Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Три завдання з теорії чисел - Математика

Три завдання з теорії чисел

Завдання 1

Затвердження 1

Нехай р1, р2і р3являются ненульовими раціональними числами, причому р1 + р2 = р3.Тогда твір р1 * р2 * р3не є точним кубом ніякого (відмінного від нуля) раціонального числа, тобто р1 * р2 * р3 ? R3, де R - деяке раціональне число (R ? 0).

Доказ

Покладемо

и

Очевидно, що а (а ? 0) і b - раціональні числа, так як раціональними є числа р1і р2.

(Якщо а = 0, тобто р1 = - р2, тор1 + р2 = р3 = 0, що суперечить нашому твердженню (Р30).

Якщо b = 0, тобто р1 = р2, тор3 = 2 р1р1 * р2 * р3 = р1 * р1 * 2р1 = 2р, т.е.р1 * р2 * р3 = 2р ? R3і протиріччя з нашим твердженням відсутня.)

Тоді маємо:

Тепер неважко виразити старі змінні через нові:

(1)

Таким чином, заміна р1і р2на a і b є оборотною (число Р3в обох випадках є залежною змінною).

Припустимо тепер, що Затвердження 1 невірно, і чіслоявляется точним кубом (R3) деякого раціонального числа R (R ? 0).

Позначимо (2), де r0, тому при r = 0 або р1 = 0, або р2 = 0, або р3 = 0.

де q0 (пояснення нижче).

Числа r і q є раціональними числами, якщо раціональні числа a і b. Далі маємо:

Пояснення

При q = 0, де r00 - раціональне число (тому r0).

З (2) випливає, звідки R не є раціональним числом, що суперечить умові. Отже, q0.

Звідси чіслоявляется кубом деякого ненульового раціонального числа, позначимо це число через (3), де С0 (С> 0).

Позначимо :, тоді:

(З урахуванням (2) і (3)) (4)

Так як r, q - раціональні числа, то і числа A, B, (CR) -також раціональні числа.

Але тоді вони будуть раціональними рішеннями рівняння Ферма 3йстепені, яке, як добре відомо, нерозв'язно в раціональних числах. Отримане протиріччя доводить наше твердження.

Примітка. А якщо А = 0, або В = 0? Адже в цьому випадку можуть, напевно, з'явитися і ненульові раціональні числа р1, р2, р3, R, що задовольняють умові нашого Твердження! Покажемо, що вони не з'являться.

Якщо В = r - q = 0, то r = q.

Звідси, враховуючи

маємо) = 0

звідки випливає не тільки із

r = q (що очікувано), але і r = 0r = q = 0R = 0, що суперечить умові нашого «Твердження», ч.т.д.

Для А = r + q = 0 міркування аналогічні.

Тепер сформулюємо деяке узагальнення нашого Твердження 1 на раціональні функції. Нагадаємо, що раціональною функцією називається вираз виду, де p (x) і q (x) - деякі многочлени. Зауважимо, що і многочлени і навіть числа є окремим випадком раціональних функцій при відповідному виборі коефіцієнтів многочленів p (x) і q (x).

Затвердження 2

Пустьявляются раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами, прічёмдля всіх x. Тоді функціяні в одній раціональної точці x не є кубом ніякого (відмінного від нуля) раціонального числа, тобто

небудь, де R - раціональне число (R ? 0);

небудь, де R (x) - раціональна функція, яка при кожному фіксованому раціональному x є раціональним числом.

Доказ

Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x ми отримуємо твердження для раціональних чисел, яке сформульовано в попередньому Затвердження 1, що потрібно було довести.

Затвердження 3

Пустьявляются раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами від декількох змінних x, y, z, ..., прічемдля всіх x, y, z, ...

Тоді функціяні в одній з раціональних точок x, y, z, ... не є кубом ніякого (відмінного від нуля) раціонального числа, тобто або:

де R - раціональне число (R ? 0);

або

де R (x, y, z, ...) - раціональна функція, яка при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... є раціональним числом.

Доказ

Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... ми отримуємо твердження для раціональних чисел, тобто Затвердження 1, що потрібно було довести.

Де і як можна використовувати вищенаведені твердження?

Для аналізу нерозв'язності деяких рівнянь в раціональних числах практично за зовнішнім виглядом.

Приклади:

1. - куб раціональної функції R (x) = 3x2, яка при раціональному x є раціональним числом. Отже, уравненіенеразрешімо в раціональних числах.

2. - куб раціональної функції R (x) = нерозв'язно в раціональних числах.

3. - куб раціонального числа 3, отсюданеразрешімо в раціональних числах

4. - куб раціональної функції R (x, y) = Не вирішується в раціональних числах

5. - куб раціональної функції R (x) = х37 => рівняння не вирішуване в раціональних числах.

Отже, система уравненійнеразрешіма в ненульових раціональних числах x, y, z, де R - раціональне число (R ? 0).

Завдання 2

Затвердження 1

Нехай р1, р2, р3і р4являются раціональними ненульовими числами, причому (1). Тоді проізведеніене може рівним ні, тобто не може виконуватися співвідношення

(2)

де = 1; 2; 3; 4 і якщо- раціональне число.

Доказ

Покладемо. Очевидно, x, y і z - це раціональні ненульові числа, так як раціональними ненульовими числами є р1, р2, р3. Так як р1, р2, р3в (1) і (2) рівноправні, то зав (2) ми можемо прийняти будь-яке з них, тобто = 1; 2; 3. Нехай для визначеності (3), тоді р4на підставі (1) приймає вигляд:

(4)

Таким чином, заміна р1, р2, р3на x, y і z є оборотною (число р4в обох випадках є залежною змінною).

Припустимо тепер, що Затвердження 1 невірно, і число

Тоді маємо:

(5)

де x, y і z - ненульові раціональні числа, а (5) рівносильно

(6)

Дійсно, можна з рівняння (6) отримати (5):

, (6)

,,

,

(5), що й потрібно було довести.

Позначимо. Тоді (6) прийме вигляд :. Так як x, y і z - раціональні числа, то і числа A, B і C також раціональні числа. Але тоді вони будуть раціональними рішеннями рівняння Ферма 3-го ступеня, яке, як добре відомо, нерозв'язно в раціональних числах.

Отримане протиріччя доводить наше твердження.

Примітка:

1). Легко зрозуміти, що сумою P4в (1) може бути бути будь-яке з доданків (наприклад :), а твір нових членів залишається колишнім, тобто

,

де i може приймати і значення 4, тоді у творі

2). . А якщо А = 0, або В = 0? Адже в цьому випадку можуть, напевно, з'явитися і ненульові раціональні числа р1, р2, р3, R, що задовольняють умові нашого Твердження! Покажемо, що вони не з'являться.

Випадки, коли А = 0, або В = 0, суперечать нашому твердженню.

Дійсно, якщо, наприклад,

то ИЗВ = С

= X = 0x = 0х = 0, що суперечить нашому твердженню.

Аналогічні міркування і для В = 0.

Затвердження 2

Пустьявляются раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами, прічемдля всіх x. Тоді функціяні в одній раціональної точці x не може бути рівною ні, тобто не може виконуватися співвідношення.

Доказ

Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x ми отримуємо твердження для раціональних чисел, який сформований в попередньому Затвердження 1, що потрібно було довести.

Затвердження 3.

Пустьявляются раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами від декількох змінних x, y, z, ..., прічемдля всіх x, y, z, ... Тоді функціяні в одній з раціональних точок x, y, z, ... не може бути рівною ні

тобто не може виконуватися співвідношення

де i = 1; 2; 3; 4

Доказ

Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... ми отримуємо твердження для раціональних чисел, тобто Затвердження 1, що потрібно було довести.

Де і як можна використовувати вищенаведені твердження?

Для аналізу разрешимости деяких рівнянь в раціональних числах практично за зовнішнім виглядом.

Приклади

1.

де x2- другий доданок, яке при раціональному x є раціональним числом => уравненіене вирішуване в раціональних числах.

2.

де x - другий доданок, яке при раціональному x - раціональне чісло.не вирішуване в раціональних числах.

3.

де y - третій доданок, яке при раціональному y - раціональне чіслоне вирішуване в раціональних числах.

Слідство

Система рівнянь

нерозв'язна в раціональних числах, де- змінні (не рівні 0).

Завдання 3

Твердження (n = 3) Рівняння

a3 = b2 + cd2 (1)

де з = const, має наступне рішення:

a = ?2 + c?2b = ?3- 3c??2d = 3?2? - c?3

де ? і ? - довільні числа.

Доказ

Розглянемо тотожність

(2) (x2 + cy2) (u2 + c?2) ? (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2

де з = const (деяке число); x, y, u, ? - змінні (довільні числа).

Якщо один з 2xсомножітелей в дужках лівій частині тотожності (2) є квадратом іншого (наприклад: (x2 + cy2) 2 = u2 + c?2), то тотожність (2) можна записати не через чотири змінних x, y, u, ?, а тільки через дві (? і ?), де ? і ?-інші змінні.

Дійсно, якщо (x2 + cy2) 2 = u2 + c?2 (3), загальний вигляд якого

(4) a12 = u2 + c?2 (випадок, коли (n = 2)), а його рішення (це фахівцям відомо):

(5) a1 = ?2 + c?2,

(6) u = ?2-c?2,

(7) ? = 2??, де ? і ?-довільні числа ((ці рішення фахівцям відомі).

(Дійсно, якщо в (4) підставити його рішення (5), (6) і (7), то отримаємо тотожність: (?2 + c?2) 2? (?2-c?2) 2 + c (2??) 2 (8). Отже, маємо наступне:

(9) x2 + cy2 = ?2 + c?2

(6) u = ?2-c?2

(7) ? = 2??

Рівняння (9) звертається в тотожність при x = ? (10) і y = ? (11), значить

(10) і (11) є рішеннями (9).

Враховуючи (3), тотожність (2) запишеться у вигляді рівняння:

(X2 + cy2) (x2 + cy2) 2 = (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2 =>

=> (12) (x2 + cy2) 3 = (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2

Враховуючи (6), (7), (10) і (11), рівняння (12) запишеться:

(?2 + с?2) 3 = [? · (?2-c?2) -c? · 2??] 2 + c [? · 2?? + ? (?2-c?2)] 2 =

= [?3-c??2-2c??2] 2 + c [2?2? + 2-c?3] 2 = (?3-3c??2) 2 + c (3?2?-c?3) 2 =>

=> (13) (?2 + c?2) 3? (?3-3c??2) 2 + c (3?2?-c?3) 2

де ? і ? - довільні.

Тому (13) - тотожність, то рішенням рівняння (1) a3 = b2 + cd2 (випадок, коли (n = 3)), є:

а = ?2 + c?2b = ?3- 3c??2

d = 3?2? - c?3, де ? і ? - довільні числа, ч.т.д ..

Твердження 2. (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7)

Рівняння an = b2 + cd2 (1), де c = const, має наступне рішення:

a = ?2 + c?2

b = ?n-?3c?n-2?2 + ?5c2?n-4?4-?7c3?n-6?6 + ...

d = n?n-1?-?4c?n-3?3 + ?6c2?n-5?5-?8c3?n-7?7 + ...,

де ?i- біномінальні коефіцієнти ступеня n, де i = 3; 4; 5; 6; 7; 8; ...;

?1 = 1 - перші два біномінальної коефіцієнта в

?2 = п біном Ньютона при ?nі ?n-1?;

n - натуральна ступінь (n> 1).

Доказ

(Методом аналізу окремих випадків, коли n = 2; 3; 4; 5; 6; 7)

I етап

Розглянемо окремі випадки.

Нам вже відомі рішення рівняння (1) an = b2 + cd2для ступеня n = 2 і n = 3 (дивись доказательствоУтвержденіе1).

n = 2

(2) a2 = b2 + cd2, де

a = ?2 + c?2

b = ?2-c?2 (2 ') - при цих значеннях a, b і c рівняння (2) перетворюється на d = 2?? тотожність (?2 + c?2) 2? (?2-c?2) 2 + c (2??) 2 (2' ').

n = 3

(3) a3 = b2 + cd2,

де

a = ?2 + c?2

b = ?3-3c??2 (3 ') - при цих значеннях a, b і c рівняння (3) перетворюється на d = 3?2?-c?3тождество (?2 + с?2) 3? (?3-3с??2) 2 + с (3?2?-с?3) 2 (3 '').

Приклад: при ? = ? = 1 і c = 2 маємо правильне рівність:

(1 + 2 · 1) 3 = (1-3 · 2 · 1) 2+ 2 · (3-2 · 1) 233? 52 + 2 · 12

Нагадаю, що при знаходженні рішення рівняння (1) для ступеня n = 3 ми в доказі Утвержденія1опіралісь на тотожність (2)

(X2 + cy2) (u2 + c?2) ? (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2,

і на рішення рівняння (1) другого ступеня, тобто ступеня на одиницю меншу. Аналогічним методом можна знайти рішення рівняння (1) для інших натуральних ступенів n.

n = 4

Нехай в тотожності (2) (x2 + cy2) (u2 + c?2) ? (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2

a = x2 + cy2

a3 = u2 + c?2 (5)

тоді маємо співвідношення (x2 + cy2) 3 = u2 + c?2 (6), яке є ніщо інше, як рівняння (1) з n = 3: a3 = b2 + cd2 (3) (див. випадок n = 3).

Враховуючи (3 ') і (6), отримуємо:

а = x2 + cy2 = ?2 + c?2 (7 ')

u = ?3-3c??2 (7) (7 '')

? = 3?2?-c?3 (7 '' ')

Враховуючи формули (10) і (11) в доказі Утвержденія1 (x = ?, y = ? (8)) при знаходженні рішення рівняння (1) для n = 3, автоматично поширимо його і при знаходженні рішення рівняння (1) для n> 3. Тоді, з урахуванням (5) тотожність (2) приймає вигляд:

a4 = (xu-cy?) 2+ c (x? + yu) 2 => a4 = b2 + cd2 (9)

де

a = x2 + cy2

b = xu-cy? (10)

d = x? + yu

Враховуючи (8), (7 '), ..., (7' ''), запишемо a, b, d в системі (10) через ? і ?:

a = ?2 + c?2

b = xu-cy? = ? (?3-3c??2) -c? (3?2?-c?3) = ?4-3c?2?2-3c?2?2 + c2?4 = ?4-6c?2?2 + c2?4

d = x? + yu = ? (3?2?-c?3) + ? (?3-3c??2) = 3?3?-c??3 + 3-3c??3 = 4?3?-4c??3

Отже, рівняння (9) a4 = b2 + cd2імеет наступне рішення:

a = ?2 + c?2

b = ?4-6c?2?2 + c2?4 (11) і відповідне тотожність:

d = 4?3? - 4c??3

(12) (?2 + с?2) 4? (?4-6с?2?2 + с2?4) 2 + с (4?3?-4с??3) 2

Приклад:

при ? = ? = 1 і с = 2 => 34 = (1-12 + 4) 2 + 2 · (4-8) 2 => 81 ? 49 + 32.

n = 5

Міркування аналогічні.

Нехай в тотожності (2) (x2 + cy2) (u2 + c?2) ? (xu-cy?) 2 + c (x? + yu) 2

a = x2 + cy2 (13)

тоді отримуємо співвідношення:

a4 = u2 + c?2

(X2 + cy2) 4 = u2 + c?2которое є ніщо інше, як рівняння (1) з n = 4: (9) a4 = b2 + cd2) (див. Випадок n = 4), рішення якого є система (11). Звідси:

a = x2 + cy2 = ?2 + c?2

u = ?4-6c?2?2 + c2?4 (14)

? = 4?3?-4c??3

З урахуванням (13) тотожність (2) приймає вигляд:

a5 = (xu-cy?) 2+ c (x? + yu) 2 => a5 = b2 + cd2 (15)

де

a = x2 + cy2

b = xu-cy? (16)

d = x? + yu

Враховуючи (8) (x = ?, y = ?) і (14), запишемо a, b, d в системі (16) через змінні ? і ?:

a = ?2 + c?2

b = xu-cy? = ? (?4-6c?2?2 + c2?4) -c? · (4?3?-4c??3) =

= ?5-6c?3?2 + ?c2?4-4c?3?2 + 4c2??4 = ?5-10c?3?2 + 5c2??4

d = x? + yu = ? (4?3?-4c??3) + ? (?4-6c?2?2 + c2?4) =

= 4?4?-4c?2?3 + ?4?-6c?2?3 + c2?5 = 5?4?-10c?2?3 + c2?5

Отже, рівняння (15) a5 = b2 + cd2імеет наступні рішення:

a = ?2 + c?2

d = 5?4?-10c?2?3 + c2?5 (17)

b = ?5-10c?3?2 + 5c2??4

і відповідне тотожність:

(?2 + c?2) 5 = (?5-10c?3?2 + 5c2??4) 2 + c (5?4?-10c?2?3 + c2?5) 2 (18)

Приклад:

при ? = ? = 1 і с = 2 =>

=> 35 = (1-20 + 20) 2 + 2 · (5-20 + 4) 2 = 12 + 2 · 112 => 35 = 12 + 2 · 112 = 243

n = 6

Рішення рівняння a6 = b2 + cd2 (19) знаходяться аналогічно. Доказ спирається на відомі рішення рівняння попереднього ступеня, тобто n = 5. Рівняння (19) має наступне рішення:

a = ?2 + c?2

b = ?6- 15c?4?2 + 15c2?2?4- c3?6 (20)

d = 6?5? - 20c?3?3 + 6c2?

і відповідне тотожність:

(?2 + c?2) 6 = (?6- 15c?4?2 + 15c2?2?4- c3?6) 2+ c (6?5? - 20c?3?3 + 6c2??5) 2 (21)

Приклад:

при ? = ? = 1 і c = 2 маємо:

36 = (1- 30 + 60 - 8) 2+ 2 (6 - 40 + 24) 2 =

= 232+ 2 ? (-10) 2 => 36? 232+ 2 ? (-10) 2? 725.

n = 7

Аналогічні міркування приводять до того, що рівняння

(22) a7 = b2 + cd2імеет наступне рішення:

a = ?2 + c?2

b = ?7- 21c?5?2 + 35c2?3?4- 7c3??6 (23)

d = 7?6? - 35c?4?3 + 21c2?2?5- c3?

а відповідне тотожність:

(24) (?2 + c?2) 7?

? (?7- 21c?5?2 + 35c2?3?4-7c3?6?7) 2 + 24 + c (7?6? - 35c?4?3 + 21c2?2?5- c3?7)

Приклад:

при ? = ? = 1 і c = 2 маємо:

37 = (1- 42+ 140 - 56) 2+ 2 (7 - 70 + 84 - 8) 2 =

= 432+ 2 ? 132 => 37? 432+ 2 ? 132? 2187.

ІІ етап

Отримання загального рішення рівняння

(1) an = b2 + cd2

(Нагадаємо, доказ не строге, спирається на окремі випадки)

Випишемо всі тотожності, отримані для кожного ступеня

n = 2; 3; 4; 5; 6; 7;

n = 2

(?2 + c?2) 2 = (?2- c?2) 2+ c (2??) 2

n = 3

(?2 + c?2) 3 = (?3- 3c??2) 2 + c (3?2? - c?3) 2

n = 4

(?2 + c?2) 4 = (?4- 6c?2?2 + c2?4) 2 + c (4?3? - 4c??3) 2

n = 5

(?2 + c?2) 5 = (?5- 10c?3?2 + 5c2??4) 2 + c (5?4? - 10c?2?3 + c2?5) 2

n = 6

(?2 + c?2) 6 = (?6- 15c?4?2 + 15c2?2?4-c3?6) 2 + c (6?5? - 20c?3?3 + 6c2??5) 2

n = 7

(?2 + c?2) 7 = (?7- 21c?5?2 + 35c2?3?4-7c3??6) 2 + c (7?6? -

-35c?4?3 + 21c2?2?5-c3?7) 2

Аналізуючи ці тотожності, приходимо до спільного тотожності загального рівняння

an = b2 + cd2 (1):

(?2 + c?2) n = (?n- k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4- k7c3?n-6?6 + ...) 2+

+ C (n?n-1? - k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5- k8c3?n-7?7) 2 (25)

де в правій частині тотожності 25 в обох дужках доданки являють собою складові бинома Ньютона

(? + ?) n, помножених на ± cm, де m = 0,1,2,3 ...,

знак «+», якщо m-парне,

ki- біномінальні коефіцієнти, де i = 3,4,5, ...,

k1 = 1 - перші два біномінальної коефіцієнта при ?nі ?n-1?.

k2 = n

Дивлячись на рівняння (1) і тотожність (25), визначаємо, що рішенням рівняння (1) an = b2 + cd2являются:

a = ?2 + c?2

b = ?n- k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4- k7c3?n-6?6 + ...

d = n?n-1? - k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5- k8c3?n-7?7 + ..., ч.т.д.

Твердження. (N> 1-будь-яке натуральне)

Рівняння an = b2 + cd2 (1), де c = const, має наступне рішення:

a = ?2 + c?2

(2) b = ?n- k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4- k7c3?n-6?6 + ...

d = n?n-1? - k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5- k8c3?n-7?7 + ...,

ki- біномінальні коефіцієнти ступеня n,

де i = 3; 4; 5; 6; 7; 8 ...,

k1 = 1 перші два біномінальної

k2 = n коефіцієнта для ступеня n,

n - натуральна ступінь (n> 1)

Загальна доказ

(Метод математичної індукції)

Отже, нами доведена справедливість знайденого рішення (2)

рівняння (1) для ступенів n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Припустимо, що рішення (2) справедливо і для ступеня n-1.

Тоді, позначивши біномінальні коефіцієнти для цього ступеня ki / n-1, де i = 1; 2; 3 ..., (k1 / n-1 = 1, k2 / n-1 = n-1), можна записати тотожність:

(3) (?2 + c?2) n-1?

? (?n-1-k3 / n-1c?n-3?2 + k5 / n-1c2?n-5?4- k7 / n-1c3?n-7?6 + ...) 2+

(Перша дужка)

+ C (k2 / n-1?n-2? - ck4 / n-1?n-4?3 + c2k6 / n-1?n-6?5- c3k8 / n-1?n-8?7 + ...) 2?

(Друга дужка)

? (?2 + c?2) n-1? (перша дужка) 2+ c (друга дужка) 2 (3 ')

При знаходженні рішень рівняння (1) для окремих випадків (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) ми використовували співвідношення:

(4) an = (xu - cy?) 2+ c (x? + yu) 2,

де n = 2; 3; ... 7.

x = ?

y = ?

a = x2 + cy2 = ?2 + c?2

(5) b = xu - cy? = ?u - c??

d = x? + yu = + ?u

де, в свою чергу

u = (перша дужка)

? = (друга дужка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 у співвідношенні (3) (або (3 '))

Аналогічно міркуючи, спробуємо довести справедливість теореми для довільного ступеня n, припустивши, що вона справедлива для ступеня n - 1

Це означає, що треба досліджувати рішення (5) рівняння (4) (або, що теж, рівняння (1)) для довільного ступеня n.

Отже, нехай для довільного ступеня n

a = ?2 + c?2 (6)

b = ?u - c?? = ? (перша дужка) - c? (друга дужка) =

= ? (?n-1-k3 / n-1c?n-3?2 + k5 / n-1c2?n-5?4-k7 / n-1c3?n-7?6 + ...)

- C? (k2 / n-1?n-2? - ck4 / n-1?n-4?3 + c2k6 / n-1?n-6?5-

- C3k8 / n-1?n-8?7 + ...) =

= (?n- ck3 / n-1?n-2?2 + c2k5 / n-1?n-4?4- c3k7 / n-1?n-6?6 + ...) +

+ (-ck2 / N-1?n-2?2 + c2k4 / n-1?n-4?4- c3k6 / n-1?n-6?6 +

+ C4k8 / n-1?n-8?8- ...) =

= ?n- c (k2 / n-1 + k3 / n-1) ?n-2?2 + c2 (k4 / n-1 + k5 / n-1) +

+ ?n-4?4- c3 (k6 / n-1 + k7 / n-1) ?n-6?6 + ... =

= ?n- ck3?n-2?2 + c2k5?n-4?4-c3k7?n-6?6 + ...

b = ?n- ck3?n-2?2 + c2k5?n-4?4-c3k7?n-6?6 + ... (7)

де (8) k? = k?-1 / n-1 + k? / n-1-біномінальні коефіцієнти для ступеня n;

? = 3; 5; 7; ...;

k1 = 1 - перший біномінальної

коефіцієнт при ?nв (7);

k?-1 / n-1 та k? / n-1-два біномінальної послідовних

коефіцієнта для ступеня n - 1.

Співвідношення (8) - це одна з властивостей біномінальної коефіцієнтів в «трикутнику Паскаля»:

Кожен з біномінальної коефіцієнтів дорівнює сумі двох біномінальної коефіцієнтів, що стоять над ним.

«Трикутник Паскаля»

1

1 січня

1 2 1

1 3 3 1

1 4 червня 4 січня

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Тепер знайдемо вираз для d:

d = + ?u = ? (друга дужка) + ? (перша дужка) =

= ? (k2 / n-1?n-2? - ck4 / n-1?n-4?3 + c2k6 / n-1?n-6?5-

- C3k8 / n-1?n-8?7 + ...) +

+ ? (?n-1-ck3 / n-1c?n-3?2 + k5 / n-1c2?n-5?4-k7 / n-1c3?n-7?6 + ...) =

= K2 / n-1?n-1? - ck4 / n-1?n-3?3 + c2k6 / n-1?n-5?5-

- C3k8 / n-1?n-7?7 + ... + ?n-1? - ck3 / n-1?n-3?3 + c2k5 / n-1?n-5?5-

- C3k7 / n-1?n-7?7 + ... =

= (1 + k2 / n-1) ?n-1? - c (k3 / n-1 + k4 / n-1) ?n-3?3 + c2 (k5 / n-1 + k6 / n-1) ?n-5?5- c3 (k7 / n-1 + k8 / n-1) ?n-7?7 + ... =

= K2?n-1? - ck4?n-3?3 + c2k6?n-5?5- c3k8?n-7?7 + ...

d = k2?n-1? - ck4?n-3?3 + c2k6?n-5?5- c3k8?n-7?7 + ... (9),

де (8) k? = k?-1 / n-1 + k? / n-1-- біномінальні коефіцієнти для ступеня n; (Вищезгадане властивість

біномінальної коефіцієнтів (8));

? = 2; 4; 6; 8; ...;

k2 = n - другий біномінальної

коефіцієнт для ступеня n;

k?-1 / n-1 та k? / n-1-два біномінальної послідовних коефіцієнта для ступеня n - 1.

Отже, враховуючи (5), (6), (7), (9), рівняння (4) приймає вигляд:

an = b2 + cd2 (1), де

a = ?2 + c?2

b = ?n- c k3?n-2?2 + c2k5?n-4?4- c3k7?n-6?6 + ...

d = n?n-1? - c k4?n-3?3 + c2k6?n-5?5- c3k8?n-7?7 + ...,

є рішеннями рівняння (1) при c = const;

ki- біномінальної коефіцієнт ступеня n;

i = 3; 4; 5; 6; 7; 8 ...;

k1 = 1, k2 = n, n> 1 - натуральна ступінь.

Твердження доведено.

Скворцов Олександр Петрович, вчитель, ветеран педагогічної праці;

м Колпашево Томської області, серпень 2009.

Перше завдання рецензована в 1996 р доктором фізико математичних наук.

Всі три завдання трохи пізніше рецензовані томським фахівцем математиком Тимошенко Е. (на жаль, ні імені, ні по батькові його я не знаю), якого для цієї мети на моє прохання знайшов ректор ТПУ Похолков Юрій Петрович, за що я їм усім дуже і дуже вдячний .

Відгук фахівців про мою роботу непоганий. Ось витяг з «Рецензії на роботу Скворцова А.П. «Кілька завдань, теорем і тверджень з теорії чисел» »Тимошенко Е .:« У даній роботі особливий інтерес представляють докази нерозв'язності в раціональних ненульових числах рівняння р1 + р2 = р3, де р1 * р2 * р3 = R3, де R - раціональне число (Завдання 1. Автор), і нерозв'язності в раціональних ненульових числах системи, (Завдання 2. Автор).

Автор вказує досить широке сімейство рішень рівняння an = b2 + cd2 (1), залежне від двох параметровий (Завдання 3. Автор). Так, для рівняння (2) a3 = b2 + cd2пріводітся рішення а = ?2 + c?2, b = ?3- 3c??2, d = 3?2? - c?3 (3).

На жаль, залишається недоведеним, що це рішення - загальне, тобто не ясно, будь чи рішення рівняння (2) може бути представлено у вигляді (3). Те ж саме можна сказати і про рішення рівняння (1). ... ». На жаль, це питання для мене досі залишається відкритим. Хоча, якщо моя думка когось цікавить, інтуїція мені підказує, що знайдене мною рішення рівняння (1) - єдине. Однак я добре розумію, що інтуїція - це ще не факт.

Думаю, що фахівцям дана Завдання 3 і її доказ відомі. Проте особисто мені вона на очі не потрапляла. Надалі в одній з чергових робіт результати цього завдання мені стали в нагоді.

Що стосується перших двох завдань, то вони мені теж подобаються, і, думаю, можуть викликати інтерес не тільки у фахівців, але й у студентів і школярів на факультативних заняттях.

А.П. Скворцов.
Тверді побутові відходи
Відходи виробництва та споживання Відходи виробництва та споживання - це залишки сировини, матеріалів, напівфабрикатів, інших виробів чи продуктів, які утворилися в процесі виробництва чи споживання, а також товари (продукція), втратили свої споживчі властивості. Відходи виробництва та споживання

Оцінка еколого-економічного збитку навколишньому середовищу при облаштуванні ділянки Правобережній частині Приобского родовища нафти ВАТ "НК" Роснефть "
Курсова робота на тему: «Оцінка еколого-економічного збитку навколишньому середовищу при облаштуванні ділянки Правобережній частині Приобского родовища нафти ВАТ« НК »Роснефть» Введення Ханти-Мансійський автономний округ - один з найдинамічніших регіонів Росії володіє величезним і різноманітним

Оцінка екологічної обстановки в районах інтенсивного бджільництва
Вятська державна сільськогосподарська академія Біологічний факультет Кафедра «Годівлі тварин і технології кормів» РЕФЕРАТ на тему: «Оцінка екологічної обстановки в районах інтенсивного бджільництва» Киров 2010 рік Зміст Введення 1. Екологічне значення бджільництва. 2. Забруднення продуктів

Оцінка впливу підприємства АТ "Васильківський ГЗК" на стан навколишнього середовища
ЗМІСТ ВВЕДЕНІЕ1 ЕКОЛОГІЧНИЙ СТАН Акмолинської області 1.1 Стан забруднення атмосфери в світі та Казахстані 1.2 Стан атмосферного повітря в Акмолинської області 1.2.1 Забруднення атмосферного воздуха1.3 Екологічні проблеми Акмолинської області 2 ХАРАКТЕРИСТИКА ПІДПРИЄМСТВА АТ «ВАСИЛЬКІВСЬКИЙ

Суть, зміст і структура природокористування
Федеральне агентство за освітою Державна освітня установа вищої професійної освіти Тульський державний університет Факультет економіки і права Кафедра «Фінанси і менеджмент» КОНТРОЛЬНО-КУРСОВА РОБОТА по дисципліні «Економіка промислового природокористування» на тему: «СУТЬ, ЗМІСТ І СТРУКТУРУ

Сумарні показники якості стічних вод
Сумарний показник ЯКОСТІ ВОД КОЛІР ВОДИ Колір води рекомендується визначати виміром її оптичної щільності на спектрофотометрі при різних довжинах хвиль світла, що проходить. При визначенні кольоровості проби не консервують. Визначення проводять через 2 години після відбору проби. Досліджувану

Побудова прямокутної системи координат
КОСТРОМСЬКИЙ ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ Кафедра «Автоматизації управління військами» "Стверджую" Начальник кафедри № 9 полковник ЯКОВЛЕВ А.Б. «_» _ 2004 доцент СМИРНОВА А.І. "ВСТУП" ЛЕКЦІЯ № 1/1 Обговорено на засіданні кафедри № 9 «_» _ 2004р. Протокол

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати