Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Ермітови оператори - Математика

Ермітови оператори

Зміст

Лінійні оператори

Лінійні рівняння

Ермітови оператори

Лінійні оператори

Нехай M і N - лінійні множини. Оператор L, що перетворює елементи безлічі M в елементи безлічі N, називається лінійним, якщо для будь-яких елементів f і g з M і комплексних чисел λ і μ справедлива рівність

L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)

При цьому безліч M = MLназывается областю визначення оператора L. Еслі Lf = f при всіх f ЄM, то оператор L називається тотожним (одиничним) оператором. Одиничний оператор будемо означати через Лінійні рівняння

Нехай L - лінійний оператор з областю визначення ML. Рівняння

Lu = F (2)

називається лінійним неоднорідним рівнянням. У рівнянні (2) заданий елемент F називається вільним членом (або правою частиною), а невідомий елемент і з ML- рішенням цього рівняння.

Якщо в рівнянні (2) вільний член F покласти рівним нулю, то отримане рівняння

Lu = 0 (3)

називається лінійним однорідним рівнянням, відповідним рівнянню (2).

Внаслідок линейности оператора L сукупність рішень однорідного рівняння (3) утворить лінійну безліч; зокрема, і = 0 завжди є рішенням цього рівняння.

Всяке рішення і лінійного неоднорідного рівняння (2) (якщо воно існує) представляється у вигляді суми приватного рішення иоэтого рівняння і загального рішення ŭ, відповідного лінійного однорідного рівняння (3)

і = ио+ ŭ.

Звідси безпосередньо виводимо: для того щоб рішення рівняння (2) було єдиним в ML, необхідно і досить, щоб відповідне однорідне рівняння (3) мало тільки нульове рішення в ML. Нехай однорідне рівняння (3) має тільки нульове рішення в ML. Визначимо через Rlобласть значень оператора L, тобто (лінійне) безліч елементів вигляду {Lf}, де f пробігає ML. Тоді для будь-якого FЄ Rlуравнение (2) має єдине рішення і Є ML, і, таким чином, виникає деякий оператор, що зіставляє кожному елементу F з Rlсоответствующее рішення рівняння (2). Цей оператор називається зворотним оператором до оператора L і означається через L-1, так що

і = L-1F. (4)

Оператор L-1, очевидно, є лінійним і відображає Rlна ML. Безпосередньо з визначення оператора L-1, а також з співвідношень (2) і (4) витікає:

LL-1F= F, FЄ Rl; L-1Lu = u, і Є ML,

тобто LL-1=I, L-1L = I.

Еслі лінійний оператор L має зворотний L-1, то системи функцій {φk} і {Lφk} одночасно лінійно незалежні. (При цьому, природно, передбачається, що все φkпринадлежат ML.)

Розглянемо лінійне однорідне рівняння

Lu = λu, (5)

де λ - комплексний параметр. Це рівняння має нульове рішення при всіх λ. Може трапитися, що при деяких λ воно має ненульові рішення з ML. Ті комплексні значення λ, при яких рівняння (5) має ненульові рішення з ML, називаються власними значеннями оператора L, а відповідні рішення - власними елементами (функціями), відповідними цьому власному значенню. Повне число r, 1 ≤ r ≤ ∞, лінійно незалежних власних елементів, відповідних даному власному значенню λ, називається кратністю цього власного значення; якщо кратність r = 1, то λ називається простим власним значенням.

Якщо кратність r власного значення λ оператора L кінцева і u1,...,и2- відповідні лінійно незалежні власні елементи, то будь-яка їх лінійна комбінація

u0= c1u1+ c2u2+. .. + crur

також є власним елементом, відповідним цьому власному значенню, і приведена формула дає загальне рішення рівняння (5). Звідси витікає: якщо рішення рівняння

Lu = λ u + f (6)

існує, то його загальне рішення представляється формулою

і = і* +∑сkиk, (7)

де і* - приватне рішення (6) і сk, k = l, 2,...,r, - довільні постійні.

Эрмитовы оператори

Лінійний оператор L, що переводить MLСL2(G) в L2(G), називається эрмитовым, якщо його область визначення MLплотна в L2(G) і для будь-яких f і g з Mlсправедливо рівність

(Lf, g) = (f, Lg).

Вираження (Lf, g) і (Lf, f) називаються відповідно билинейной і квадратичної формами, породженими оператором

Лінійний оператор L, що переводить MlС L2(G) в L2(G), називається позитивним, якщо Mlплотна в L2(G) і

(Lf, f) ≥ 0, f Є Ml.

Зокрема, всякий позитивний оператор эрмитов.

Теорема. Якщо оператор L эрмитов (позитивний), то всі його власні значення речовинні (ненегативні), а власні функції, відповідні різним власним значенням, ортогональны.

Доказ. Нехай λ0- власне значення, u0- відповідна нормована власна функція эрмитова оператора L, L u0= λ0u0. Множачи скалярно цю рівність на u0, отримаємо

(Lu0, u0) = (λ0u0, u0) = λ0(u0, u0) λ0¦¦ u0¦¦2= λ0. (8)

Але для эрмитова (позитивного) оператора квадратична форма (Lf, f) приймає тільки речовинні (ненегативні) значення, і, отже, в силу (7) λ0- дійсне (ненегативне) число.

Доведемо, що будь-які власні функції и1и и2, відповідні різним власним значенням λ1и λ2, ортогональны. Дійсно, з співвідношень

Lu1= λ1и1, Lu2= λ2и2,

з вещественности λ1и λ2и з эрмитовости оператора L отримуємо ланцюжок рівності

λ1(и1, и2) = (λ и1, и2) = (Lи1, и2) = (и1, Lu2) = (и1,λ2и2) = =λ2(и1, и2),

тобто λ1(и1, и2) = λ2(и1, и2). Звідси, оскільки λ1≠ λ2, витікає, що скалярний твір (и1, и2) дорівнює нулю. Теорема доведена.

Передбачимо, що безліч власних значень эрмитова оператора L не більш ніж рахунково, а кожне власне значення кінцевої кратності. Перенумеруємо всі його власні значення: λ1,λ2,..., повтори λkстолько разів, яка його кратність. Відповідні власні функції визначимо через и1, и2,... так, щоб кожному власному значенню відповідала тільки одна власна функція иk:

Luk= λk, иk, k = 1,2,...

Власні функції, відповідні одному і тому ж власному значенню, можна вибрати ортонормальными, використовуючи процес ортогонализации Шмідта. Всяка ортонормальная система {φk} складається з лінійно незалежних функцій. Всяка система ψ1,ψ2,... лінійно незалежних функцій з L2(G) перетворюється в ортонормальную систему φ1,φ2, - наступним процесом ортогонализации Шмідта:

φ1= ψ1/¦¦ψ2¦¦, φ2= ψ2- (ψ2,φ1) φ1/ ¦¦ ψ2- (ψ2,φ1) φ1¦¦

φk= ψk- (ψ)(k,φ)(k-1)φk-1- ... - (ψk,φ1)φ1/ ¦¦ ψk- (ψ)(k,φ)(k-1)φk-1- ... - - (ψk,φ1)φ1¦¦

При цьому знову виходять власні функції, відповідні тому ж самому власному значенню. По доведеній теоремі власні функції, відповідні різним власним значенням, ортогональны.

Таким чином, якщо система власних функцій {ик} эрмитова оператора L не більш ніж счетна, то її можна вибрати ортонормальной:

(Luk, ui) = λk(иk, ui) = λkδki

Список літератури

1. Владимиров B.C., Жарінов В. В. Уравненія математичної фізики: Підручник для вузів. - М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравненія математичної фізики. - Ізд. 5-е. - М.: Наука, 1985.

3. Нікольський СМ. Математичний анализ.-Ізд. 5-е. - М.: Физмат-лит, 2000.
Природоохоронна діяльність на територіях природно-заповідного фонду України
Міністерство освіти і науки України Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г. Шевченка Хіміко-біологічний факультет Кафедра ботаніки, зоології та охорони природи КУРСОВА РОБОТА Природоохоронна діяльність на територіях природно-заповідного фонду України Виконав: студент

Природозащитные заходу, сучасна біотехнологія охорони навколишнього природного середовища
РЕФЕРАТ На тему: «Природозащитные заходу, сучасна біотехнологія охорони навколишнього природного середовища» 1. Сучасна біотехнологія охорони навколишнього середовища Захист навколишнього середовища - це комплексна проблема, яка може бути вирішена тільки спільними зусиллями фахівців різних

Природні системи
Реферат по концепції природознавства на тему «Природні системи». МСХА ним Тімірязева 2002р. Зміст 1. Вступ. 2. Типи систем. Характеристики. 3. Принципи самоорганизации систем. 4. Особливості відкритих диссипативных систем. 5. Самоорганизация у відкритих системах. 6. Порядок і безладдя в природі.

Природні ресурси та їх класифікація
Зміст 9. Природні ресурси та їх класифікація. 3 26. Сировинні ресурси, економічний і комплексне їх використання. 4 Невідновних ресурси .. 4 Відновлювані ресурси .. 4 41. Раціональне використання і охорона водних ресурсів у сільському господарстві 4 53. Правовий аспект охорони надр. 4 63. Охорона

Призма і паралелепіпед
Призма і паралелепіпед Зміст Поняття призми і види призм Поняття паралелепіпеда Властивості паралелепіпеда Додаткові співвідношення між елементами призми Завдання Тести Глосарій Література Поняття призми і види призм Розглянемо два рівних многоугольнікаі, розташованих в паралельних плоскостяхітак,

Основні середи біосфери
1. Основні середи біосфери: атмосфера, гідросфера, литосфера (грунт) Біосфера - система з прямими і зворотними (негативними і позитивними) зв'язками, які, зрештою, забезпечують механізми її функціонування і стійкості. Біосфера - централізована система. Центральною ланкою її виступають живі

Переслідування на площині
Навчально-дослідна робота «Переслідування на площині» Введення Полягає завдання в дуже простої речі. Є переслідувачі, один або група, і є хтось, хто намагається від них втекти. А нам важливо зрозуміти - це дуже просто тікати і наздоганяти або це можна робити безліччю способів відрізняються

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати