Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Рівняння і нерівності з модулем - Математика

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Установа освіти

«Гомельський державний університет

імені Франциска Скорини »

Математичний факультет

Кафедра алгебри і геометрії

Допущена до захисту

Зав. кафедрою Шеметков Л.А.

«» 2008

Курсова робота

Рівняння і нерівності з модулем

Виконавець:

студент групи М-51 С.М. Горський

Науковий керівник:

к.ф.- м.н., старший викладач В.Г. Сафонов

Гомель 2008

Зміст

Введення

Абсолютна величина і її властивості

Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Інші способи вирішення рівнянь і нерівностей з модулем

Метод розкриття модулів

Використання тотожності, при рішенні рівнянь

Рішення рівнянь містять модулі невід'ємних виразів

Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації

Рішення рівнянь із використанням тотожності

Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь

Рішення рівнянь переходом до наслідку

Рішення рівнянь методом інтервалів

Рішення рівнянь домноженіем на позитивний множник

Типові тестові завдання, містять змінну під знаком модуля

Висновок

Список використаних джерел

Введення

Поняття абсолютної величини (модуля) є однією з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, так і в області комплексних чисел.

Це поняття широко застосовується не тільки в різних розділах шкільного курсу математики, але і в курсах вищої математики, фізики і технічних наук, досліджуваних у вузах. Наприклад, в теорії наближених обчислень використовуються поняття абсолютної і відносної похибок наближеного числа. У механіці і геометрії вивчаються поняття вектора і його довжини (модуля вектора). В математичному аналізі поняття абсолютної величини числа міститься у визначеннях таких основних понять, як межа, обмежена функція та ін. Завдання, пов'язані з абсолютними величинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах до вузів, на ЦТ і на ЄДІ.

Програмою шкільного курсу математики не передбачені узагальнення і систематизація знань про модулі, їх властивості, отриманих учнями за весь період навчання. Ця прогалина і намагається заповнити справжній диплом.

Дипломна робота складається з 5 розділів.

У першому розділі наведені рівносильні визначення модуля, його геометрична інтерпретація, властивості абсолютної величини. На прикладі показано, як використовуючи модуль, будь-яку систему рівнянь і нерівностей з однією і теж областю визначення можна представити у вигляді одного равносильного порівняння. Так само показано на прикладі, як лінійний сплайн, предствавіть у вигляді одного рівняння з модулями. Наведені приклади завдань, в яких використовуються або властивості модуля, або рівняння і нерівності, що містять знак абсолютної величини, виникають в процесі вирішення.

У другому розділі представлені методи вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей з модулями, рішення яких не потребує використання трудомісткого процесу розкриття модулів.

У третьому розділі представлено графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем в деяких випадках набагато більш просте, ніж аналітичне. У цьому розділі розглянуто побудову графіків функцій, і. Багато уваги приділено побудові графіків функцій, що становлять суму лінійних виражень під знаком абсолютної величини. Так само наведені приклади побудови графіків функцій з '' вкладеними '' модулями. Наведено теореми про екстремуму функцій, що містять суму лінійних виражень під знаками абсолютних величин, що дозволяють ефективно вирішувати завдання як на знаходження екстремумів подібних функції, так і вирішувати завдання з параметрами.

У четвертому розділі представлені додаткові методи рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. В першу чергу описаний трудомісткий і не завжди раціональний, а в деяких випадках і непридатний метод розкриття модулів, іноді званий метод інтервалів, за допомогою якого можна вирішити будь-яке рівняння і неревенство з модулем. Описано метод використання тотожності; розглянуті метод геометричної інтерпретації, використання тотожності, застосування теореми про знаки, метод переходу до слідства, метод інтервалів, метод домноженія на позитивний множник.

У п'ятому розділі наведені приклади рішення типових тестових завдань пов'язаних з поняттям абсолютна величина. Наведено рішення як '' стандартних '' завдань, у вирішенні яких необхідно отримати яку-небудь комбінацію рішень, так і завдань з параметрами. Для деяких завдань наведено кілька способів рішення, іноді зазначені типові помилки виникають у процесі вирішення. Для всіх завдань наведено найбільш ефективне, по швидкості, рішення.

Абсолютна величина і її властивості

Модуль. Властивості модуля

Визначення. Модуль чіслаілі абсолютна величина чісларавна, еслібольше або дорівнює нулю і дорівнює, есліменьше нуля:

З визначення випливає, що для будь-якого дійсного числа ,.

Теорема Абсолютна величина дійсного чісларавна більшому із двох чисел.

1. Якщо чіслоположітельно, тоотріцательно, т. Е .. Звідси випливає, що.

У цьому випадку, т. Е.совпадает з великим з двох чисел.

2. Есліотріцательно, тогдаположітельно і, т. Е. Великим числом є. За визначенням, в цьому випадку, --- знову, так само більшому із двох чисел.

Слідство З теореми випливає, що.

Справді, як, так іравни більше з чисел, а значить, рівні між собою.

Слідство Для будь-якого дійсного чісласправедліви нерівності ,.

Множачи другий равенствона (при цьому знак нерівності зміниться на протилежний), ми отримаємо наступні нерівності:, справедливі для будь-якого дійсного числа. Об'єднуючи останні два нерівності в одне, одержуємо :.

Теорема Абсолютна величина будь-якого дійсного чісларавна арифметичному квадратному кореню з :.

Справді, якщо, то, за визначенням модуля числа, будемо мати. З іншого боку, при ,, значить.

Якщо, тогдаіі в цьому випадку.

Ця теорема дає можливість при вирішенні деяких завдань заменятьна.

Геометріческіозначает відстань на координатній прямій від точки, яка зображує число, до початку відліку.

Якщо, то на координатній прямій існує дві точки, рівновіддаленою від нуля, модулі яких рівні.

Якщо, то на координатній прямойізображается точкою.

Властивості модуля

З цієї властивості випливає, що ;.

Рівносильні переходи між рівняннями з модулями

Тема '' Абсолютна величина '' (або '' Модуль числа '') є найбільш експлуатованої в практиці вступних іспитів. Ймовірно, це пояснюється відчуттям простоти поняття абсолютної величини числа й тією обставиною, що, використовуючи модуль, будь-яку систему і сукупність рівнянь і нерівностей з однією і тією ж областю визначення можна представити у вигляді одного равносильного порівняння.

Подивимося, на прикладі, як система однієї нерівності і сукупність двох нерівностей перетвориться до одного рівносильне рівняння.

В основі зазначених перетворень лежать наступні легко доказувані твердження:

Варіант приведення одного відношення до рівносильному йому відношенню іншого типу

<

Лінійні сплайни

Нехай задані --- точки зміни формул. Функція, визначена при всіх, називається кусочно-лінійної, якщо вона лінійна на кожному інтервалі ,,, ... ,, т. Е.

де позначено ,.

Якщо до того ж виконані умови узгодження

то розглянута кусочно-лінійна функція неперервна. Безперервна кусочно-лінійна функція називається також лінійним сплайном.

Подібний графік зображений на малюнку (??):

pics / ex1.eps

Функцію з графіком, показаним на цьому малюнку, можна задати й однієї й трьома формулами:

Однак неважко помітити, що цю ж функцію можна задати і однією формулою, використовуючи модулі :. Виявляється, що і будь-яку безперервну кусочно-лінійну функцію виду (1) можна задати деякою формулою виду

(??)

де числа ,,, ..., легко знайти за графіком даної функції.

Зауважимо, що дві ламані з нескінченними крайніми ланками й однаковими абсциссами вершин ,, ..., збігаються, якщо у них рівні кутові коефіцієнти всіх '' однойменних '' ланок і є загальна крапка. Іншими словами, знання кутових коефіцієнтів всіх ланок і координат однієї точки такий ламаної на основі зазначеної інформації, при якому дана точкаберется за вихідну, див. Малюнок (??).

pics / ex2.eps

Зазначений факт ми й покладемо в основу одержання формули для безперервної кусочно-лінійної функції, заданої своїм графіком. Нагадаємо, чторавняется, якщо, і, якщо. Тому на кожному з проміжків ,, ... ,, на які числова пряма розбивається крапками, функція, обумовлена формулою ((??)), буде лінійна (як сума лінійних функцій), і для знаходження кутового коефіцієнта відповідної ланки ламаної досить знайти коефіцієнт пріпосле розкриття всіх модулів у вираженні ((??)) на відповідних цим ланкам проміжках, знаходимо:

(??)

Віднімаючи з другого рівності перший, получаемвичітая з третього другий, приходило т. Д. Ми приходимо в підсумку до співвідношень

Складаючи перше рівність з останнім, получаемоткуда

(??)

Назад, неважко перевірити, що з рівностей (3) і ((??)) випливають співвідношення ((??)).

Отже, якщо коеффіціентиопределяются формулами (3) і ((??)), то кутові коефіцієнти всіх ланок графіка функції ((??)) збігаються з відповідними кутовими коефіцієнтами заданого графіка і, значить, залишається забезпечити всього одну загальну точку цих ламаних для їхнього збіги.

Цього завжди можна добитися вибором відповідного значення залишився поки не певним коефіцієнта. З цією метою досить підставити у формулу ((??)), коефіцієнти якої вже обчислені зі співвідношень (3) і ((??)), координати якої-небудь однієї точки даної ламаної і найтііз отриманого рівності.

Приклад Знайдемо рівняння ламаної, зображеної на малюнку (??) (трикутний імпульс).

pics / ex3.eps

Рішення. Кутові коефіцієнти ланок такі: ,,,. Тому.

Значить, рівняння даної ламаної має вигляд

Знайдемо значення коеффіціентаіз умови, підставляючи координати вершини (0; 1) нашої ламаної в рівняння, одержимо, звідки знаходимо ,, і рівняння остаточно запишемо у вигляді

Приклади розв'язання задач, що використовують властивості модуля

Приклад У деякому лісі відстань між будь-якими двома деревами не перевершує різниці їхніх висот. Усі дерева мають висоту менше 100 м. Доведіть, що цей ліс можна огородити забором довжиною 200 м.

Рішення. Нехай дерева висотойрастут в точках. Тоді за умовою. Отже, довжина ломанойне превосходітм. Цю ламану можна огородити забором, довжина якого не перевищує 200 м (див. Рис. (??)).

Приклад На отрезкечісловой осі розташовані чотири точки: ,,,. Доведіть, що найдётcя точка, що належить, така, що.

Рішення. Точки ,,, ділять отрезокне більш ніж на п'ять частин; хоча б одна з цих частин є інтервалом довжини не менше. Візьмемо зацентр цього інтервалу. Відстань отдо кінців цього інтервалу не менш, а до інших точок з числа ,,, --- більше. Тому два із чисел ,,, не менш, а інші два строго більше. Так що всі зворотні величини не більше ніж 10, а дві з них строго менше 10. Тоді сума зворотних величин менше 40, що й потрібно.

Приклад Два тіла починають одночасно рухатися рівномірно по прямими, пересічними під прямим кутом. Перше тіло рухається зі швидкістю 3 км / год по прямойот точкік точці, що знаходиться на відстані 2 км від точки. Друге тіло рухається зі швидкістю 4 км / год по прямойот точкік точці, що знаходиться на відстані 3 км від точки. Знайти найменшу відстань (в км) між цими тілами під час руху.

Рішення. Черезчасов перше тіло буде знаходиться від точкіна расстояніікм, а друге --- на расстояніікм. За теоремою Піфагора відстань між тілами составіт.км.

Ответ.км.

Приклад Пунктиірасположени на прямолінійній магістралі в 9 км один від одного. З пунктав напрямку пунктавиходіт автомашина, що рухається рівномірно зі швидкістю 40 км / год. Одночасно з пунктав тому ж напрямку з постійним прискоренням 32 км / чвиходіт мотоцикл. Знайти найбільшу відстань між машиною і мотоциклом у плині перших двох годин руху.

Рішення. Відстань між автомобілем і мотоциклом черезчасов складе ..

Відповідь. 16 км.

Приклад З пунктав пунктвишел пішохід. Не пізніше як через 40 хв слідом за ним вийшов другий. Відомо, що в пунктодін з них прийшов раніше іншого не менш, ніж на 1 годину. Якби пішоходи вийшли одночасно, то вони б прийшли в пунктс інтервалом не більше ніж в 20 хв. Визначити, скільки часу потрібно кожному пішоходу на шлях отдо, якщо швидкість одного з них в 1,5 рази більше швидкості іншого.

Рішення. Нехай (хв) --- час, витрачений відповідно першим і другим пішоходом на шлях изв, і нехай другий пішохід вийшов пізніше першого намінут. Розглянь 2 можливості 1) і 2). У случаеімеем равенствоі систему

З першого і третього нерівності одержимо, враховуючи друга умова отримаємо, що, і це в свою чергу дає равенстваі. Т.а. ,,.

У случаеімеемі сиcтему

Але так як, то система не сумісна, і, отже, випадок 2 не може мати місця.

Відповідь. ,,.

Приклад За розкладом автобус повинен проходити шлях, що складається з відрізків ,, довжиною 5, 1, 4 км відповідно, за 1 годину. При цьому виїжджаючи з пунктав 10 год, він проходить пунктв 10 год 10 хв, пунктв 10год 34 хв. З якою скоростьюдолжен їхати автобус, щоб час за яке автобус проходить половину шляху отдо (зі швидкістю), складене із сумою абсолютних велічінотклоненія від розкладу при проходженні пунктовой, перевищувало абсолютну величину відхилення від розкладу при проходженні пунктане більш, ніж на 28 хв.

Рішення. Умова задачі приводить до системи

яка має єдине рішення.

Відповідь. 30 км / год.

Приклад Згідно з розкладом катер проходить по річці, швидкість течії якої 5 км / год, шлях ізвдліной 15 км за 1 годину. При цьому виходячи з пунктав 12год, він прибуває в пунктиі, віддалені отна відстань 11 км і 13 км відповідно, в 12 год 20 хв і в 12 год 40 хв. Відомо, що якби катер рухався ізвбез зупинок з постійною швидкістю (щодо води), то сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти ,, не перевищувало б зменшеного на півгодини часу, необхідного катеру для проходження 5 км зі скоростьюв стоячій воді. Який з пунктів перебуває вище за течією: або?

Рішення. Розглянемо 2 випадки 1) пунктнаходітся вище за течією 2) пунктнаходітся нижче за течією.

У першому випадку отримуємо систему

яка не має рішення. Тоді виконується другий випадок.

Відповідь ..

Приклад Дано три квадратних трехчлена:, і. Доведіть, що уравненіеімеет не більше восьми коренів.

Рішення. Кожен корінь даного рівняння є коренем одного із квадратних тричленів ,, з деяким набором знаків. Таких наборів 8, і всі вони дають дійсно квадратного тричлена, так як коефіцієнт пріімеет вигляд, тобто відмінний від нуля. Однак двом протилежним наборам знаків відповідають квадратні рівняння, що мають одні й ті ж коріння. Значить, всі рішення уравненіясодержатся серед коріння чотирьох квадратних рівнянь. Отже, їх не більше восьми.

Приклад Шабат Г.Б. Нескінченна послідовність чіселопределяется умовами :, причому. Доведіть, що послідовність, починаючи з деякого місця, періодична в тому випадку, есліраціонально.

Рішення. Якщо, то. Дійсно ,. Есліраціональное, тораціональное, причому зі знаменником не більшим ніж у. Дійсно, нехай --- нескоротний дріб. Тоді

Якщо ця дріб нескоротного, то її знаменник такий же, як і у, якщо вона скоротні, то після скорочення знаменник зменшиться.

Отже, всі члени послідовності --- раціональні числа, укладені між 0 і 1, т. Е. Правильні дроби. Але правильних дробів зі знаменниками, не більшими заданої величини, --- кінцеве число. Тому якісь члени послідовності повторяться, і з цього моменту послідовність буде періодіческой.Простейшіе рівняння і нерівності з модулем

До простих (не обов'язково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів: (??) (??) (??) (??)

Приклади розв'язання найпростіших рівнянь.

Приклад Вирішимо рівняння.

Рішення.

Відповідь ..

Приклад Вирішимо рівняння.

Рішення.

Відповідь ..

Приклад Вирішимо рівняння.

Рішення.

Відповідь ..

Зупинимося докладніше на рівняннях, в яких зустрічається сума модулів [??] (формули (??) - (??)).

Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі подмодульнх величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Так як, то ми маємо рівність виду, де ,. Тому вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь ..

Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. '' Заганяємо '' коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля і '' ізолюємо '' суму модулів:

За константам отримуємо. Дійсно ,, тобто рівняння має вигляд. Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:

то є.

Відповідь ..

До простих (не обов'язково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

(??)

(??)

Приклади розв'язання найпростіших нерівностей.

Приклад Вирішимо нерівність.

Рішення.

.

Відповідь ..

Приклад Вирішимо нерівність.

Рішення.

Відповідь ..

Як не дивно, нодостаточно, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення.

Відповідь ..

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд. Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виразів, маємо

Відповідь ..

Приклад При яких значеннях параметранеравенство

виконується при всіх значеннях?

Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:

Виконання для всехісходного нерівності рівносильне виконанню длявсех нерівностей останньої системи. А це рівнозначно тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричлен непозитивні:

Відповідь ..

Приклад Знайти всі значення параметра, при кожному з яких число цілочисельних рішень нерівності

максимально.

Рішення. Так както вихідне рівняння рівносильне системі:

Оскільки обидва нерівності в системі лінійні відносно. Вирішимо систему відносно:

(??)

Умови існування параметраравносільно вимогу

(??)

Нерівність (??) оголошує всі значення, які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисельними рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа з проміжку, тобто

(??)

Природно, що для будь-якого цілого числа з набору (??) треба з'ясувати, при яких значеннях параметраето число буде рішенням вихідної нерівності.

Оскільки вихідна нерівність рівносильно (??), то по черзі підставляючи числа з набору (??) в нерівності (??), ми відразу і знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо

Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисельних рішень, скористаємося '' розгорненням '', отриманої інформації уздовж від параметра (див. Рис. (??)):

Очевидно, що максимальна кількість цілочисельних рішень дорівнює трьом, і це досягається, Когдаему.

Відповідь ..

Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння містять параметри).

Побудова графіків виду, і

Відзначимо правило побудови графіка функції.

1) Будуємо спочатку графік функції.

2) Там, де графік функціілежіт вище осіілі на ній, залишаємо його без зміни; точки графіка, які лежать нижче осі, заміняємо симетричними їм щодо осіточкамі.

Для прикладу, на малюнку (??) зображений графік функції.

Для побудови графіка функцііcтроім графік функціідляі відображаємо симетрично щодо осі.

Для прикладу, на малюнку (??) зображений графік функції.

Для побудови графіка функціістроім графік функціідляі симетрично відображаємо щодо осі.

Для прикладу, на малюнку (??) зображений графік функції.

Приклад Побудувати графік функції.

Рішення. Скористаємося правилами перетворення графіків.

1. Графік функції --- бісектриса першого і третього координатних кутів.

2. Графік функцііполучается з графіка функцііотображеніем його частини, розташованої нижче осі абсцис (при) симетрично щодо осі абсцис.

3. Графік функцііполучается з попереднього зсувом вліво по осі абсцис на дві одиниці.

4. Отриманий графік зрушуємо по осі ординат на 3 одиниці вниз. Отримуємо графік функції.

5. Частина його, розташовану нижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, отримуємо графік даної функції (див. Рис (??)).

Досліджувана функція допускає іншу форму запису

Приклад Залежно від параметра, знайти кількість рішень рівняння

Рішення. Побудуємо графік функції (див. Рис. (??)).

В залежності від положення прямої, одержуємо наступне: прінет коренів, при --- нескінченно багато коренів, при --- чотири корені, при --- три корені, при --- два корені.

Приклад Доведіть, що на графіку функцііможно відзначити таку точку, а на графіку функції --- таку точку, що расстояніене перевищує.

Рішення. Покладемо. Точкас координатами, де, очевидно, лежить на графіку функції.

Розглянемо позитивне число. Тоді, отже, точкас коордінатамілежіт на графіку функції.

Відстань між точкамііравно. Але з равенстваследует, що ,,.

Приклад На координатній площині зобразите всі крапки, координати яких є рішеннями рівняння :.

Решеніе.ілі.

Відповідь. див. малюнок (??)

Приклад Дана функція. Скільки рішень має рівняння?

Рішення. Нехай --- рішення рівняння, а. Тоді й, а тому крапка з коордінатамілежіт на кожному з графікових. Навпаки, якщо точкалежіт на перетині цих графіків, тои, звідки. Тим самим показано, що число рішень уравненіясовпадает з числом точок перетину графікових, а їх 16 (див. Рис. (??)).

Відповідь. 16.

Графіки функцій, що містять лінійні вираження під знаком абсолютної величини

Сформулюємо твердження, що дозволяє будувати графік алгебраїчної суми модулів, не розкриваючи модулі (це особливо зручно, коли модулів багато).

Теорема Алгебраїчна сума модулейлінейних виразів являє собою кусково-лінійну, графік якої складається ізпрямолінейного ділянки. Тому графік може бути побудований поточків, з яких представляють собою коріння Внутрімодульное виразів, ще одна --- довільна точка, з абсцисою менше найменшого із цих коренів, і остання --- з абсцисою, більшої найбільшого з цих коренів.

Зауваження. Аналогічно можна будувати графіки виду.

Приклади побудови графіків

1 .. Обчислюємо значення функції в точках 1, 0 і 2, отримуємо графік, що складається з двох променів (див. Рис. (??)).

2 .. Обчислюючи значення функції в точках з абсцисами 1, 2, 0 і 3, одержуємо графік, що складається з відрізка й двох променів (див. Рис. (??)).

3 .. Для побудови графіка '' по відрізках '' обчислимо значення функції в точках 1, 2, 3, 0, 4 (див. Рис. (??)).

4 .. Графік різниці модулів будуватися аналогічно (див. Рис. (??)).

Аналізуючи вид графіків 1, 2 і 3, можна припустити, а потім і довести, що сума модулів лінійних виражень відадостігает свого найменшого значення або у єдиній точці, якщо число модулів парно, або у всіх точках деякого відрізка, якщо число модулів парно. Графік суми непарного числа модулів лінійних виражень має форму клина, а графік суми парного числа модулів має ділянка паралельний осі абсцис. Більш точно:

Теорема Нехай коріння підмодульних виразів впорядковані за зростанням. Тоді якщо число слагаемихнечётно і, то найменше значення функціідостігается в точці, а якщо число слагаемихчётно і, то найменше значення функції досягається у всіх точках відрізка.

Використовуємо твердження для рішення задачі, що пропонувалася на одній з олімпіад Санкт-Петербурзького державного університету.

Приклад Залежно від значення параметра, знайти кількість коренів рівняння

Рішення. Вирішимо завдання графічно. Нехай, визначимо кількість точок перетину графіка функциии прямойв залежно від. Виходячи з сформульованого вище твердження, графік функціібудет мати ділянку, паралельний осі абсцис. Зауважимо, що абсциси точок цієї ділянки становлять відрізок, і у всіх його точках функція досягає найменшого значення, рівного, наприклад ,, причому

Оскільки зазначена сума являє собою подвоєну арифметичну прогресію з першим членом 1, останнім членом 999, складену із числом 1000, то вона дорівнює

Тоді пріуравненіе не матиме рішень, прііх буде нескінченно багато, а пріуравненіе матиме два решенія.Іние способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем Метод розкриття модулів

Метод розкриття модулів розглянемо на прикладі:

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Це рівняння містить більше одного модуля.

Метод рішення рівнянь, що містять змінні під знаком двох і більше модулів, полягає в наступному.

1. Знайти значення змінної, при яких кожен з модулів звертається в нуль:,;,;,.

2. Відзначити ці крапки на числовій прямій.

3. Розглядаємо рівняння на кожному із проміжків і встановлюємо знак виражень, які знаходяться під модулями.

1) Пріілі. Щоб визначити знак кожного з виражень під модулем на цьому проміжку, досить взяти будь значеніеіз цього проміжку і підставити у вираз. Якщо отримане значення негативно, значить, при всехіз цього проміжку вираження буде негативним; якщо отримане числове значення позитивно, значить, при всіх значеніяхіз цього проміжку вираження буде позитивним.

Візьмемо значеніеіз промежуткаі підставимо його значення у вираз, одержуємо, значить на цьому промежуткеотріцательно, а отже '' вийде '' з під модуля зі знаком '' мінус '', отримаємо :.

При цьому значенні, вираженіеполучіт значення, значить, воно на промежуткетакже приймає негативні значення і '' вийде '' з модуля зі знаком '' мінус '', отримаємо :.

Вираженіеполучіт значень '' вийде '' з під модуля зі знаком '' мінус '' :.

Рівняння на цьому проміжку вийде таким :, вирішуючи його, знаходимо :.

З'ясовуємо, чи входить це значення в проміжок. Виявляється входить, значітявляется коренем рівняння.

2) При. Вибираємо будь значеніеіз цього проміжку. Нехай. Визначаємо знак кожного з виражень під модулем при цьому значенні. Виявляється, що вираженіеположітельно, а два інших негативні.

Рівняння на цьому проміжку прийме вид :. Вирішуючи його, знаходимо. Це значення не входить в проміжок, а значить, не є коренем рівняння.

3) При. Вибираємо довільне значеніеіз цього проміжку, скажімо, і підставляємо в кожне з виразів. Знаходимо, що вираженіяіположітельни, а --- негативно. Отримаємо наступне рівняння :.

Після перетворення, отримаємо :, а значить, рівняння не має коренів на цьому проміжку.

4) При. Неважко встановити, що всі вирази на цьому проміжку позитивні, а значить одержимо рівняння: ,, яке входить в проміжок і є коренем рівняння.

Відповідь.,.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь.,. Використання тотожності, при рішенні рівнянь

З сформульованого властивості модуля можна вивести два корисних наслідки:

Проілюструємо застосування першого з них для вирішення завдання вступного іспиту в Санкт-Петербурзький державний університет.

Приклад Зобразити графік функції

Рішення. Перепишемо задающую функцію вираження, використовуючи перший наслідок:

.

Залишилося тільки побудувати графіки функцій, в одній системі координат і визначити ділянки, на яких один з них вище іншого (див. Рис. (??)).

Використання другого тотожності зручно для побудови графіка функції.

Рішення. В силу другого тотожності, вираз задає функцію, записується у вигляді :.

Шуканий графік зображений на малюнку (див. Рис. (??)).

Приклад Знайдіть Масимально значення виразу

де ,, ..., --- різні натуральні числа від 1 до 1990.

Рішення. Зауважимо, що модуль різниці двох невід'ємних чисел не більше їх максимуму. Поетомуне більше, ніж, чи не більше, ніж, максимум, ніж. Далі, даний вираз не може рівнятися 1990, оскільки парність цього виразу збігається з парністю суми. Нарешті наведемо приклад, який показує, що значення виразу може дорівнювати 1989:

Відповідь. 1989.Решеніе рівнянь містять модулі невід'ємних виразів

Приклад Чому дорівнює сума коренів рівняння (корінь, якщо він один) рівняння

Рішення. Розглянемо вираз

і перетворимо його до виду

Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (т.к.). Перетворимо отриманий вираз, за умови. Отримаємо рівняння, рівносильне вихідному:

Відповідь ..

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Оскільки ліва частина рівняння неотрицательна, при всіх допустимих значеннях змінної, на безлічі коренів рівняння права його частина теж повинна бути неотрицательной, звідси умову, на цьому проміжку знаменники обох дробів рівні, і залишається вирішити рівняння. Вирішуючи його і враховуючи обмеження, отримуємо

Відповідь ..

Приклад Вирішити рівняння:

Рішення. Неважко здогадатися, що всі вирази, які стоять під знаками другого, третього і т.д. модулів, позитивні. І оскільки модуль позитивного вираження дорівнює самому цьому вираженню, одержимо

Ответ..Решеніе рівнянь з використанням геометричної інтерпретації

Геометричний зміст виразу --- довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсціссаміі. Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладок.

Приклад Вирішимо рівняння.

Рішення. Будемо міркувати таким чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки з абсціссойдо двох фіксованих точок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі точки з абсциссами з отрезкаобладают потрібним властивістю, а точки, розташовані поза цього відрізка, --- немає.

Відповідь ..

Приклад Вирішимо рівняння.

Рішення. Міркуючи аналогічно, одержимо, що різниця відстаней до точок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатної осі правіше числа 2.

Відповідь ..

Приклад Вирішити нерівність.

Рішення. Зобразимо на координатної прямий точки, сума відстаней від яких до точок точності дорівнює. Це всі крапки відрізка. Для всіх чисел поза даного відрізка сума відстаней буде більше двох.

Відповідь ..

Зауваження. Узагальненням рішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:

Приклад Вирішіть нерівність :.

Рішення. Вирішимо нерівність, використовуючи координатну пряму. Дане нерівність виконується для всіх точок c координатою, які знаходяться ближче до точки з координатою, ніж до точки з координатою. Так як, то шуканими є всі точки, розташовані лівіше точки з координатою.

Відповідь ..

Приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Розглянемо на числовій прямій крапку з координатою. Суммаравна сумі відстаней від точкідо точок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Зауважимо, що сума відстаней від будь-якої точки до точекіне менше довжини відрізка (і рівність досягається тоді і тільки тоді, коли точка розташована на відрізку). Звідси отримуємо, щоне менше 4, ане менше 2 при будь-якому. Тому для того, щоб суммабила дорівнює, необхідно, щоб. Отже, необхідно дорівнює. Легко перевірити, що значеніедействітельно є рішенням даного рівняння.

Відповідь ..

Приклад Гальперін Г.А. Позитивні числа ,, ітакови, що система рівнянь

імеетрешеній, а система рівнянь

імеетрешеній. Відомо, що. Найдітеі.

Рішення. Перше рівняння є рівняння кола, другий задовольняють точки квадрата з центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система з двох перших рівнянь залежно отілібо не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже, може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють точки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, лежачими на осях координат на рівних відстанях від центру. Ця система залежно отілібо не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по колах або декільком дугам кіл). Отже, може рівнятися або 0, або 6, або 8, або. Условіюудовлетворяет тільки варіант ,.

Відповідь.,.

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову --- зручний і потужний метод вирішення завдань. В якості ще одного прикладу розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету СПбГУ:

Приклад Дана функція :.

а) Розв'яжіть рівняння;

б) Вирішіть нерівність;

в) Знайдіть кількість рішень уравненіяв залежно від значень параметра.

Рішення. Побудуємо графік функції. Для цього зауважимо, що, а тоді ми можемо спочатку побудувати графік функції, і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираз, що задає функцію:

Оскільки дана система визначає верхню півколо радіуса 2 з центром в точці (2; 0), графік вихідної функції являє собою об'єднання двох півкіл (див. Рис. (??)).

Тепер рішення задач не представляє праці:

а) Корінь рівняння є абсциса точки перетину прямойс графіком функції. Знайдемо її геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює), його гіпотенуза є радіус кола, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є, а шукана абсциса дорівнює.

б) Неравенствовиполнено при всехіз відрізка.

в) При, рішень немає, пріуравненіеімеет три рішення, при --- чотири рішення, при --- два решенія.Решеніе рівнянь з використанням тотожності

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Двічі застосовуючи тотожність, одержимо рівняння

рішенням якого є інтервал.

Відповідь ..

Приклад Вирішити рівняння

Рішення ..

Ответ..Прімененіе теореми про знаки при рішенні рівнянь

Сформулюємо теорему, зручну при рішенні нерівностей, щодо творів чи приватних різниці модулів:

Теорема Знак різниці модулів двох виразів збігається зі знаком різниці квадратів цих виразів.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. Скористаємося теоремою:

Використовуючи формулу різниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники і вирішимо отримане раціональне нерівність.

Ответ.Решеніе рівнянь переходом до наслідку

Всі рівняння з модулями можуть бути вирішені таким чином: розглянемо весь набір рівнянь, який може вийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо слідства вихідного рівняння. Залишається тільки перевірити не придбали ми сторонніх коренів прямий їх підстановкою у вихідне рівняння.

Приклад Вирішимо рівняння

Рішення. Послідовно переходячи до наслідків, одержуємо:

Неважко переконається, що знайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь. немає рішення.

У разі вкладених знаків модуля теж можна розглянути весь набір виходять при розкритті модуля рівнянь серед рішень яких містяться рішення вихідного рівняння, а потім відібрати з усіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.

Приклад Розв'яжіть рівняння

Рішення. Всі корені вихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь

які можна переписати у вигляді

Аналогічно, кожне з цих рівнянь розпадається на два:

що призводить до чотирьох рівнянь:

Звідси отримуємо 4 рішення: ,,, серед яких містяться корені вихідного рівняння. 1-й корінь, очевидно, задовольняє рівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, так як права частина вихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, тому що цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні його права частина негативна.

Відповідь. 3.Решеніе рівнянь методом інтервалів

Застосування методу інтервалів засновано на наступній

Теорема Функція, безперервна на проміжку і необращающіхся на ньому в нуль, зберігає на цьому проміжку свій знак.

Це означає, що нулі функції та межі проміжків її безперервності розділяють область визначення функції на ділянки, де вона зберігає постійний знак. Застосування методу пояснимо на прикладі.

Приклад Вирішимо нерівність

Нехай. Областю визначення даної функції є. Вирішуючи рівняння (див. (??)), Одержимо, що функціяне звертається в нуль ні при якому значенні змінної. Це означає, що на всій області визначення функція є знакопостоянного. Обчислюючи, наприклад ,, отримуємо, що функція приймає тільки позитивні значення.

Відповідь ..

Метод інтервалів дозволяє вирішувати більш складні рівняння й нерівності з модулями, але в цьому випадку він має дещо інше призначення. Суть полягає в Слуда. Знаходимо корені всіх підмодульних виразів і розбиваємо числову вісь на проміжки знакопостоянства цих виразів. Це дозволяє, послідовно перебираючи ці проміжки, одночасно позбуватися від всіх модулів і вирішувати звичайне рівняння або нерівність (перевіряючи при цьому, що знайдений відповідь входить в даний проміжок) .Рішення рівнянь домноженіем на позитивний множник

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. '' Пастка '' полягає в тому, що в задачі є кілька модулів, розкривати які - означає отримати, громіздке рішення. Помножимо дріб на деяке вираження, що приймає лише позитивні значення й таке, щоб спростити вихідна нерівність:

Ответ..Тіповие тестові завдання, містять змінну під знаком модуля

Приклад Знайти корені рівняння.

Рішення. Так як, то з рівняння випливає, що ,. Тоді вихідне рівняння прийме вигляд:,. Коріння цього рівняння ,. Корінь, тому він не є рішенням, а.

Відповідь ..

Приклад Знайти добуток коренів ураненія.

Рішення. Позначимо ,. Тоді вихідне рівняння прийме вигляд :. Коріння цього рівняння ,. Так як, то. Звідси ,. Твір коренів одно.

Відповідь ..

Приклад Знайти різницю між найбільшими і найменшим коренями рівняння.

Рішення. Позначимо ,. Тоді вихідне рівняння прийме вигляд :. Вирішимо його. Коріння цього рівняння ,. Так як, то значеніене підходить. Тому. Різниця між найбільшим і найменшим коренями рівняння дорівнює.

Відповідь ..

Приклад Знайти суму коренів рівняння.

Рішення. Використовуємо правило :. Вихідне рівняння запишемо у вигляді сукупності рівнянь: Таким чином сума коренів вихідного рівняння дорівнює.

Інший шлях. Оскільки обидві частини рівняння невід'ємні, зведемо рівняння в квадрат. Отримаємо:,. Так як дискримінант рівняння позитивний, то по теоремі Вієта сума коренів дорівнює

Відповідь ..

Приклад Скільки цілих коренів на отрезкеімеет рівняння

Рішення. Розглянемо квадратний тричлен. Так як, то, тому вихідне рівняння запишеться як

Останнє рівняння еквівалентно нерівності, рішення якого. Таким чином, рівняння має 6 корінь на відрізку: ,,,,,.

Відповідь. 6.

Приклад Яке найбільше кінцеве число коренів може мати рівняння

де ,, ... ,,,, ..., --- різні числа?

Рішення. Покласти перепишемо вихідне рівняння у вигляді.

Нехай --- всі числа з безлічі, впорядковані за зростанням. На кожному з 101 проміжку ,, ... ,,, функціялінейна. Зауважимо, що на першому і останньому з цих промежутковісоответственно, при цьому, так як кількість коренів звичайно.

Підемо по числовій осі зліва направо.

Спочатку кутовий коефіцієнт функцііравен 0. Всякий раз, коли ми проходимо одну з точок, він за рахунок зміни знака при розкритті відповідного модуля змінюється на.

Таким чином, він завжди дорівнює четному цілому числу і не може поміняти знак, не звернувшись перед цим в 0.

Значить, кутові коефіцієнти на будь-яких двох сусідніх проміжках або обоє невід'ємні, або обидва непозитивні, тобто функціяй об'єднанні цих проміжків або неубутна, або незростаюча.

Стало бути, якщо число її корінь звичайно, то на кожному з 50 проміжків, ... ,, вона має не більше одного кореня. Крім того, на крайніх інтервалах значення мають різні знаки, і в кожному корені знак функції змінюється. Отже, кількість коренів непарній і не перевищує 49.

Неважко перевірити, що якщо рольбудут грати числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль --- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98 ,, то уравненіебудет мати рівно 49 коренів.

Відповідь. 49.

Приклад Вирішіть систему нерівностей

Рішення. Припустимо, що дана система нерівностей має рішення ,,,. Тоді, зокрема ,, т. Е.

Аналогічно отримуємо

Перемножимо всі отримані нерівності. З одного боку, твір чотирьох позитивних чисел позитивно. З іншого боку, цей твір одно ---

Приходимо до протиріччя.

Відповідь. Система не має рішень.

Приклад Чи існують дійсні числа, Отже, що при всіх действітельнихівиполняется нерівність

Рішення. Припустимо, що такі числа, ісуществуют. Виберемітакіе, що ,,. Тоді різниця між лівою і правою частинами дорівнює. А якщо взятьітакіе, що ,,, то ця різниця буде дорівнює. Таким чином, з одного боку ,, з іншого. Протиріччя.

Відповідь. Ні.

Приклад Скільки різних цілочисельних рішень має нерівність?

Рішення. При натуральномуравненіеімеет ровноцелочісленних рішень, а прірешеніе єдино. Таким чином, кількість рішень вихідної нерівності одно.

Відповідь. 19801.

Приклад Знайдіть всі значення параметра, при кожному з яких рівняння має три різних корені; знайдіть ці корені :.

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат :.

Якщо, тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

.

Рівняння (1) буде мати один корінь, пріі. Два кореня, пріі.

Якщо, тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

.

Рівняння (2) буде мати один корінь пріі. Два кореня --- пріі.

Робимо висновок, що пріуравненіе (1) має один корінь, а рівняння (2) --- два корені. При, рівняння (1) має два корені, а рівняння (2) --- один.

Таким чином, прііданное рівняння має три корені.

Знайдемо ці корені. При, перше рівняння прийме вигляд :. Воно має один корінь:

Рівняння (2) прийме вигляд: яке має два корені:,.

При, рівняння (2) прийме вигляд :. Воно має один корінь :.

Рівняння (1) при цьому стане :, яке матиме коріння:,.

Відповідь. При ,,,.

При ,,,.

Приклад Для кожного значення параметраопределіте число рішень рівняння.

Рішення.

1. Якщо, тоді рівняння не має рішень, модуль будь-якого дійсного числа неотрицателен.

2. Якщо, тоді одержимо рівняння. Це рівняння має два корені, так як.

3. Якщо, тоді отримуємо сукупність двох рівнянь:

Перше рівняння має дискримінант :. Воно не матиме коренів при ,, але це неможливо, так як. Також воно не може мати один корінь (тоді, що також неможливо). Таким чином, пріуравненіе (1) має два корені.

Друге рівняння має дискримінант:

. Воно не матиме коріння, якщо ,,. Матиме один корінь, якщо. Матиме два кореня, якщо.

Остаточно отримуємо.

Відповідь. Якщо, тоді рівняння не має коренів.

Есліі, тоді рівняння має два кореня.

Якщо, тоді рівняння має три корені.

Якщо, тоді рівняння має чотири корені.

Приклад Знайдіть всі значення параметраіз проміжку, при кожному з яких більший з коренів уравненіяпрінімает найбільше значення.

Рішення.

Перетворимо рівняння до виду.

Значить, якщо ,, тоді. Знайдемо найбільше значення, при якому, т. Е. Найбільшу рішення нерівності.

Перетворимо цю нерівність: ,,,,.

Остання нерівність вирішимо методом інтервалів, пам'ятаючи, що.

Рішення нерівності буде безліч :.

Ясно, що дробьпрінімает найбільше значення при, тоді значеніебудет одно :.

Відповідь. При.

Приклад Знайти всі значення параметра, при кожному з яких уравненіеімеет єдине рішення.

Рішення.

Знайдемо рішення для кожного значення, а потім відберемо ті, які задовольняють умові завдання, т. Е. При яких рівняння має єдине рішення.

Для кожного фіксірованногобудем шукати рішення даного рівняння спочатку на проміжку, а потім на проміжку, оскільки модуль звертається в нуль при:

1) Нехай. На цьому проміжку тому дане рівняння прийме вигляд.

Знайдемо дискримінант отриманого наведеного квадратного рівняння

, Значить, при будь-якому дійсному значенііуравненіе має два різних дійсних корені: і.

З'ясуємо, чи входять вони в проміжок. Кореньлежіт в цій області тільки тоді, коли виконується нерівність: або.

Остання нерівність рівносильне системі нерівностей:

Остання система нерівностей не має рішень, значить, ні при якому значенні параметра a чіслоне лежить в області.

Кореньлежіт в розглянутій області тоді, коли виконана нерівність: або.

Вирішимо останню нерівність. Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значеніяіз проміжку.

Пріполучім нерівність. Звідси знаходимо :.

Таким чином, пріуравненіе має єдине рішення.

2) Нехай. На цьому проміжку тому вихідне рівняння можна переписати у вигляді. Знайдемо дискримінант цього рівняння :.

Рівняння не має рішень, якщо, т. Е. Якщо.

Значить, рівняння не має коренів дляіз проміжку.

Якщо не вигубите належать цьому проміжку, то квадратне рівняння має коріння ,, прічемпріі. З'ясуємо тепер, при яких значеннях параметранайденние коріння лежить в області.

Для цього потрібно вирішити неравенстваі.

Неравенстворавносільно неравенствуілі сукупності двох систем нерівностей:

Безліч рішень першої системи має вигляд, друга система не має рішень. Значить, тільки при значеніікорень уравненіялежіт в області

Неравенстворавносільно неравенствуілі системі нерівностей

Безліч рішень отриманої системи нерівностей є відрізок.

Тільки при цих значеннях параметра, кореньпрінадлежіт області :. Таким чином, придане рівняння в областірешеній не має.

Якщо, то рівняння в розглянутій області має єдине рішення.

При значеннях, що лежать в областіісходное рівняння має два різних корняі. Якщо ж, то вихідне рівняння має єдиний корінь. Отримані результати зручно звести в таблицю:

Таким чином, шукані значеніяобразуют два проміжки: і.

Відповідь.,.

Приклад Знайти всі корені рівняння, що задовольняє нерівності.

Рішення. Будуємо графіки функційі. Отримаємо дві точки перетину, абсциса тільки однієї з них менше, т. Е. Задовольняє умові завдання (див. Рис. (??)).

pics / ex14.eps

Абсциссу точки можна отримати вирішивши рівняння.

Відповідь ..

Приклад Вирішити аналітично і графічно рівняння

Аналітичне рішення

Перетворимо рівняння, помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можна вносити під знак модуля, тому одержимо:

У кожного з тричленів позитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійні множники.

Рівняння прийме вид :.

На числової прямої відкладемо точки, в яких кожен із множників звертається в нуль. В результаті отримаємо п'ять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем і вирішимо отримані рівняння.

Однак такий спосіб не буде раціональним. Доцільніше зобразити проміжки знакопостоянства кожного з тричленів на числових осях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більш наочним (див. Рис. (??)).

pics / ex9.eps

При такому схематичному зображенні зрозуміло, що:

1) пріоб тричлени позитивні і рівняння прийме вигляд:

Вирішуючи його, знаходимо ,. Обидва кореня не входять до проміжок є сторонніми;

2) пріпервий тричлен негативний, а другий позитивний, одержимо рівняння: звідки знаходимо корінь, який входить в проміжок є рішенням рівняння;

3) пріоб трехчлена негативні, одержуємо:

, Звідки, який входить у проміжок є рішенням рівняння;

4) пріпервий тричлен позитивний, другий --- негативний, одержуємо рівняння:

, Звідси, що входить у проміжок є рішенням рівняння;

5) пріоб тричлени позитивні, виходить така ж ситуація, як і в першому випадку. І тут, обидва корені, не входять в проміжок і є сторонніми.

Відповідь. ,,.

Графічне рішення

Для графічного рішення перетворимо рівняння:

Побудуємо графіки функційі

Графік функціібудем будувати в кілька етапів:

а) будуємо графік функції;

б) будуємо графік функції, '' дзеркально '' відбивши нижню частину крівойв осі;

в) будуємо графік функціідля цього достатньо графік функціі''опустіть '' вниз (здійснити паралельний перенос уздовж осі) на;

г) отриманий графік повністю симетрично відіб'ємо в осі, '' перевернемо '' навколо осика.

В результаті отримаємо графік функції.

Графік функцііпостроім вже відомим способом: будуємо параболуі дзеркально відображаємо в осітолько частина параболи, що знаходиться нижче осі.

Знаходимо абсциси точок перетину графіків, які й будуть рішеннями рівняння (див. Рис. (??)).

pics / ex10.eps

Абсциси точок перетину наступні: 1,75; 2,5 і 3,25. Вони і будуть рішеннями рівняння.

Приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Вирішувати будемо це рівняння послідовно '' розкриваючи '' модулі, починаючи з '' зовнішнього '' і '' наближаючись '' до змінної.

Після розкриття першого модуля, одержимо сукупність двох рівнянь:

(1) або (2).

Вирішуючи рівняння (1), в свою чергу, отримуємо два рівняння:

,

(3) або (4).

З рівняння (3) знаходимо:, з рівняння (4) знаходимо :,

Вирішуючи рівняння (2), також отримаємо :, яке розпадається два рівняння:

() Або ().

З () отримуємо: ,, З (), яке не має рішень.

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння:

Рішення. ОДЗ даного рівняння:

Простою перевіркою неважко переконатися, чтоі --- рішення даного рівняння.

Відповідь ..

Якщо вирішувати рівняння шляхом зведення в квадрати обох його частин, то вийде рівняння

У цього рівняння додасться '' зайвий '' корінь, що не належить ОДЗ.

Перетворення, які не рівносильне, т.к.входіт в ОДЗ вихідного вираження, але не входить в ОДЗ перетвореного.

Нюанс полягає в тому, що пріфункціясуществует і при, тому на що нуль ні множ --- буде нуль.

Приклад Вирішити рівняння.

Рішення. Почнемо розкривати внутрішній модуль (розкриття зовнішнього модуля займе набагато більше часу):

1. Пріімеем.

Тепер розглянемо два випадки:

а), т.е .;

б) і

Тому функція, що стоїть в першій частині вихідного рівняння, --- парна, то рішенням так само буде.

Відповідь ..

Приклад Чому дорівнює сума коренів рівняння (корінь, якщо він один) рівняння

Рішення. Розглянемо вираз

і перетворимо його до виду

Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (т.к.). Перетворимо отриманий вираз, за умови. Отримаємо рівняння, рівносильне вихідному:

Відповідь ..

Приклад Всі значення квадратного трёхчленана отрезкепо модулю не перевершують 1. Яке найбільше значення при цьому може мати величина?

Відповідь. Максимальне значення велічіниравно 17.

Доведемо це. Спочатку доведемо, що ця величина не може бути більше 17. Так як значення трёхчленана отрезкепо модулю не перевершують одиниці, то ,,, тобто ,,. Так як модуль суми не перевершує суми модулів, то

Отже ,. Залишилося помітити, що квадратний трёхчленудовлетворяет умові завдання і для нього велічінаравна 17.

Приклад Знайдіть найбільше ціле значення параметра, при якому уравненіене має рішень.

Рішення. Вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Друга система має рішення тільки при (при цьому її рішеннями будуть все). Перша система не має рішень, есліПрі цьому найбільше ціле, очевидно, одно.

Відповідь ..

Висновок

Матеріал даної дипломної роботи адресований учителям математики, викладачам підготовчих курсів, школярам і абітурієнтам. Розглянуто властивості абсолютних величин, наведені теореми про рівносильні перетвореннях рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля. Сформульовано маловідомі твердження, що істотно спрощують традиційні алгоритмічні способи рішення шкільних, конкурсних та олімпіадних завдань. Теоретичний матеріал проілюстрований значною кількістю завдань (більше 80) із вступних іспитів, математичних олімпіад та завдань централізованого тестування.

Список використаних джерел

[1] Веременок В. В., Практикум з математікеке, підготовка до тестування та іспиту / Веременок В. В., Кожушко В. В. --- Мн .: Тетра-Системз, 2006.

[2] Д. Гущин, Потужне рішення. Рівняння і нерівності з модулями // Учительська газета №39.

[3] В.Голубєв, Школа рішення нестандартних завдань. Заняття 3. Нестандартна техніка рішення нерівностей з модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.

[4] В.Голубєв, Школа рішення нестандартних завдань. Заняття 5. Сума модулів // Математика № 12, 2005 с.41--48.

[5] Тішин В. І., Математика для вчителів та учнів: раціональні алгебраїчні рівняння / Тішин В. І. --- п. Комарічі, 2002. --- 167с.

[6] О. Ігудісман, Математика на усному іспиті / О. Ігудісман --- М .: Айріс Пресс, Рольф, 2001 --- 254с.

[7] Математика: готуємося до централізованого тестування: Аналіз помилок 2007 року. Коментарі до відповідей. Тренувальні тести / Респ. ін-т контролю знань М-ва освіти Респ. Білорусь .--- Мн .: Аверсев, 2008. --- 64 с.

[8] Азаров А.І., Математика: завдання - << пастки >> на централізованому тестуванні і іспиті / А.І. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Романчик. --- 2-е вид., Перераб., --- Мн .: Аверсев, 2006. --- 176с.

[9] Куланін Е.Д., 3000 конкурсних завдань з математики / Куланін Е.Д., Норин В.П., Федін С.Н., Шевченко Ю.А. --- 10-е изд. --- М .: Айріс-прес, 2007. --- 624с.

[10] Веременюк В. В., Математика: вчимося швидко вирішувати тести: посібник для підгот. до тестування та іспиту / В. В. Веременюк, Е. А. Крушевський, І. Д. Беганський. --- 4-е вид. --- Мінськ: ТетраСистемс, 2006. --- 176с.

[11] Азаров А. І., Математика для старшокласників: Методи рішення алгебраїчних рівнянь, нерівностей та систем: Посібник для учнів установ, що забезпечують здобуття загальної середньої освіти / А. І. Азаров, С. А. Барвенов. --- Мн .: Аверсев, 2004. --- 448с.
Оцінка забруднення атмосферного повітря викидами автотранспорту
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" ЗВІТ До лабораторної роботи №4 з курсу: Основи екології" на тему: Оцінка забруднення атмосферного повітря викидами автотранспорту Виконав: ст. гр. ЗІ-11 Лис О.Р. Львів - 2010 Вступ Мета

Оцінка екологічної безпеки території Харківської області та виявлення факторів ризику
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ КАФЕДРА ЕКОЛОГІЇ Курсова робота з дисципліни Екологічна безпека на тему: Оцінка екологічної безпеки території Харківської області та виявлення факторів ризику" ЗМІСТ

Меланотении
"Хто повинен зробити вибір - той мучиться" - свідчить старе німецьке прислів'я. Не раз доводилося переконуватися в її справедливості. Виявившись одного разу безробітним, я повинен був зробити вибір: залишати домашнє аквариумное господарство або відмовитися від нього. До кінця порвати

Оцінка еколого-економічного збитку навколишньому середовищу при облаштуванні ділянки Правобережній частині Приобского родовища нафти ВАТ "НК" Роснефть "
Курсова робота на тему: «Оцінка еколого-економічного збитку навколишньому середовищу при облаштуванні ділянки Правобережній частині Приобского родовища нафти ВАТ« НК »Роснефть» Введення Ханти-Мансійський автономний округ - один з найдинамічніших регіонів Росії володіє величезним і різноманітним

Оцінка екологічного стану річки Кови
Оцінка екологічного стану річки Кови (Старкі) і перспективи його поліпшення Характеристика Довжина 11 км Площа басейну 41 км? Басейн річок Рахма Витрата води 4 м? / с Водотік Исток Нижній Новгород, вул. Коваліхінская близько д.62 (в колекторі) Устя річка Рахма Розташування Відкрита частина

Тварини Волині
Волинське обласне управління освіти і науки Луцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №25 Тварини Волині Підготували: Гнип Аліна Керівник Байдюк Л.В.

Сутність екологізації розвитку продуктивних сил України
План: Вступ 1. Сутність екологізації розвитку продуктивних сил України 2. Екологічна точка опри екологізації суспільного виробництва 3. Природо ресурсний потенціал продуктивних сил України: надрокористування, водоспоживання та використання повітряного басейну 4. Проблеми екологізації

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати