок того, що реальні простори, з якими ми маємо справу на практиці, значно менше тих розмірів, при яких будуть помітні хоч якісь спотворення. Це подібно тому, як на поверхні Землі ми не помічаємо, що вона «кругла», і цю поверхню вільно вважаємо площиною.

А, взагалі-то, насправді, геометрія виходить «крива». Подивіться на глобус. Тут і паралельні перетинаються один з одним (на екваторі всі меридіани паралельні), і сума кутів трикутника більше 180° (подивіться на трикутник, освічений екватором і двома меридіанами).

Крім того, при відображенні в шароепе (а іншого представлення нашого простору ми не вигадали) деякі поперечні подібні фігури насправді можуть бути рівні. До речі, школярі можуть повирішувати ці задачки.

Відображення епа в шароепе носить сильно спотворений характер. Але і відображення поверхні Землі на картах світу також несе спотворення. Однак, це не заважає нам жити. Саме головне, що це дає нам можливість представляти такий простір і прораховувати його з абсолютною математичною точністю (виписувати абсолютно точні формули розрахунків).

Так, тут все не так «прямолінійно, паралельно і перпендикулярно» - якось не по-армійському виходить. Але життя, як відомо, трохи ширше, ніж армія.

І замість планіметрії - сферометрия.

А замість стереометрії - суцільна шароепия.

«Одним словом»: «Ласкаво просимо в еп!»

Приєднуйтеся, буде дуже цікаво. Тут немає обмежень ні за віком, ні по підлозі, ні за національністю, навіть ні за розумовими здібностями. Досить знання шкільної математики, і можна просунутися дуже глибоко, туди, де ще ніхто не був.

Більш того коли в цьому проекті будуть розставлені всі точки над е, обіцяю вам також простенько і весело розказати трохи про будову матерії і природу сил.

У кого раптом не виявиться електронною пошта, можете звертатися до мене по-простому, по-сільському:

Можливо, Ви вже отримали результати, викладені нижче. Давайте звіримо їх. Якщо я десь помилився, то, будь ласка, підкажіть.

1. Реальна відстань між двома нерухомими зірками (t) буде обчислюватися по наступній формулі:

t=(2*M)(/π)*(Arcsin((1/2)*(√(((sin((π*r2)/M))*(cosγ)-(sin((π*r1)/M)))2+

+((sin((π*r2)/M))*(sinγ))2+((cos((π*r2)/M))-(cos((π*r1)/M)))2)))

де cosγ=(r12+ r22-(r1*cosα1*cosβ1- r2*cosα2*cosβ2)2-(r1*sinα1*cosβ1- r2*sinα2*cosβ2)2-(r1*sinβ1- r2*sinβ2)2)/(2*r1*r2)

а sinγ=(√(1-(cosγ)2))

r1иr2- відстані до цих зірок, які ми бачимо в телескоп під відповідними кутами ((r1,α1,β1) і (r2,α2,β2)),M - довжина меридіана Всесвіту (r1иr2лежат у відрізку [0, M]).

Ці обчислення актуальні для наддалеких об'єктів.

2. Коефіцієнт поперечних лінійних спотворень (ДО) буде обчислюватися подальшій формулі:

ДО=(π*r)/(M*(sin((π*r)/M))

Відповідно, поперечна лінійна поправка (П) -

П=1/КП=(M*(sin((π*r)/M))/(π*r)

де r - відстань до об'єкта, M - довжина меридіана Всесвіту

(r лежить у відрізку [0, M]).

3. Ви вже обчислили реальний об'єм Всесвіту по довжині меридіана M?

Давайте звіримо результати.

Я, взагалі-то, приємно здивований, що Ви не сказали мені нічого про четверте вимірювання, гиперсфере і т.п. Це дає надію, що Ви настроєні мислити конкретно і практично з метою отримання реальних результатів.

Шарячи телескопами по різних кутах Всесвіту, ми тим самим вибудовуємо декартову систему координат, точніше, полярну сферичну, що практично одне і те ж. Фактично виходить відображення простору Всесвіту (епа) в декартовой системі координат - шароеп. У шароепе відображення виходить з поперечними лінійними і поперечними поверхневими спотвореннями. У зв'язку з цим для наддалеких об'єктів може спостерігатися вельми дивна "небесна механіка".

Крім того, густина об'єктів, що спостерігається буде спотворюватися згідно із законом n*П2(эн пэ квадрат).

Про четверте вимірювання в фізичному плані говорити безглуздо.

Але якщо уже так хочеться пошизовать, то приведу таке міркування.

Замикаючи одномірний простір в коло, ми отримуємо нескінченну площину. Замикаючи двомірну поверхню в сферу, ми отримуємо нескінченний трьохмірний простір. Замикаючи трьохмірний простір у щось таке, типу гиперсферы, ви отримуєте четырехмерное нескінченний простір. Тобто від нескінченності-то ви таким чином при цьому не позбуваєтеся! Это-то хоч ви розумієте? Можете шизовать так далі до п'ятого... десятого... вимірювання, але все одно будете отримувати нескінченний простір.

З іншого боку, якщо ви приймаєте простір нескінченним, то, будь ласка, покажіть мені місце в такому просторі, який ви означаєте знаком нескінченність, або хоч би розкажіть, як таке місце знайти.

Еп треба сприймати як початкову обумовленість, точно так само, як десятеричну систему числення, декартову систему координат. Вона більш складна? А хто сказав, що початкова обумовленість повинна бути проста? Лише б вона була зрозуміла. Ну володіє наш простір такими властивостями, тому відображається в декартовой системі координат з такими поперечними спотвореннями. І в ньому безглуздо говорити про четверте вимірювання, викривлення простору. Рухаючись по ідеальній, ми не відхиляємося ні вправо, ні вліво, ні вгору, ні вниз, можемо рухатися тільки уперед або назад. Рухаючись по ідеальній поверхні, ми можемо рухатися тільки уперед, назад, вправо, вліво, але не можемо рухатися вгору і вниз. При цьому кожна ідеальна прораховується як коло, кожна ідеальна поверхня прораховується як сфера. А далі читайте все спочатку.

Зрештою -то, практика покаже так це або не так. І що ми втрачаємо? Прораховувати такий простір може будь-який більш-менш кмітливий школяр, тобто це не представляє нам ніякого труда. Так в чому ж справа?

Трохи про приховану матерію.

Можливо, ви вже обчислили реальний об'єм Всесвіту (Vр) по довжині меридіана М. Прівожу вам свої результати:

Vр = (4*М3/π2)*(π/2-1)

При цьому об'єм Всесвіту (об'єм шароепа - Vш), що видимо-відображається рівний:

Vш = (4/3)*π*М3

Vр/Vш = (3*(π/2-1))/π3

Таким чином, Vр становить приблизно 5,5% від Vш, а "видимо-прихований" об'єм Всесвіту становить, відповідно, приблизно 94,5% (це вже ви отримуйте з якою бажано вам точністю).

Питання про приховану матерію прямо зав'язлося з тими спотвореннями, які виходять при відображенні реального простору в декартовой системі координат.

При цьому така "скрытость" розподіляється нерівномірно. Чим далі до полюса, тим "потайніше", тим все здається чудовіше.

Таким чином все стає просто і зрозуміло.

Начебто пояснено все народно-популярне.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка