трусики женские украина

На головну

 Просторово-часова метрика, рівняння геодезичних. Ньютоново наближення - Авіація і космонавтика

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Шевченко

Факультет фізики та астрономії

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ: просторово-часових МЕТРИКА, УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ. Ньютоновой НАБЛИЖЕННЯ

Виконала: студентка ІV курсу

Група 103 В

Голуб Наталія

Київ 2009

Зміст

1. просторово-часових МЕТРИКА

1.1 Швидкість світла

1.2 Шварцшільдови координати

1.3 Ізотропні координати

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ

2.1 Рівняння енергії

2.2 Шкали часу

3. ньютоновой НАБЛИЖЕННЯ

1. просторово-часових МЕТРИКА

У чотиривимірному римановом просторі загальний вираз для інтерваламежду двома подіями виражається похідними

наступним чином:

(1.1.1)

де- вільні індекси (а не позначення ступенів), і, крім того, прийнято звичайне правило підсумовування (повторюваний вільний індекс припускає підсумовування по всьому його значенням 0, 1,2, 3). Таким чином, вираз (1.1.1) являє собою суму 16 членів. Значення- функції координат; вони визначають собою метрику простору.

Відповідно до загальної теорії відносності ця метрика залежить від розподілу матерії; значеніяудовлетворяют деяким диференціальних рівнянь в приватних похідних, відомим як рівняння Ейнштейна. Така метрика називається просторово-часової.

Послідовність координат рухомої частки описує її «світову лінію», зокрема, світова лінія частки, вільно переміщається в гравітаційному полі, називається геодезичної.

Для наших цілей достатньо обмежитися розглядом статичного сферично симетричного поля, створюваного єдиною ізольованою масою. Отождествімс просторовими координатами відносно центру симетрії, авременной координатою, позначивши її через t. Припущення про статичності поля увазі, що значеніяне є функціями t, а радіальний масштаб може бути визначений як довільна функція радіуса. Оскільки цей масштаб обраний, диференціальні рівняння, що описують геодезичну, задані повністю.

Проте залишається вільним ще вибір простору коордінатчто еквівалентно вибору геометричної проекції при побудові двомірних карт. Аткінсон [8] показав, що релятивістські властивості сферично симетричного поля можна строго описати в рамках тривимірного евклідового простору, оскільки припущення про сферичної симетрії увазі незмінність виду метрики при евклідових перетвореннях просторових координат.

Приймаючи таку точку зору, ми визначаємо евклидово простір трьома взаємно ортогональними декартовими осями з початком в центрі симетрії; ця система координат описує спочиваючу систему відліку. Визначимо координатний вектор х і координатну скоростькак тривимірні евклідові вектори, компоненти яких соответствен

Якщо- одиничний вектор у напрямку х, то найбільш

загальний вираз інтервалав випадку статичного сферично симетричного поля має вигляд

(1.1.2)

де- константа, - функції радіуса (в етойформуле і далі всі індекси - показники ступеня).

Розглянемо тільки так звані временноподобние інтервали, для которихв цьому випадку т називається «власним» часом. Аткінсон [9] показав, що рівняння Ейнштейна приводять до двох співвідношенням між коефіцієнтами формули (1.1.2), які в наших позначеннях такі:

(1.1.3)

(1.1.4) де-інша константа, а також

Вибором, як довільної функції радіальної координати, можна описати нескінченне число сферически симетричних метрик, задовольняють рівнянням Ейнштейна. Єдина умова, яка має бути при цьому задоволено, полягає в тому, що прінінимі словами, на нескінченному расстоянііот початку координат вираз інтервалу приймає вигляд (1.1.5)

який задає плоску метрику Маньківського спеціальної теорії відносності. Система відліку, в якій метрика має вигляд (1.1.е), називається інерціальній або лорентцевой системою відліку.

1.1 Швидкість світла

Світова лінія фотона, звана нульовий геодезичної, визначається так, чтовсегда дорівнює нулю. Рівняння (1.1.5) показує, що на нульовий геодезичної в нескінченному віддаленні від початку

т. е. координатна швидкість світла в «порожньому» просторі дорівнює, Однак у нашому евклідовому просторі координатна швидкість світла не дорівнює. Прийнявши вімеем

(1.1.6)

що еквівалентно

(1.1.7)

Швидкість світла в довільній точці х залежить від радіальної координати і напрямки. У радіальному напрямку швидкість задається формулою

в той час як в тангенціальному напрямку

і, отже,

1.2 Шварцшільдови координати

Розглянемо перетворення просторових координат

гдевсегда одно.

Диференціюючи цей вираз і враховуючи, чтополучаем

звідки випливає, що

и

З формулвідно, що вираз (1.1.2) для інтервалапреобразуется до виду

Де

Вираженіе- векторна форма метрики в стандартних координатах Шварцшильда; відповідну скалярную форму в сферичних координатах, як суворе рішення рівнянь Ейнштейна, вперше отримав в 1916 р К. Шварцшильд.

Ми показали, що загальний вираз (1.1.2) за допомогою формул (1.1.3) і (1.1.4) може бути приведене до шварцшільдовой формі (1.1.12) шляхом чисто алгебраїчного перетворення співвідношення (1.1.8). Таким чином, рівняння, виведені з використанням метрики Шварцшильда, можна перетворити до деякої загальної сферически симетричною метриці.

1.3 Ізотропні координати

Розглянемо систему координат, яка визначається формулою

Відповідно до (1.1.3), отримуємо

Диференціюючи (1.1.14) по, знаходимо

Отже, по (1.1.4) маємо

або

і вираз (1.1.2) для елементапрінімает вид

Цей вираз відомо як ізотропна форма метрики Шварцшильда, оскільки, прийнявши в, можна знайти, що координатна

швидкість світла в точці х, що задається формулою

однакова у всіх напрямках.

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ

Можна показати (див. Додаток В), що рівняння, що визначають геодезичні, виводяться із звичайних рівнянь Ейлера - Лагранжа, які в координатах Шварцшильда мають вигляд

де- лагранжіан,

а точка зверху позначає диференціювання по

Рівняння (1.2.1) дає безпосередньо

Або

де- постійна інтегрування.

Формула (1.2.2) приводить до наступного виразу, висновок якого міститься у Додатку В:

Множачи (1.2.2) векторно на, одержуємо

внаслідок того чтотакое чином,

де Н - постійна, а h - постійний одиничний вектор. З останнього рівняння випливає, що геодезична лежить у площині, перпендикулярній h, а кутовий момент по відношенню до власного часу залишається незмінним. Кутовий момент постійний тільки в координатах Шварцшильда. У довільній метриці, для которойуравненіе (1.2.6) має вигляд

права частина якого не є постійною, оскільки x - функція

За цих умов (1.2.6) еквівалентно рівнянню

і, отже, рівняння геодезичної (1.2.5) в координатах Шварцшильда приймає вид

2.1 Рівняння енергії

Множення рівняння (1.2.9) скалярно нас подальшою інтеграцією дає

де- постійна інтегрування.

Цей вираз можна також отримати, ісключаяіз (1-2.4) і (1.2.3), з умовою, чтоето призводить до

Внаслідок того що

и

ліва частина (1.2.11) удвічі перевищує ліву частину (1.2.10) і, слідчий !; о,

Счітаяв точці, гдеіз (1.2.10) знаходимо

де

2.2 Шкали часу

Рівняння (1.2.4) диференціальне, що зв'язує координатне і власний час. З урахуванням (1.2.11) маємо

Есліопределено інтегруванням формули (1.2.9), то можна знайти, отже, отримати після інтегрування виразу (1.2.15) як функцію

Необхідно також висловити диференціальне рівняння (1.2.15) через координатну скоростьПрінімая в (1.2.11)

з урахуванням (1.2.4) отримуємо

Формули (1.2.15) і (1.2.16) можна вивести поділом формули (1.2.32) на, відповідно,

3. ньютоновой НАБЛИЖЕННЯ

Беручи в рівнянні (1.2.9) отримаємо відомий вислів для прискорення під дією закону всесвітнього тяжіння Ньютона

Тут ми отождествляемгде- постійна тяжіння, а- центральна маса. У цьому випадку відповідно до (1.1.13) а ізтакіх чином, рівняння (1.2.4) дает.а координатне і власний час виявляється ідентичним.

Підставивши (1.3.8) в (1.2.9) і знаючи, що- довільна функціяможно отримати рівняння геодезичної в будь-яких координатах. Очевидно, що навіть і прізакон зворотних квадратів суворо виводиться тільки в разі постійності до, що знову приводить нас до стандартних координатах Шварцшильда з простою лише зміною шкали. Таким чином, рівняння геодезичної (1.2.9) в стандартних координатах Шварцшильда є безпосереднім релятивістським узагальненням рівняння Ньютона (1.3.1). У цих координатах ми і будемо розглядати теорію орбітального руху, приймаючи ньютоново рішення як перше наближення.

Тепер маємо

і, отже,

і далі по (3.3.1)

Враховуючи, що-постійний одиничний вектор, інтегрування дає

де- довільний постійний одиничний вектор, а ті - довільна константа. В силу перпендікулярностіііз (1.3.3) випливає, чтоперпендікулярноі знаходиться в площині орбіти.

Помноживши скалярно (1.3.3) наотримували

де обозначеноРазделів (1.3.4) на, знаходимо рівняння

орбіти

Поскольку- ортогональні одиничні вектори в площині

орбіти, а- одиничний вектор уздовж, можна ввести уголтакой, що

(1.3.6)

і, отже, Звідси можна зробити висновок, що (1.3.5) -

рівняння конічного перетину, віднесене до фокусу як початку, з ексцентриситетом е і параметром орбітиЕдінічний вектор

направлений уздовж великої півосі (рис. 1.1) від центру до фокусу. Можна інтерпретувати повну скоростьв (1.3.3) як суму двох векторів: один з них - постійна скоростьвсегда перпендикулярна радіусу-вектору, а інший- постійна скоростьв фіксованому направленіівдоль малої осі перетину. Прийнявши велику піввісь равнойдля параметра орбіти імеемгде верхній знак відноситься до еліптичного двіженіюніжній - до гіперболіческомуТакім чином,

а рівняння орбіти (1.3.5) приводиться до виду

Відстань від фокуса Про до найближчої точки лінії апсид

тому повна енергія відповідно до (1.2.13) має вигляд

оскільки в такому наближенні ми вважаємо, чтоілі

Рівняння (1.3.9) показує, що прідвіженіе стабільно

і орбіта - еліпс; пріорбіта - гіпербола; нарешті, якщо

орбіта - парабола. Рівняння енергії в ньютоновом наближенні виводиться з

(1.3.9) при

Використана література:

1 »Абалакін В, К Основи ефемеридної астрономії, -М. : Наука, 1979.- 448 с,

2, Бакулін Л, І., Блінов Н. С. Служба точного часу, 2-е вид. М. »Наука 1977.-352 с. Бакулін П. І. Фундаментальні каталоги зірок, 2-е вид. М.: Наука, 1980 - 336 с.

4.Блажко С. Н, Курс практичної астрономії »4-е ізд.М. : Наука, 1979.- 432 с.

5.Бугославская Є. Я- Фотографічна астрометрія, - М.: Гостехиздат, 1947 - 296 с.

8. Губанов В. С, Фінкельштейн А. М., Фрідман П. А. Введення в радіоастрометрію.- М.: Наука, 1983.- 280 с.

7.Гуляев А. П., Хоммік Л. М. Диференціальні каталоги звезд.- М.: Наука 1983.-136 с.

8.Загребін Д. В, Введення в астрометрію.- М.: Наука, 1966.- 280 с.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка