Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики - Педагогіка

Вятський державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики

Курсова робота

Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики

Виконала студентка IV курсу

математичного факультету групи М-41

Бузмакова І.С.

Науковий керівник Старостіна О.В.

Кіров 2006

Зміст

Найбільш важливі прими перетворення рівнянь

Методика рішення ірраціональних рівнянь

Тотожні перетворення при вирішенні ірраціональних рівнянь

Застосування загальних методів для вирішення ірраціональних рівнянь

Методика рішення ірраціональних нерівностей

Висновок

Список бібліографії

Введення

Матеріал, пов'язаний з рівняннями і нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики.

У школі ірраціональним рівнянь і нерівностей приділяється досить мало уваги.

Однак завдання за темою "Ірраціональні рівняння і нерівності" зустрічаються на вступних іспитах, і вони досить часто стають "каменем спотикання".

Так як при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі застосовуються тотожні перетворення, то найчастіше виникають помилки, які зазвичай пов'язані з втратою або придбанням сторонніх коренів в процесі вирішення. Тому необхідно розглянути такі ситуації, показати, як їх розпізнавати і як з ними можна боротися.

Мета даної курсової роботи: розробити методику навчання рішенню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі, а також виявити можливості використання загальних методів рішення рівнянь при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:

Проаналізувати діючі підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;

Вивчити стандарти освіти з даної теми;

Вивчити статті та навчально-методичну літературу з даної теми;

Підібрати теоретичний матеріал, пов'язаний з рівносильно рівнянь і нерівностей, рівносильних перетворень, методами вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;

Показати, як загальні методи розв'язання рівнянь застосовні для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;

Підібрати приклади розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теорії.

Гіпотеза дослідження: застосування розробленої методики вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей дозволить учням вирішувати ірраціональні рівняння і нерівності на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод, застосовувати різні методи рішення, в тому числі ті, які не розглянуті в шкільних підручниках.

Аналіз шкільних підручників з алгебри і початків аналізу

При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи постає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Тому спочатку проаналізуємо чинні підручники з алгебри і початків математичного аналізу для 10-11 класів, щоб з'ясувати, як у них представлені методи рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей.

"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцін та ін. [13].

Матеріал з даної теми викладено в IV главі "Показова і логарифмічна функції", як пункт "Ірраціональні рівняння" параграфа "Узагальнення поняття ступеня". Автор рекомендує розглядати рішення ірраціональних рівнянь в темі "Рівняння, нерівності, системи", де систематизуються відомості про рівняння.

У пункті "Ірраціональні рівняння" дається поняття ірраціонального рівняння, наводиться кілька прикладів найпростіших ірраціональних рівнянь виду, які вирішуються за допомогою зведення обох частин рівняння в квадрат. Знайдені коріння перевіряються підстановкою у вихідне рівняння, при цьому звернуто увагу на ті випадки, коли можуть з'явитися сторонні корені. Показано, що окрім зведення в квадрат ірраціональні рівняння зручно вирішувати, використовуючи рівносильний перехід від рівняння до системи, що складається з рівняння і нерівності. Розглянуто приклад ірраціонального рівняння, що містить корінь третього ступеня. Для того щоб "позбутися радикала", обидві частини такого рівняння зводяться в куб.

Після пункту наведені вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння. У №№417-420 запропоновані найпростіші рівняння, вирішити які можна за допомогою зведення обох частин рівняння або в квадрат, або в куб, а також використовуючи рівносильні переходи. Такі завдання, на думку авторів підручника необхідно вміти вирішувати для отримання задовільної оцінки. Завдання ж в №№422-425 трохи складніше. Тут уже рівняння містять корені вище третього ступеня.

Ірраціональним неравенствам в даному пункті уваги не приділено.

У заключній главі підручника "Завдання на повторення" поміщені практичні вправи для повторення курсу. Тут в параграфі "Рівняння, нерівності, системи рівнянь і нерівностей" ірраціональним рівнянь і нерівностей присвячений пункт "Ірраціональні рівняння і нерівності".

"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт. Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров та ін. [1].

У цьому підручнику немає матеріалу, присвяченого ірраціональним рівнянь і нерівностей. Лише наприкінці учня поміщені вправи для підсумкового повторення курсу алгебри. Тут є тільки один номер для вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь (№801). Вправ для вирішення ірраціональних нерівностей немає.

Це можна пояснити тим, що, на думку автора, уміння вирішувати ірраціональні нерівності не є обов'язковим для учнів і відповідна тема може бути запропонована для вивчення самостійно або на факультативних заняттях. [14] Тому в підручнику запропоновані завдання для позакласної роботи, де зустрічаються ірраціональні рівняння (№№934, 947) і нерівності (№942).

"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.М.І. Башмаков [2].

У даному навчальному посібнику ірраціональні рівняння і нерівності розглядаються в заключній VI чолі "Рівняння і нерівності". Глава призначена для систематизації та узагальнення відомостей про рівняння, неравенствах і системах рівнянь. На початку глави поміщена вступна бесіда, яка складається з трьох пунктів.

У пункті "Рівняння" вводяться такі поняття як рівняння, невідомі, корінь рівняння, детально розповідається, що означає вирішити рівняння з одним або двома невідомими, що означає знайти корені рівняння, наведені деякі рекомендації про форму запису відповіді при вирішенні рівнянь з одним або двома невідомими .

У пункті "Равносильность" з'ясовується, коли одне рівняння є наслідком іншого, вводиться поняття рівносильних рівнянь. Автор детально зупиняється на деяких корисних перетвореннях рівнянь:

Тотожне перетворення однієї з частин рівняння і перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.

Перехід до сукупності рівнянь.

Перехід до системи рівнянь.

Всі рівносильні переходи представлені у вигляді схем і розглянуті на прикладах.

У наступному пункті "Нерівність" наведено приклади вірних і невірних числових нерівностей, основні правила перетворення нерівностей, при цьому використовуються знаки слідства і равносильности. Вводяться такі поняття як ОПЗ нерівності, рішення нерівності, рівносильні нерівності, з'ясовується, коли одне нерівність є наслідком іншого.

§1 "Рівняння з одним невідомим" складається з трьох пунктів: "Загальні прийоми", "Приклади розв'язання рівнянь" і "Наближені методи обчислення коренів". У першому пункті перераховані стандартні рівняння, які були вивчені раніше. Основним кроком у вирішенні рівняння є перетворення рівняння до одного зі стандартних. Наведені деякі найбільш вживані прийоми, загальні для всіх типів рівнянь:

Розкладання на множники.

Введення нового невідомого.

Графічний метод.

У другому пункті на ряду зі стандартними рівняннями розглядається рішення одного найпростішого ірраціонального рівняння за допомогою равносильного переходу до системи.

У третьому пункті коротко розповідається про такі методи наближеного обчислення коренів як метод половинного розподілу, метод хорд і дотичних.

§ 2 "Нерівності з одним невідомим" складається з двох пунктів: "Загальні прийоми" і "Приклади розв'язання нерівностей". У першому пункті демонструється два прийоми рішення нерівностей: розкладання на множники і метод заміни невідомого.

У другому пункті на прикладах показана техніка рішення нерівностей за допомогою переходів, які зберігали равносильность. На ряду зі стандартними нерівностями розглядається рішення одного найпростішого ірраціонального нерівності.

Глава закінчується завданнями. До заголовку "Ірраціональні рівняння" відноситься №17, до заголовка "Ірраціональні нерівності" - №21, в якому є завдання із зірочкою, тобто відноситься до розділу "важкі завдання".

Ірраціональним рівнянь і нерівностей у главі приділено мало уваги: рішення одного найпростішого ірраціонального рівняння і одного нерівності.

Мета даної глави - узагальнити наявні в учнів знань про рівняння, неравенствах і системах рівнянь, тому тут детально не розглядаються конкретні види рівнянь, а лише повторюються відомості про вивчені видах рівнянь і методи їх вирішення. [14]

"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.А.Г. Мордкович [10], [11].

Даний навчальний посібник складається з двох частин: підручника і задачника.

У першій частині даного навчального посібника матеріал, що стосується ірраціональних рівнянь і нерівностей, вивчається в останній VIII главі "Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей", завершальній вивчення шкільного курсу алгебри і початків математичного аналізу. Тут рівняння і нерівності розглядаються з найзагальніших позицій. Це, з одного боку, своєрідне підбиття підсумків і, з іншого боку, деяке розширення і поглиблення знань.

У перших трьох параграфах цієї глави підведені підсумки вивчення в школі рівнянь, нерівностей. Використані такі терміни:

равносильность рівнянь, равносильность нерівностей;

наслідок рівняння, слідство нерівності;

равносильное перетворення рівняння, нерівності;

сторонні корені (для рівнянь);

перевірка коренів (для рівнянь).

Сформульовано теореми:

про равносильности рівнянь;

про равносильности нерівностей.

Дано відповіді на чотири головних питання, пов'язаних з вирішенням рівнянь:

як дізнатися, чи є перехід від одного рівняння до іншого рівносильним перетворенням;

які перетворення переводять дане рівняння в рівняння-наслідок;

як зробити перевірку, якщо вона пов'язана зі значними труднощами в обчисленнях;

в яких випадках при переході від одного рівняння до іншого може відбутися втрата коренів і як цього не допустити?

Перераховані можливі причини розширення області визначення рівняння, одна з яких - звільнення в процесі рішення рівняння від знаків коренів парному ступеня; вказані причини, за якими може відбутися втрата коренів при розв'язуванні рівнянь.

Виділено чотири загальних методу рішення рівнянь:

заміна рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x);

метод розкладання на множники;

метод введення нових змінних;

функціонально-графічний метод.

Що стосується ірраціональних рівнянь, то їм у цьому навчальному посібнику приділено достатньо велику увагу.

На прикладі ірраціонального рівняння показано як у три етапи здійснюється рішення будь-якого рівняння:

Перший етап - технічний;

Другий етап - аналіз рішення;

Третій етап - перевірка.

Також на прикладі ірраціонального рівняння показано, як зробити перевірку, якщо перевірка коренів за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння пов'язана зі значними обчислювальними труднощами.

Метод заміни рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x) застосуються при вирішенні ірраціональних рівнянь для переходу від уравненіяк рівняння.

Метод введення нової змінної також розібраний і на прикладі рішення ірраціонального рівняння.

Окремий пункт присвячений ірраціональним неравенствам. Тут з теоретичним обґрунтуванням розглядається рішення нерівностей виду ,. У першому випадку ірраціональне нерівність замінюється рівносильній системою неравенствво другому - рівносильній сукупністю систем нерівностей

Система завдань викладена в тій же послідовності, що і відповідний матеріал в I частини. У § 55 "Равносильность рівнянь" викладені різні типи завдань на равносильность і наслідок рівнянь, в тому числі і ірраціональних. У § 56 "Загальні методи рішення рівнянь" розміщено завдання для використання чотирьох методів, викладених у I частині даного навчального посібника, для вирішення рівнянь. Усі завдання відповідно до них розбиті на чотири блоки, у кожному з яких зустрічаються ірраціональні рівняння. У § 57 "Рішення нерівностей з однією змінною" викладені різні типи завдань на равносильность і наслідок нерівностей, в тому числі і ірраціональних.

У № 1673 потрібно вирішити найпростіші ірраціональні рівняння. №№1674, 1675, 1712-1719 - вправи вище середнього рівня для вирішення ірраціональних рівнянь, №№1790, 1791 - нерівностей. № 1792 - вправа підвищеної труднощі для вирішення ірраціональних нерівностей.

Багато завдань, в яких потрібно вирішити "змішане" рівняння або нерівність, тобто логарифмічне, показовий або тригонометричне рівняння або нерівність, в яке входять і ірраціональні вирази. Серед цих завдань є завдання як базового, так і підвищеного рівня.

У I частині підручника багато уваги приділено равносильности рівнянь і нерівностей, досить строго розглянуті загальні методи розв'язання рівнянь, із застереженням про втрату коренів і придбанні сторонніх. II частина підручника відрізняється великою кількістю і різноманітністю завдань. Досить багато завдань на равносильность і наслідок рівнянь і нерівностей.

"Збірник завдань з алгебри, 8-9", авт. М.Л. Галицький, А.М. Гольдман, Л.І. Звавіч [5]

Дана книга являє собою збірник задач з курсу алгебри, призначений для учнів 8-9 класів з поглибленим вивченням математики.

На початку параграфа "Ступінь з раціональним показником" поміщений довідковий матеріал теоретичного характеру, присвячений ірраціональним рівнянь і нерівностей. Описано такі шляхи вирішення ірраціональних рівнянь, як:

зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь з подальшою перевіркою знайдених коренів;

перехід до рівносильним системам, в яких враховується область визначення рівняння і вимога невід'ємності обох частин рівняння, що зводяться в парну ступінь.

При вирішенні ірраціональних нерівностей або використовується метод інтервалів, або за допомогою рівносильних перетворень замінюється дане ірраціональне нерівність системою (або сукупністю систем) раціональних нерівностей.

У параграфі розглянуто три способи вирішення ірраціонального рівняння виду:

перехід до рівносильній системі;

введення нової змінної;

використання властивості монотонності функцій.

Серед вправ, вміщених у цьому параграфі, є вправи для закріплення умінь і навичок вирішувати ірраціональні рівняння і нерівності. У №№115-117 необхідно довести, що рівняння не має рішення, в №№118-119 - відповісти на питання: рівносильні чи рівняння. №№120-144 пропонуються для вирішення ірраціональних рівнянь, №№145-155 - для вирішення нерівностей описаними вище способами.

"Алгебра і математичний аналіз, 11", авт.Н.Я. Виленкин, О.С. Івашев-Мусатов, С.І. Шварцбурд [4].

Даний навчальний посібник являє собою продовження книги "Алгебра і початки аналізу" для 10 класу і призначене як для загальноосвітньої школи, так і класів і шкіл з поглибленим вивченням курсу математики.

Ірраціональні рівняння і нерівності вивчаються в параграфі "Степенева функція. Ірраціональні вирази, рівняння і нерівності" VIII глави "Показова, логарифмічна і статечні функції".

Пункт "Ірраціональні рівняння" починається з визначення ірраціонального рівняння і прикладів таких рівнянь. Далі сформульована і доведена теорема про рівносильні рівняннях, на якій грунтується рішення ірраціональних рівнянь. З теореми випливає, що якщо в ході вирішення ірраціонального рівняння доводилося зводити обидві його частини в ступінь з парним показником, то можуть з'явитися сторонні корені. Тому, щоб не було необхідності підставляти знайдені коріння в дане рівняння, сформульовано ще два твердження про еквівалентному переході від рівнянь відаік систем, що складається з рівняння і нерівності. Далі на прикладах рішення ірраціональних рівнянь демонструються дані рівносильні переходи. Також автор рекомендує перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь "усамітнитися радикал", тобто представити рівняння у вигляді. Далі даний метод застосовується для вирішення ірраціональних рівнянь

Після даного пункту поміщені вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння описаними вище методами - №216. В №215 необхідно довести, що дані ірраціональні рівняння не мають рішень.

У наступному пункті "Ірраціональні нерівності" сформульовані прийоми вирішення ірраціональних нерівностей відаіс допомогою равносильного переходу до системи нерівностей в першому випадку і сукупності систем нерівностей - у другому. Розглядається рішення ірраціонального нерівності Відас допомогою равносильного переходу до нерівності. Рішення кожного з видів нерівностей демонструється на прикладах.

Після даного пункту поміщені вправи для закріплення вміння вирішувати ірраціональні нерівності за допомогою рівносильних переходів, описаних вище - №217.

Усі твердження, сформульовані в даному навчальному посібнику, викладені із суворим обґрунтуванням. Описаний корисний метод при вирішенні ірраціональних рівнянь - метод "усамітнення радикала". Не дивлячись на те, що підручник не відрізняється великою кількістю вправ, запропоновані завдання різноманітні, різного ступеня складності

Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:

У підручнику [1] матеріалу за методами вирішення ірраціональних рівнянь немає. У підручниках [13] і [4] матеріал з теорії методів вирішення убогий, але досить строгий. У великому обсязі теорія за загальними методам вирішення розглянута підручниках [2] і [10].

У кожному підручнику розглянуті два основних способи вирішення: зведення обох частин рівняння в ступінь, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних переходів до системи, що складається з рівняння і нерівності. У підручниках [2] і [10] розглянуті такі загальні методи розв'язання рівнянь як метод розкладання на множники, метод введення нових змінних, функціонально-графічний метод

У підручниках [1] та [13] не розглянута рішення ірраціональних нерівностей. У підручнику [2] матеріал за рішенням ірраціональних нерівностей убогий, виклад недостатньо суворе. У підручниках [4] і [10] теорія щодо способів вирішення ірраціональних нерівностей виду, розглянута докладно, виклад теорії суворе. Тільки в підручнику Виленкина розглядається рішення ірраціонального нерівності виду.

Найбільш великий обсяг вправ для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей представлений в підручниках [11] і [5]. У підручнику [4] вправ не багато, але вони різноманітні.

Основні поняття, що відносяться до рівнянь

Рівність виду

, (1)

гдеі- деякі функції, називають рівнянням з одним невідомим x (з однією змінною x). Це рівність може виявитися вірним при одних значеннях x і невірним при інших значеннях x.

Число a називається коренем (або рішенням) рівняння (1), якщо обидві частини рівняння (1) визначені пріі равенствоявляется вірним. Отже, кожен корінь рівняння (1) належить безлічі, яке є перетином (загальною частиною) областей визначення функційіі називається областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння (1).

Вирішити рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Якщо в умовах задачі не вказано, на якому безлічі потрібно вирішити рівняння, то рішення слід шукати на ОДЗ цього рівняння.

У процесі вирішення часто доводиться перетворювати рівняння, замінюючи його більш простим (з точки зору знаходження коренів).

Є одне правило, яке не слід забувати при перетворенні рівнянь: не можна виконувати перетворення, які можуть призвести до втрати коренів.

Назвемо перетворення рівняння (1) допустимим, якщо при цьому перетворенні не відбувається втрати коренів, тобто виходить рівняння

, (2)

яке або має те ж коріння, що і рівняння (1), або, крім всіх коренів рівняння (1), має хоча б один корінь, який не є коренем рівняння (1), сторонній для рівняння (1) корінь. У зв'язку з цим використовують такі поняття.

Рівняння (2) називається наслідком рівняння (1), якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2).

Рівняння (1) і (2) називаються рівносильними (еквівалентними), якщо кожне з цих рівнянь є наслідком іншого. Іншими словами, рівняння (1) і (2) рівносильні, якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2) і навпаки, кожен корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). Рівняння, що не мають коренів, вважаються рівносильними.

Якщо рівняння (1) і (2) рівносильні, то пишуть (1) (2), а якщо рівняння (2) є наслідком рівняння (1), то пишуть (1) (2).

Відзначимо, що якщо вихідне рівняння за допомогою допустимих перетворень замінено іншим, причому в процесі перетворення хоча б один раз рівняння замінювалося нерівносильні йому слідством, то перевірка знайдених коренів шляхом підстановки у вихідне рівняння є обов'язковою.

Якщо ж при кожному перетворенні рівняння замінювалося рівносильним, то перевірка не потрібна (не слід плутати перевірку з контролем обчислень).

Розглянемо ще одне поняття, пов'язане з рішенням рівнянь. Будемо говорити, що рівняння (1) рівносильно сукупності рівнянь, (3) якщо виконані наступні умови: кожен корінь рівняння (1) є коренем, принаймні, одного з рівнянь (3); будь корінь кожного з рівнянь (3) є коренем рівнянні я (1).

Якщо зазначені умови виконані, то безліч коренів рівняння (1) є об'єднанням множин коренів рівнянь (3).

Якщо рівняння записано у вигляді

, (4)

то кожне рішення цього рівняння є рішенням, принаймні, одного з рівнянь

(5)

Однак не можна стверджувати, що будь корінь кожного з рівнянь (5) є корінь рівняння (4).

Наприклад, якщо, то- корінь рівняння, але число 3 не є коренем рівняння (4), так як функціяне визначена при.

Таким чином, у загальному випадку не можна стверджувати, що рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5).

Щоб вирішити рівняння (4), досить знайти коріння уравненійі, а потім відкинути ті, які не входять до ОДЗ рівняння (4), тобто не належать безлічі, на якому визначені функциии.

У ОДЗ рівняння (4) це рівняння рівносильне сукупності рівнянь (5).

Справедливо більш загальне твердження: якщо функціяопределена при всіх x таких, що, а функціяопределена при всіх x таких, що, то рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5). [18]

Найбільш важливі прийоми перетворення рівнянь

Усі перетворення рівнянь можна розділити на два типи:

рівносильні, тобто перетворення, після застосування будь-яких з яких вийде рівняння, рівносильне вихідному.

Нерівносильні, тобто перетворення, після застосування яких може відбутися втрата або придбання сторонніх коренів. [15]

Розглянемо деякі перетворення рівнянь і з'ясуємо, до яких типів вони відносяться.

Перенесення членів рівняння з однієї частини в іншу, тобто перехід від рівняння

(1)

до рівняння

. (2)

Зазначене перетворення призводить до рівносильне рівняння, тобто (1) (2).

Зокрема ,.

Зауважимо, що тут мова йде тільки про перенесення членів рівняння з однієї його частини в іншу без подальшого приведення подібних членів (якщо такі є). [18]

Приведення подібних членів, тобто перехід від рівняння

(3)

до рівняння

. (4)

Справедливо наступне твердження: для будь-яких функцій ,, рівняння (4) є наслідком рівняння (3), тобто (3) (4).

Перехід від рівняння (3) до рівняння (4) є допустимим перетворенням, при якому втрата коріння не можлива, але можуть з'явитися сторонні корені.

Таким чином, при приведенні подібних членів, а також при відкиданні однакових доданків у лівій і правій частинах рівняння виходить рівняння, що є наслідком вихідного рівняння. [18]

Наприклад, якщо в рівнянні

викреслити в лівій і правій його частинах доданок, то вийде рівняння

,

є наслідком вихідного: друге рівняння має коріння ,, а перше - єдиний корінь.

Відзначимо ще, що якщо ОДЗ рівняння (4) міститься в області визначення функції, то рівняння (3) і (4) рівносильні.

Множення обох частин рівняння на одну і ту ж функцію, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння

. (5)

Справедливі наступні твердження:

якщо ОДЗ рівняння (4), тобто перетин областей визначення функційі, міститься в області визначення функції, то рівняння (5) є наслідком рівняння (4);

якщо функціяопределена і відмінна від нуля в ОДЗ рівняння (4), то рівняння (4) і (5) рівносильні. [18]

Зауважимо, що в загальному випадку перехід від рівняння (5) до рівняння (4) неприпустимий: це може призвести до втрати коренів.

При вирішенні рівнянь виду (5) зазвичай заміняють його рівносильним рівнянням

,

потім знаходять все коріння рівнянь

и

і, нарешті, перевіряють, які з цих коренів задовольняють рівняння (5).]

Зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь, тобто перехід від рівняння

(6)

до рівняння

. (7)

Справедливі наступні твердження:

при любомуравненіе (7) є наслідком рівняння (6);

якщо (n - непарне число), то рівняння (6) і (7) рівносильні;

якщо (n - парне число), то рівняння (7) рівносильне рівнянню

, (8)

а рівняння (8) рівносильно сукупності рівнянь

. (9)

Зокрема, рівняння

(10)

рівносильно сукупності рівнянь (9). [18]

Отже, виходячи з тверджень 1 і 2, зведення обох частин рівняння в непарну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня непарного степеня є рівносильним перетворенням.

Виходячи з твердження 1 і 3, зведення обох частин рівняння в парну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня парному ступеня є нерівносильні перетворенням, при цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

Застосування формулипріявляется рівносильним перетворенням, при- нерівносильні. [15], [18]

Перетворення рівнянь, розглянуті в пунктах 3, 4 і 5 будуть продемонстровані на прикладах ніже.Методіка рішення ірраціональних рівнянь

У роботі будемо дотримуватися наступного визначення ірраціонального рівняння:

Ірраціональним рівнянням називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.

Перш ніж приступити до вирішення складних рівнянь учні повинні навчитися вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння. До простих ірраціональним рівнянням відносяться рівняння виду:

Основна ідея рішення ірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального рівнянню алгебри, яке або рівносильно вихідного ірраціонального рівняння, або є його наслідком.

Головний спосіб позбутися від кореня і отримати раціональне рівняння - зведення обох частин рівняння в ту саму ступінь, яку має корінь, що містить невідоме, і наступне "звільнення" від радикалів за формулою. [6]

Якщо обидві частини ірраціонального рівняння звести в одну і ту ж непарну ступінь і звільнитися від радикалів, то вийде рівняння, рівносильне вихідному. [6]

При зведенні рівняння в парну ступінь виходить рівняння, що є наслідком вихідного. Тому можлива поява сторонніх рішень рівняння, але не можлива втрата коренів. Причина придбання коренів полягає в тому, що при зведенні в парну ступінь чисел, рівних за абсолютною величиною, але різних за знаком, виходить один і той же результат.

Так як можуть з'явитися сторонні корені, то необхідно робити перевірку, підставляючи знайдені значення невідомої тільки в початкове рівняння, а не в якісь проміжні.

Розглянемо застосування даного методу рішення ірраціональних рівнянь. [7]

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат одержимо, звідки випливає, чтоілі.

Перевірка.:. Це невірне числове рівність, значить, чіслоне є коренем даного рівняння.

:. Це правильне числове рівність, значить, чіслоявляется коренем даного рівняння.

Відповідь ..

Перевірка, здійснювана підстановкою знайденого рішення у вихідне рівняння, може бути легко реалізована, якщо перевіряються коріння - "хороші" числа, а для "громіздких" коренів перевірка може бути пов'язана зі значними обчислювальними труднощами. Тому кожна освічена школяр повинен вміти вирішувати ірраціональні рівняння за допомогою рівносильних перетворень, так як, виконуючи рівносильні перетворення, можна не побоюватися ні втрати коренів, ні придбання сторонніх рішень. [17] Акуратне зведення в парну ступінь рівняння відасостоіт в переході до рівносильній йому системі

Нерівність цій системі висловлює умова, при якому рівняння можна зводити в парну ступінь, відсікає сторонні рішення і дозволяє обходитися без перевірки. [17]

Школярі досить часто додають до цієї системи нерівність. Однак цього робити не потрібно і навіть небезпечно, оскільки условіеавтоматіческі виконується для коренів рівняння, в правій частині якого стоїть невід'ємне вираз. [9]

Приклад 2. Вирішити рівняння.

Рішення. Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильне рівнянню, одержимо коріння.

Другий корінь не задовольняє нерівності системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.

Відповідь ..

При вирішенні ірраціональних рівнянь корисно перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь "усамітнитися радикал", тобто представити рівняння у вигляді.

Тоді після зведення обох частин рівняння в n-ую ступінь радикал праворуч зникне. [4]

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Рішення. Метод усамітнення радикала призводить до рівняння. Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, отримаємо коріння, але условіевиполняется тільки для.

Відповідь ..

Корисно запам'ятати схему вирішення ще одного виду ірраціональних рівнянь. Таке рівняння рівносильне кожної з двох систем

Оскільки після зведення в парну ступінь отримуємо рівняння-наслідок. Ми повинні, вирішивши його, з'ясувати, чи належать знайдені коріння області визначення вихідного рівняння, тобто чи виконується нерівність (або). На практиці з цих систем вибирають для вирішення ту, в якій нерівність простіше. [9]

Приклад 4. Розв'язати рівняння

.

Рішення. Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильне рівнянню, одержимо коріння.

Однак при цих значеннях x не виконується нерівність, і тому дане рівняння не має коренів.

Відповідь. Коренів немає.

Тепер можна перейти до вирішення ірраціональних рівнянь, що не відносяться до найпростіших.

Приклад 5. Розв'язати рівняння.

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат і зробимо приведення подібних членів, перенесення доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на.

В результаті одержимо рівняння

, (1)

є наслідком вихідного.

Знову зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Одержимо рівняння

,

яке приводиться до вигляду

.

Це рівняння (також є наслідком вихідного) має коріння ,. Обидва кореня, як показує перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.

Відповідь.,. Тотожні перетворення при вирішенні ірраціональних рівнянь

При вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з використанням відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, як вже розглянуте зведення в парну ступінь, - можуть купуватися чи губитися рішення. [17]

Обговоримо кілька ситуацій, в яких ці проблеми наступають, і подивимося, як їх розпізнати і як можна з ними боротися.

I. Приклад 6. Розв'язати рівняння.

Рішення. При першому ж погляді на це рівняння виникає думка позбутися від кореня за допомогою "перетворення".

Але це невірно, тому що при негативних значеннях x виявлялося б, що.

Необхідно запам'ятати формулу. Рівняння тепер легко вирішується

.

Відповідь ..

Тепер подивимося "зворотне" перетворення.

Приклад 7. Розв'язати рівняння.

Рішення. Зараз настав час задуматися про безпеку формули

.

Неважко бачити, що її ліва і права частини мають різні області визначення і що це рівність вірно лише за умови. Тому вихідне рівняння рівносильне системі

Відповідь ..

II. Наступне перетворення, яке повинно стати предметом турботи для кожного, хто вирішує ірраціональні рівняння, визначається формулою

.

Якщо користуватися цією формулою зліва направо, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, в лівій частині обидві функцііідолжни бути невід'ємні; а в правій ненегативним має бути їх твір. [17]

Зауваження. При зведенні рівняння в квадрат учні нерідко в рівнянні типу (1) з Прикладу 5 виробляють перемножування підкореневих виразів, тобто замість такого рівняння пишуть рівняння

.

Таке "склеювання" не приводить до помилок, оскільки таке рівняння є наслідком рівняння (1). Слід, однак, мати на увазі, що в загальному випадку таке перемножування підкореневих виразів дає нерівносильні рівняння. Тому в розглянутому вище прикладі можна було спочатку перенести один з радикалів в праву частину рівняння, тобто усамітнився один радикал. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал, і після зведення обох частин рівняння в квадрат у лівій частині рівняння вийде раціональне вираз. [3]

Приклад 8. Розв'язати рівняння

.

Рішення. Усамітнитися перший радикал, отримуємо рівняння

,

рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, отримуємо рівняння

,

равносильное рівнянням

. (2)

Рівняння (2) є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, приходимо до рівняння

, Або.

Це рівняння є наслідком рівняння (2) (а значить, і вихідного рівняння) і має коріння ,.

Перший корінь задовольняє вихідному рівняння, а другий - не задовольняє.

Відповідь ..

Розглянемо приклад, де реалізується проблема з "розклеюванням" коренів, тобто використання формули. [13]

Приклад 9. Розв'язати рівняння.

Рішення. Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники

.

Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення. Подивіться, воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого: не має сенсу при. Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням в квадрат

Відповідь.,.

Висновок. Є два шляхи. Або акуратно зводити рівняння в квадрат, або безпомилково визначати, які рішення могли бути втрачені, і перевірити, чи не сталося цього насправді.

III. Існує ще більш небезпечне діяння - скорочення на спільний множник. [17]

Приклад 10. Розв'язати рівняння.

"Рішення". Скоротимо обидві частини рівняння на, одержимо

.

Немає нічого більш небезпечного і неправильного, ніж це дію. По-перше, відповідне рішення вихідного уравненіябило втрачено; по-друге, було придбано два сторонніх рішення. Виходить, що нове рівняння не має нічого спільного з вихідним! Ось правильне рішення.

Рішення. Перенесемо всі члени в ліву частину рівняння і розкладемо її на множники

.

Це рівняння рівносильне системі

яка має єдине рішення.

Ответ..Прімененіе загальних методів для вирішення ірраціональних рівнянь

1. Метод розкладання на множники.

Суть цього методу полягає в наступному: уравненіеможно замінити сукупністю рівнянь:

;;.

Вирішивши рівняння цієї сукупності, потрібно взяти ті їх коріння, які належать області визначення вихідного рівняння, а решта відкинути як сторонні. Наведемо приклад застосування методу розкладання на множники при вирішенні ірраціональних рівнянь. [10]

Приклад 11. Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Для вирішення таких рівнянь слід користуватися правилом розщеплення:

Добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один з вхідних в нього співмножників дорівнює нулю, а інші при цьому мають сенс. [17]

Перший множник дорівнює нулю при, але тоді другий множник втратить сенс, оскільки пріон дорівнює. Значить, рішенням даного рівняння бути не може.

Другий множник дорівнює нулю пріілі. Перший множник визначений для всіх дійсних чисел, значить, імогут бути рішеннями даного рівняння. Відповідь.,

2. Метод введення нової змінної.

Потужним засобом вирішення ірраціональних рівнянь є метод введення нової змінної, або "метод заміни". Метод зазвичай застосовується у випадку, якщо в рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, залежне від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якої-небудь нової буквою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомою, а потім вже знайти вихідну невідому. У ряді випадків вдало введені нові невідомі іноді дозволяють отримати рішення швидше і простіше; іноді ж без заміни вирішити завдання взагалі неможливо. [6], [17]

Приклад 12. Розв'язати рівняння.

Рішення. Поклавши, отримаємо істотно більш просте ірраціональне рівняння. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат:

.

Далі послідовно отримуємо:

;

;

;

;

,.

Перевірка знайдених значень їх підстановкою в уравненіепоказивает, що- корінь рівняння, а- сторонній корінь.

Повертаючись до початкової змінної x, отримуємо рівняння, тобто квадратне рівняння, вирішивши яке знаходимо два корені:,.

Відповідь:,.

Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на квадратне.

Приклад 13. Розв'язати рівняння.

Рішення. Перепишемо рівняння так :.

Видно, що якщо ввести нову змінну, то рівняння прийме вигляд, звідки ,.

Тепер завдання зводиться до вирішення уравненіяі рівняння. Перше з цих рішень не має, а з другого отримуємо ,.

Відповідь.,.

Відзначимо, що "бездумне" застосування в Прімері 11 методу "усамітнення радикала" і зведення в квадрат призвело б до рівняння четвертого ступеня, рішення якого є в загальному випадку надзвичайно складне завдання.

Приклад 14. Розв'язати рівняння

.

Введемо нову змінну

,.

Вихідне рівняння приймає вид

,

звідки враховуючи обмеження, отримуємо. Тоді.

Відповідь ..

Рівняння виду (тут a, b, c, d - деякі числа, m, n - натуральні числа, зазвичай не перевищують 4) і ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих і подальшого переходу до раціональної системі. [17]. Приклад 15. Розв'язати рівняння.

Рішення. Введемо нові змінні

і.

Тоді вихідне рівняння приймає вид :. Отримане рівняння має один суттєвий недолік: в ньому дві невідомих. Але зауважимо, що величини a і b не є незалежними змінними - вони залежать одна від одної за допомогою старої змінної x. Висловимо x через a і b

і.

Тепер, можна помітити, що якщо перше рівняння помножити на два і потім відняти від нього другий, то змінна x виключається, і залишається зв'язок тільки між a і b

.

В результаті отримуємо систему двох рівнянь щодо двох невідомих a і b

Вирішуючи цю систему методом підстановки, приходимо до рівняння, коренями якого є чіслаі. Кореньпосторонній, оскільки. Залишилося вирішити рівняння, звідки знаходимо.

Відповідь ..

Приклад 16. Розв'язати рівняння

. [6]

Рішення. Зведення обох частин цього рівняння в четверту степень не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти ,, то вихідне рівняння переписується так :. Оскільки ми ввели дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, що зв'язує y і z.

Для цього зведемо рівності, в четверту ступінь і зауважимо, що.

Отже, треба вирішити систему рівнянь

вона має два (дійсних) рішення:,;,. Залишається вирішити систему двох рівнянь з одним невідомим

і систему

перша з них дає, друга дає.

Відповідь.,.

Не завжди після введення нових змінних вдається виключити невідому x, як це було в розглянутих прикладах 15, 16. Однак, як можна переконатися з наступного прикладу, перехід від рівняння до системи може допомогти і в такому випадку. [17]

Приклад 17. Розв'язати рівняння

.

Рішення. Введемо нові змінні

і.

За стандартною схемою отримаємо таку систему рівнянь:

звідки випливає, що

.

Так як, то u і v повинні задовольняти системі

з якої після нескладних перетворень одержуємо рівняння

.

Зауважимо, що це рівняння має корінь. Тоді, розділивши многочлен на, одержуємо розкладання лівої частини рівняння на множники

.

Звідси випливає, що- єдине рішення цього рівняння. Після перевірки записуємо це рішення у відповідь.

Відповідь.

3. Тригонометрична заміна.

Іноді відповідною заміною невідомої ірраціональне рівняння можна звести до тригонометричного рівняння. При цьому корисними можуть виявитися наступні заміни змінної. [17]

Якщо в рівняння входить радикал, то можна зробити заміну, або ,.

Якщо в рівняння входить радикал, то можна зробити заменуtg t, іліctg t ,.

Якщо в рівняння входить радикал, то можна зробити заміну, або ,.

Проілюструємо використання цих замін на наступних прикладах.

Приклад 18. Розв'язати рівняння.

Рішення. В дане рівняння входить вираз, тому відповідно до пункту 2, зробимо заміну

tg t, де.

Тоді вираз, що входить в рівняння, можна перетворити

і вихідне рівняння можна записати у вигляді

.

Посколькуне дорівнює нулю при розглянутих значеннях t, то отримане рівняння рівносильне рівнянню

.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо два можливих значення

і.

З усіх коренів цих рівнянь промежуткупрінадлежіт єдине значення.

Тому відповідне значення x одно

.

Відповідь ..

Приклад 19. Розв'язати рівняння.

Рішення. У цьому рівнянні x по ОДЗ може приймати тільки значення з відрізка, що призводить до думки зробити заміну

, Де.

В результаті такої заміни приходимо до рівняння

.

Врахуємо, чтоі, одержимо рівняння.

В силу ограніченіявиполнено, тому приходимо до рівняння, яке, користуючись формулою приведення, зведемо до стандартного вигляду

.

Вирішуючи останнє рівняння, знаходимо

або ,.

Условіюудовлетворяют лише три значення

,,. Тому

,,.

Відповідь. ,,.

4. Множення обох частин рівняння на функцію.

Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві його частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі самої цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження виходять значень. [6]

Приклад 20. Розв'язати рівняння.

Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на одну і ту ж функцію. Вираженіеназивается сполученим для вираження. Мета такого множення ясна: використовувати той факт, що твір двох сполучених виразів вже не містить радикалів.

В результаті цього множення і очевидних перетворень приходимо до рівняння

.

Воно має єдиний корінь, так як уравненіерешеній не має.

Підстановка у вихідне рівняння показує, що- корінь.

Відповідь ..

Втім, тут можна було обійтися і без підстановки: функціянігде в нуль не звертається, і тому множення обох частин уравненіяна цю функцію не призводить до появи сторонніх рішень.

Приклад 21. Розв'язати рівняння. [9]

Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на функцію. Після перетворень отримаємо рівняння

.

Воно має два корені :. Перевірка показує, що- сторонній корінь (неважко бачити, - корінь функції). Таким чином, рівняння має єдиний корінь.

Ответ..Методіка рішення ірраціональних нерівностей

Якщо в будь-якому ірраціональному рівнянні замінити знак рівності на один із знаків нерівності:> ,, <,, то отримаємо ірраціональне нерівність. [19] Тому під ірраціональним нерівністю будемо розуміти нерівність, в якому невідомі величини знаходяться під знаком кореня. [16]

Спосіб вирішення таких нерівностей полягає в перетворенні їх до раціональних нерівностей шляхом зведення обох частин нерівності в ступінь.

Рішення ірраціональних нерівностей ускладнюється тією обставиною, що тут, як правило, виключена можливість перевірки, тому треба намагатися робити все перетворення рівносильними.

При вирішенні ірраціональних нерівностей слід запам'ятати правило: при зведенні обох частин нерівності в непарну ступінь завжди виходить нерівність, рівносильну даній нерівності. [16]

Але якщо при вирішенні рівнянь в результаті зведення парну ступінь ми могли отримати сторонні корені (які, як правило легко перевірити) і не могли втратити корені, то коріння нерівності при бездумному зведенні в парну ступінь можуть одночасно і губитися, і купуватися. [8]

Наприклад, звівши в квадрат:

вірне нерівність, ми отримаємо вірне нерівність;

вірне нерівність, ми отримаємо невірне нерівність;

невірне нерівність, ми отримаємо вірне нерівність;

невірне нерівність, ми отримаємо невірне нерівність.

Ви бачите, що можливі всі комбінації вірних і невірних нерівностей. [8]

Однак вірно основне використовуване тут твердження: якщо обидві частини нерівності зводять у парну ступінь, то вийде нерівність, рівносильне вихідному тільки в тому випадку, якщо обидві частини вихідного нерівності невід'ємні. [16]

Тому основним методом вирішення ірраціональних нерівностей є зведення вихідного нерівності до рівносильній системі або сукупності систем раціональних нерівностей. [17]

Найбільш прості ірраціональні нерівності мають вигляд: [16], [17]

(Або);

(Або);

(Або).

Ірраціональне нерівність (або) рівносильне системі нерівностей

або. {1}

Перше нерівність в системі {1} є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь, друга нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, а третє нерівність системи висловлює умова, при якому ця нерівність можна зводити в квадрат.

Ірраціональне нерівність (або) рівносильно сукупності двох систем нерівностей

або. {2}

Звернемося до першої системі схеми {2}. Перше нерівність цієї системи є результатом зведення вихідного нерівності в квадрат, друге - умова, при якому це можна робити.

Друга система схеми {2} відповідає випадку, коли права частина негативна, і зводити в квадрат можна. Але в цьому й немає необхідності: ліва частина вихідного нерівності - арифметичний корінь - неотрицательна при всіх x, при яких вона визначена. Тому вихідне нерівність виконується при всіх x, при яких існує ліва частина. Перше нерівність другої системи і є умова існування лівій частині.

Ірраціональне нерівність (або) рівносильне системі нерівностей

або. {3}

Оскільки обидві частини вихідного нерівності невід'ємні при всіх x, при яких вони визначені, тому його можна звести в квадрат. Перше нерівність в системі {3} є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь. Друге нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, зрозуміло, що неравенствовиполняется при цьому автоматично.

Схеми {1} - {3} - наш основний інструмент при вирішенні ірраціональних нерівностей, до них зводиться рішення практично будь-якої задачі. Розберемо декілька прикладів. [8]

Приклад 1. Розв'язати нерівність.

Рішення. Зауважимо, що права часто цієї нерівності негативна, в той час як ліва частина неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Тому нерівність рішень не має.

Відповідь. Рішень немає.

Приклад 2. Розв'язати нерівність.

Рішення. Як і в попередньому прикладі, зауважимо, що права частина даної нерівності негативна, отже, зводити цю нерівність в квадрат можна. І не треба, оскільки ліва частина вихідного нерівності неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Це означає, що ліва частина більше правої частини при всіх значеннях x, що задовольняють умові.

Відповідь ..

Приклад 3. Розв'язати нерівність.

Рішення. У відповідності зі схемою {1} рішення нерівностей цього типу, запишемо рівносильну йому систему раціональних нерівностей

Условіевиполнено при всіх x, і немає необхідності додавати його до виписаної системі.

Відповідь ..

Приклад 4. Вирішити нерівність.

Рішення. Ця нерівність вирішується за допомогою схеми {2}. В даному випадку, тому можна відразу записати нерівність, рівносильне вихідному. Відповідь ..

Приклад 5. Вирішити нерівність.

Рішення. Ця нерівність може бути вирішено за допомогою схеми {1}. Система, рівносильна вихідного нерівності, має вигляд

Відповідь ..

Приклад 6. Розв'язати нерівність.

Рішення. Дане нерівність можна вирішувати за допомогою схеми {2}. Воно рівносильно сукупності двох систем

Відповідь ..

Приклад 7. Розв'язати нерівність.

Рішення. Згідно зі схемою {3}, дане нерівність рівносильне системі

Відповідь.

Більш складно рішення ірраціональних нерівностей виду

.

Оскільки ,, то повинні виконуватись умови ,, (відповідно). На безлічі, де ці умови виконуються, дане нерівність рівносильна нерівності.

(Відповідно нерівності), яке зводиться до розібраним вище типам нерівностей. [4]

Приклад 8. Розв'язати нерівність.

Рішення. Дане нерівність рівносильне наступній системі нерівностей:

Остання нерівність цієї системи приводиться до вигляду, звідки знаходимо, що. Рішення вихідної нерівності є спільною частиною рішень всіх нерівностей системи, тобто має вигляд.

Відповідь ..

Для вирішення ірраціональних нерівностей, так само як і для вирішення ірраціональних рівнянь, з успіхом може застосовуватися спосіб підстановки або введення нової змінної.

Досить ефективні так звані раціоналізує підстановки. Застосування раціоналізують підстановок дозволяє привести функцію, ірраціональну щодо вихідної змінної, до раціональної функції щодо нової змінної. [17]

Приклад 9. Вирішити нерівність.

Рішення. Введемо нову змінну t за допомогою раціоналізує підстановки ,.

Тогдаі для змінної t отримуємо раціональне нерівність

, Де.

Відповідь ..

Висновок

У цій роботі зроблена спроба розробити методику навчання рішенню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі.

В ході роботи були вирішені наступні завдання:

Проаналізовано діючі підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей. Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:

теорія методів викладена мало строго;

в одному підручнику [1] матеріалу за методами вирішення ірраціональних рівнянь немає. В інших підручниках розглянуті два основних способи вирішення: зведення обох частин рівняння в ступінь, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних перетворень;

дуже мало матеріалу по методам вирішення ірраціональних нерівностей;

серед запропонованих завдань багато однотипних;

Вивчено стандарти освіти з даної теми;

Вивчена навчально-методична література з даної теми;

Розглянуто ситуації, пов'язані з втратою або придбанням сторонніх коренів в процесі вирішення, показано, як їх розпізнавати і як з ними можна боротися;

Підібрані приклади розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теоретичного матеріалу;

Показано, що загальні методи розв'язання рівнянь застосовні для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей.

Список бібліографії

1. Алімов Ш.А. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М .: Просвещение, 1993. - 254 с.

2. Башмаков М.І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М .: Просвещение, 1992. - 351 с.

3. Болтянский В.Г. Математика: лекції, завдання, рішення. - Литва: Альфа, 1996. - 637 с.

4. Виленкин Н.Я. та ін. Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Учеб. посібник для учнів шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики. - М .: Просвещение, 1998. - 288 с.

5. Галицький М.Л. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів: Учеб. посібник для учнів шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики. - М .: Просвещение, 1999. - 271с.

6. Григор'єв А.М. Ірраціональні рівняння. // Квант, №1, 1972, С.46-49.

7. Деніщева Л.О. Готуємося до єдиного державного іспиту. Математика. - М .: Дрофа, 2004. - 120 с.

8. Єгоров А. Ірраціональні нерівності. // Математика. Перше вересня, №15, 2002. - с.13-14.

9. Єгоров А. Ірраціональні рівняння. // Математика. Перше вересня, №5, 2002. - с.9-13.

10. Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл .: У двох частинах. Ч.1: Учеб. для загальноосвіт. установ. - М .: Мнемозина, 2004. - 315 с.

11. Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл .: У двох частинах. Ч.2: Задачник для загальноосвіт. установ. - М .: Мнемозина, 2004. - 315 с.

12. Мордкович А.Г. Хтось втрачає, хтось знаходить. // Квант, №5, 1970, С.48-51.

13. Колмогоров А.Н. Алгебра і початки аналізу. Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М .: Просвещение, 1991. - 320 с.

14. Кузнєцова Г.М. Програма для загальноосвіт. шкіл, гімназій, ліцеїв: Математіка.5-11 кл. - М .: Дрофа, 2004, 320 с.

15. Потапов М. Як розв'язувати рівняння без ОДЗ. // Математика. Перше вересня, №21, 2003. - с.42-43.

16. Соболь Б.В. Посібник для підготовки до єдиного державного іспиту і централізованого тестування з математики. - Ростов на Дону: Фенікс, 2003. - 352 с.

17. Черкасов О.Ю. Математика: Довідник для старшокласників та вступників до вузів. - М .: АСТ-ПРЕСС, 2001. - 576 с.

18. Шабунін М. Лекції для абітурієнтів. Лекція 1. // Математика. Перше вересня, №24, 1996. - с.24.

19. Шувалова Е.З. Повторимо математику. Учеб посіб. для вступників до вузів. - М .: Вища школа, 1974. - 519 с.
Навчання дітей декоративно-тематичному малюванню
План І. Теоретична частина 1.1 Ознайомлення учнів з видами декоративного малюнку 1.2 Зображувальні види декору 1.3 Стилізація природних форм 1.4 Народний орнамент ІІ. Практична частина 2.1 Робота над створенням орнаменту Література І. Теоретична частина 1.1 Ознайомлення учнів

Мультимедійні презентації як засіб розвитку пізнавальної активності молодших школярів
Зміст Введення Глава 1 Теоретичні основи: мультимедійні презентації як засіб розвитку пізнавальної активності молодших школярів 1.1 Мультимедійні презентації 1.2 Пізнавальна активність молодших школярів 1.3 Розвиток пізнавальної активності молодших школярів через застосування мультимедійних

Музичне виховання молодших школярів засобами мультимедійних технологій
Дипломна робота Музичне виховання молодших школярів засобами мультимедійних технологій ЗМІСТ Вступ Розділ 1. Теоретичні основи розгляду проблеми музичного виховання молодших школярів 1.1 Дослідження проблем музичного виховання молодших школярів у музично-педагогічній науці 1.2

Нетрадиційні підходи до виховання важких підлітків
Зміст Введення 1. Проектування виховної роботи на основі зодіакальною локації 2. "гайденс" -експерімент 3. Сутність "гайденс" - експерименту на базі культурного центру Висновок Література Введення Тема контрольної роботи "Нетрадиційні підходи до виховання важких підлітків".

Моральне виховання як важлива складова змісту виховання
КУРСОВА РОБОТА Моральне виховання як важлива складова змісту виховання Зміст Вступ... 3 І Роль морального виховання в розвитку особистості... 5 Проблема морального виховання у психолого-педагогічній літературі...5 Сутність морального виховання (завдання, мета, принципи)... 7 Система

Науково-дослідна діяльність вчителів в Росії на початку ХХ століття
Науково-дослідна діяльність вчителів в Росії на початку XX століття Розвиток системи народної освіти в Росії у другій половині XIX в. поставило влада і суспільство перед необхідністю вирішувати проблему все зростаючої потреби у вчителях середньої школи. У результаті були відкриті державні

Моделювання в розвитку математичних представлень дошкільнята
Зміст ВВЕДЕННЯ...3 1. Суть методу моделювання... 5 2. Види моделей...6 3. Моделювання в розвитку математичних представлень дошкільнята... 7 3.1 Моделювання в ранньому і дошкільному дитинстві... 10 3.2 Використання моделювання в розвитку математичних представлень дітей середнього дошкільного

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати