Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Криві на площині - Математика

Реферат з аналітичної геометрії

Тема: Криві на площині

Студентки групи ОАП 10-1:

Петренко Лідії

Лінія - загальна частина двох суміжних областей поверхні. Рухома точка описує при своєму русі деяку лінію. У аналітичної геометрії на площині лінії виражаються рівняннями між координатами їх точок. У прямокутній системі координат лінії поділяються залежно від виду рівнянь. Якщо рівняння лінії має вигляд: F (x; y) = 0, де F (x; y) - многочлен n-го ступеня відносно х, у той лінія називається алгебраїчної лінією ого n-го порядку. Лінія 1-го порядку - пряма. Конічні перетину відносяться до ліній 2-го порядку і т.д.

Спіралі

Спіралі (франц., Однина spirale, від лат. Spira, грец. Speira - виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів обходять деяку точку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї.

Якщо вибрати точку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння спіралі

r = f (j) таке, що f (j + 2p)> f (j) або f (j + 2p) Найбільш простий вигляд має рівняння Архімедова спіралі: r = аj, вивченої давньогрецьким математиком Архімедом (3 ст. До н. Е.) У зв'язку із завданнями трисекции кута і квадратури кола у творі "Про спіралі".

З інших спіралей практичне значення має спіраль Корню (або клотоїда), застосовувана при графічному вирішенні деяких завдань дифракції. Параметричне рівняння цієї С. має вигляд:

.

Спіраль Корню є ідеальною перехідної кривої для заокруглення залізничної колії, так як її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвента кола.

Назви деяких спіралям дані за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих в декартових координатах, наприклад:

- Параболічна спіраль (а - r) 2 = bj,

- Гіперболічна спіраль: r = а / j.

- Жезл: r2 = a / j

- Si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:

,

[Si (t) і ci (t) -інтегральна синус і інтегральний косинус]. Кривизна si-ci-cпіралі змінюється з довжиною дуги за законом показовою функції. Такі спіралі застосовують як профілю для лекал.

Нагадує спіраль крива, звана кохлеоідой. Вона нескінченна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить у попередньому.

Спіралі зустрічаються також при розгляді особливих точок в теорії диференціальних рівнянь

Спіралями іноді називають також просторові криві, що роблять нескінченно багато обертів навколо деякої осі, наприклад гвинтова лінія.

Кардіоїди

Кардіоїда (грец. ???? - серце, грец. ??? - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомій кола з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Кардіоїда є окремим випадком равлики Паскаля, епіциклоїда і синусоїдальної спіралі.

Так само можна сказати, що Кардіоїда-це плоска крива, що описується точкою М кола, яка ззовні стосується нерухомою окружності того ж радіусу і котиться по ній без ковзання. Належить до епіциклоїда (плоска крива, що описується точкою кола, яка ззовні стосується нерухомою кола і котиться по ній без ковзання, до них відносяться кардіоїди, циклоїди, гіпоціклоіди). Є алгебраїчною кривої другого порядку.

Рівняння кардіоїди:

- У прямокутній системі координат:

- У прямокутній системі координат (параметрична запис):

x = 2rcost (1 + cost)

y = 2rsint (1 + cost)

- В полярній системі координат:

- Довжина дуги одного витка кардіоїди, заданої формулою:

дорівнює:

s = 8a.

- Площа фігури, обмеженої кардіоїд, заданої формулою:

дорівнює :.

Властивості кардіоїди:

1. Дотична в довільній точці кардіоїди проходить через точку кола виробляє кола, діаметрально протилежній точці торкання кіл, а нормаль - через точку їх торкання.

2. Кут, що складається дотичною до кардіоїд з радіус-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіус-вектором з полярною віссю.

3. Дотичні до кардіоїд, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.

Циклоїди

Циклоїда (від грец. ???????? - колоподібний) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє кола радіуса r, що котиться без ковзання по прямой.Свойства:

1. Циклоїда - періодична функція по осі абсцис, з періодом 2?r. За кордону періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2?k, де k - довільне ціле число.

2. Для проведення дотичній до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкою виробляє кола. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.

3. Довжина арки циклоїди дорівнює 8r. Ця властивість відкрив Крістофер Рен (1658).

4. Площа під кожної аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівняв вагу пластинок з колом і з аркою циклоїди.

5. Радіус кривизни у першій арки циклоїди дорівнює.

6. «Перевернута» циклоїда є кривою якнайшвидшого спуску (брахістохрони). Більш того, вона має також властивість таутохронность: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за одне і той же час.

7. Період коливань матеріальної точки, ковзної по перевернутої циклоїді, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.

8. Еволюта циклоїди є циклоїдою, конгруентної вихідної, а саме - паралельно зрушеною так, що вершини переходять у «вістря».

9. Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіциклоїда, гіпоциклоїда, Трохоїда, астроїда) (пор. Побудова лемніскати Бернуллі) .Уравненія

Приймемо горизонтальну вісь координат в якості прямої, по якій котиться виробляє коло радіуса r.

- Циклоїда описується параметрично:

x = rt - rsint,

y = r - rcost.

- Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:

Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:

Астроїда

Астроїда - плоска крива, що описується точкою M кола радіуса r, що котиться по внутрішній стороні кола радіуса R = 4r. Інакше кажучи, астроїда - це гіпоциклоїда з модулем m = 4.

Так само можна сказати, що Астроіда- це плоска крива, що описується точкою кола, яка стосується зсередини нерухомою окружності вчетверо більшого радіусу і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоциклоїда. Є кривій алгебри шостого порядка.Свойства

1. Є чотири Каспію.

2. Довжина дуги від точки з 0 до

3.

4. Довжина всієї кривої 6R.

5. Радіус кривизни:

6.

7. Площа, обмежена кривою:

8.

9. Астроіда є обвідної сімейства відрізків постійної довжини, кінці яких розташовані на двох взаємно перпендикулярних прямих.

10. Астроіда є кривій алгебри 6-го порядка.Уравненія

- Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:

- Параметричне рівняння:

Лемніската

Лемніската - плоска крива, геометричне місце точок, твір відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Так само можна сказати, що Лемніската Бернуллі- це плоска крива, що має вигляд «вісімки»; безліч точок М, твір відстаней r1 і r2 яких до двох даних точок F1 і F2 (фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані. Алгебраїчна крива 4-го порядку, розглянута Я. Бернуллі (1964 г) .Уравненія

Розглянемо найпростіший випадок: якщо відстань між фокусами 2c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніската:

- У прямокутній декартовій системі координат:

Фокуси лемніскати - F1 (- c; 0) і F2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M (x; y). Твір відстаней від фокусів до точки M є

,

і за визначенням воно дорівнює c2:

Зводимо в квадрат обидві частини рівності:

Розкриваємо дужки в лівій частині:

Розкриваємо дужки і згортають новий квадрат суми:

Виносимо спільний множник і переносимо:

Далі можна зробити заміну a2 = 2c2, хоча це не обов'язково:

В даному випадку a - радіус кола, що описує лемніската.

Провівши нескладні перетворення, можна отримати явну рівняння:

Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:

Наводимо до виду

Це квадратне рівняння щодо y2. Вирішивши його, отримаємо

Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:

де позитивний варіант визначає верхню половину лемніскати, негативний - нижню.

- В полярній системі координат:

Використовуючи формули переходу до полярній системі коордінатполучім:

Виносимо загальні множники і використовуємо тригонометричну тотожність sin2? + cos2? = 1:

Використовуємо ще одне тотожність: cos2? - sin2? = cos2?:

Ділимо на ?2, припускаючи, що:

\

Як і у випадку прямокутної системи можна замінити a2 = 2c2:

Щільність точок кривої при рівномірному зміні параметра

- Параметричне рівняння в прямокутній системі:

, Де

Це єдиний варіант раціональної параметризації кривої. Рівняння повністю описує криву, коли параметр пробігає всю речову пряму: отдо. При цьому, коли параметр прагне до, точка кривої прагне до (0; 0) з другої координатної чверті, а коли параметр прагне до, то - з четвертим. Розподіл точок, які дає параметричне рівняння, при зміні його параметра з фіксованим кроком показано на рісунке.Свойства

Лемніската є окремим випадком овалу Кассіні при a = c, синусоидальной спіралі з індексом n = 2 і лемніскати Бута при c = 0, тому вона успадковує деякі властивості цих крівих.Свойства від овалу Кассіні

- Лемніската - крива четвертого порядку.

- Вона симетрична щодо подвійної точки - середини відрізка між фокусами.

- Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:

- Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра відрізка між фокусами дорівнює відстані від максимуму (або від мінімуму) до подвійної точки.

- Лемніската описує коло радіуса, тому іноді в рівняннях виробляють цю замену.Свойства від синусоїдальної спіралі

- Точка, де лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.

- Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F1F2угли.

- Кут ?, що складається дотичній в довільній точці кривої з радіус-вектором точки дотику дорівнює.

- Дотичні в точках перетину кривої і хорди, що проходить через подвійну точку, паралельні один одному.

- Інверсія щодо кола з центром в подвійній точці, переводить Лемніската в равнобочной гіперболу.

- Радіус кривизни лемніскати є

Є окремий випадок формули радіуса кривизни синусоидальной спіралі:

при m = 2,

проте, легко вивести і за визначенням.

Рівняння лемніскати в полярній системі:

Формули переходу до полярній системі координат:

Висловлюємо:

Підставляємо в рівняння лемніскати і висловлюємо x і y:

- Це параметричне рівняння відносно. Провівши деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння щодо, вказане вище в розділі Рівняння.

Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:

Знаходимо похідні по:

Підставляємо в формулу радіуса:

Повертаємося до рівняння лемніскати:

Підставляємо це вираження в отриману формулу радіуса і отримуємо:

- Натуральне рівняння кривої має вигляд

- Забирай лемніскати є синусоїдальна спіраль

- Лемніската сама є забирай рівносторонній гіперболи.

Власні властивості:

Гравітаційне властивість лемніскати

- Крива є геометричним місцем точок, симетричних з центром рівносторонній гіперболи щодо її дотичних.

- Відрізок бісектриси кута між фокальними радіус-векторами точки лемніскати дорівнює відрізку від центру лемніскати до перетину її осі з цією биссектрисой.

- Матеріальна точка, що рухається по кривій під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що і відповідну хорду. При цьому вісь лемніскати становить уголс вектором напруженості поля, а центр лемніскати збігається з вихідним положенням рухається точки.

- Площа полярного сектора, при:

o Зокрема, площа кожної петлі, тобто площа, обмежена кривою, дорівнює площі квадрата зі стороною.

- Перпендикуляр, опущений з фокуса лемніскати на радіус-вектор якої-небудь її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.

- Довжина дуги лемніскати між точкаміівиражается еліптичних інтегралом роду:

-

де

o Зокрема, довжина всієї лемніскати

Додаток

В геометрії, синусоїдальна спіраль - сімейство кривих, обумовлений рівнянням у полярній системі координат:

rn = ancos (n?),

де a - ненульова константа і n - раціональне число, не рівне нулю. З урахуванням можливості повороту кривої відносно початку координат рівняння також може бути записано у вигляді:

rn = ansin (n?)

Використання терміну «спіраль» в даному випадку не є точним, т. К. Одержувані криві за формою швидше нагадують квітку. Багато відомих криві є окремими випадками синусоидальной спіралі:

- Пряма (n = -1)

- Окружність (n = 1)

- Гіпербола (n = -2)

- Парабола (n = -1/2)

- Кардіоїда (n = 1/2)

- Лемніската (n = 2)

Вперше була вивчена Маклореном.
Розрахунок проектних розмірів підземної виробки
ПІДСУМКОВЕ ЗАВДАННЯ № 1 ТЕМА: «Розрахунок проектних розмірів підземної виробки» Вихідні дані: Показник Одиниці виміру Значення Назва вироблення квершлаг Форма поперечного перерізу ПС Тип кріплення по покрівлі та боків набризкбетону Товщина набризкбетону мм 50 Вживане обладнання Вантажно-транспортні

Разлік аб'емнага гідраулічнага прывада
Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь БЕЛАРУСКІ ДЗЯРЖАЎНЫ ТЭХНАЛАГІЧНЫ УНІВЕРСІТЭТ Кафедра энергазберажэння, гідраўлікі і цеплатэхнікі КУРСАВАЯ РАБОТА НА ТЭМУ РАЗЛІК АБ'ЕМНАГА ГІДРАЎЛІЧНАГА ПРЫВОДА Выканаў студэнт 3 курса факультэта ТТЛП спецыяльнасці МОЛК-6 Iвасюта В.В. Праверыў:

Нафтова, нафтопереробна й газова промисловість України
Министерство образования и науки Украины Запорожская государственная инженерная академия Кафедра экономики предприятия Контрольная работа по дисциплине "Размещение производительных сил и региональная экономика" на тему: Нефтяная, нефтеперерабатывающая и газовая промышленность

Світовий океан і його ресурси
Океани Гідросфера - водна оболонка Землі. Світовий океан-головна частина гідросфери Землі. Термін «Світовий океан» ввів в науку вчений-географ Ю.М. Шокальский. Світовий океан займає 71% поверхні Землі. Він ділиться материками на 4 океану: Тихий океан (50% площі - 178 620 000. Км2), Атлантичний

Гендерні відмінності в прояві агресивності у підлітків
МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ Державна освітня установа вищої професійної освіти Російський державний гуманітарний університет Інститут психології ім. Л. С. Виготського Факультет психології Кафедра диференціальної психології та психофізіології Даньшина Дар'я Сергіївна «Гендерні відмінності

Цикл ділової активності
Реферат виконав: Білоруський Е.І., Енерго 2-2 ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ІМЕНІ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ. МОСКВА 1. Виявлена проблема: Зростаюча кількість автомобільних «пробок» в м. Москва 1.1 Спостереження міської системи в якій виявлена проблема: СИСТЕМА вулиці міста Москва; СПОСТЕРЕЖЕННЯ ПРОБЛЕМИ

Природознавство в системі наукового знання
ДЕРЖАВНА ОСВІТНЯ УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФФЕССИОНАЛЬНОГО ОСВІТИ КУРСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ Кафедра філософії РЕФЕРАТ Природознавство в системі наукового знання Виконав Студент 1 курсу 11А групи Факультету ЕїМ Ігнатухин В.В Перевірила: Кандидат філософських наук Старший викладач Ковальова М.В КУРСК.

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати