Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Роль теорії диференціальних рівнянь в сучасній математиці і її додатках - Математика

Олейник О.А.

Московський державний університет ім. М.В. Ломоносова

1996

В роботі викладені характерні особливості теорії диференціальних рівнянь. Ця теорія виникла з додатків і в цей час самим тісним образом пов'язана з додатками. Вона впливає великий чином на розвиток інших областей математики.

Теорія диференціальних рівнянь є одним з самих великих розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, передусім необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох обширних областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з приватними похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з додатками. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи які-небудь фізичні явища, дослідник передусім створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони, керуючі цим явищем, в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільної середи, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і інш.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може взнати його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданою мірою точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь треба, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище загалом. Математична модель дає можливість вивчати явище загалом, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються в ньому з течією часу. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і тільки після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвелла як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII віці одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксий Ньютона. Закони Ньютона являють собою математичну модель механічного руху. Через звичайні диференціальні рівняння йшли додатки нового числення до задач геометрії і механіки; при цьому вдалося вирішити задачі, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Леверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. У цей час теорія звичайних диференціальних рівнянь являє собою багату, широко розгалужену теорію. Одними з основних задач цієї теорії є існування у диференціальних рівнянь таких рішень, які задовольняють додатковим умовам (початкові дані Коши, коли потрібно визначити рішення, що приймає задані значення в деякій точці і задані значення похідних до деякого кінцевого порядку, крайові умови і інші), единственность рішення, його стійкість. Під стійкістю рішення розуміють малі зміни рішення при малих змінах додаткових даних задачі і функцій, що визначають саме рівняння. Важливими для додатків є дослідження характеру рішення, або, як говорять, якісної поведінки рішення, знаходження методів чисельного рішення рівнянь. Теорія повинна дати в руки інженера і фізика методи економного і швидкого обчислення рішення.

Рівняння з приватними похідними почали вивчатися значно пізніше. Треба підкреслити, що теорія рівнянь з приватними похідними виникла на основі конкретних фізичних задач, що приводять до дослідження окремих рівнянь з приватними похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних задач привело до створення в середині XVIII віку нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

Основи цієї науки були закладені трудами Д'Аламбера (1717 - 1783), Ейлера (1707 - 1783), Бернуллі (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) і інших вчених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математикою, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних задач математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX віки основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвильове рівняння.

Тут ми передбачаємо, що функція u залежить від t і трьох змінних x1, x2, x3. Рівняння з приватними похідними - це співвідношення між незалежними змінними, невідомою функцією і її приватними похідними до деякого порядку. Аналогічно визначається система рівнянь, коли є декілька невідомих функцій.

Хіба не дивним є той факт, що таке простої за формою рівняння, як рівняння Лапласа, містить в собі величезне багатство чудових властивостей, має самі різноманітні додатки, про нього написані багато які книги, йому присвячені багато які сотні статей, опублікованих протягом останніх сторіч, і, незважаючи на це, залишилося ще багато важких пов'язаних з ним невирішених проблем.

До вивчення рівняння Лапласа приводять самі різноманітні фізичні задачі абсолютно різної природи. Це рівняння зустрічається в задачах електростатики, теорії потенціалу, гідродинаміки, теорії теплопередачі і багатьох інших розділах фізики, а також в теорії функцій комплексного змінного і в різних областях математичного аналізу. Рівняння Лапласа є найпростішим представником широкого класу так званих еліптичних рівнянь.

Тут, можливо, доречно пригадати слова А. Пуанкаре: "Математика - це мистецтво давати різним речам одне найменування". Ці слова є вираженням того, що математика вивчає одним методом, за допомогою математичної моделі, різні явища дійсного світу.

Так само як і рівняння Лапласа, важливе місце в теорії рівнянь з приватними похідними і її додатках займає рівняння теплопровідності. Це рівняння зустрічається в теорії теплопередачі, в теорії дифузії і багатьох інших розділах фізики, а також грає важливу роль в теорії імовірностей. Воно є найбільш простим представником класу так званих параболічних рівнянь. Деякі властивості рішень рівняння теплопровідності нагадують властивості рішень рівняння Лапласа, що знаходиться в згоді з їх фізичним значенням, оскільки рівняння Лапласа описує, зокрема, стаціонарний розподіл температури. Рівняння теплопровідності було виведене і уперше досліджене в 1822 році в славнозвісній роботі Ж. Фурье "Аналітична теорія тепла", яка зіграла важливу роль в розвитку методів математичної фізики і теорії тригонометричних рядів.

Хвильове рівняння описує різні хвильові процеси, зокрема поширення звукових хвиль. Воно грає важливу роль в акустиці. Це представник класу так званих гіперболічних рівнянь.

Вивчення основних рівнянь математичної фізики дало можливість провести класифікацію рівнянь і систем з приватними похідними. І.Г. Петровським в 30-е роки були виділені і уперше вивчені класи еліптичних, параболічних і гіперболічних систем, які тепер носять його ім'я. У цей час цей найбільш добре вивчені класи рівнянь.

Важливо відмітити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування рішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичної, хімічної, біологічної) не треба існування рішення відповідної математичної задачі.

У цей час важливу роль в розвитку теорії диференціальних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інакших властивостей їх рішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і послужать підмурівком для подальших теоретичних досліджень.

Обчислювальний експеримент став також могутнім засобом теоретичних досліджень в фізиці. Він проводиться над математичною моделлю фізичного явища, але при цьому по одних параметрах моделі обчислюються інші параметри і робляться висновки про властивості фізичного явища, що вивчається. Мета обчислювального експерименту - побудова з необхідною точністю з допомогою ЕОМ за можливо менший машинний час адекватного кількісного опису фізичного явища, що вивчається. У основі такого експерименту дуже часто лежить чисельне рішення системи рівнянь з приватними похідними. Звідси відбувається зв'язок теорії диференціальних рівнянь з обчислювальною математикою і, зокрема, з такими її важливими розділами, як метод кінцевих різниць, метод кінцевих елементів і інші.

Отже, перша межа теорії диференціальних рівнянь - її тісний зв'язок з додатками. Іншими словами, можна сказати, що теорія диференціальних рівнянь народилася з додатків. У цьому своєму розділі - теорії диференціальних рівнянь - математика передусім виступає як невід'ємна частина природознавства, на якій засновується висновок і розуміння кількісних і якісних закономірностей, що становлять зміст наук про природу.

Саме природознавство є для теорії диференціальних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, воно в значній мірі визначає напрям їх досліджень, дає правильну орієнтацію цим дослідженням. Більш того диференціальні рівняння не можуть плідно розвиватися у відриві від фізичних задач. І не тільки тому, що природа багатше за людську фантазію. Розвинена в останні роки теорія про нерозв'язність деяких класів рівнянь з приватними похідними показує, що навіть дуже прості за формою лінійні рівняння з приватними похідними з коефіцієнтами, що нескінченно диференціюються можуть не мати жодного рішення не тільки в звичайному значенні, але також і в класах узагальнених функцій, і в класах гіперфункцій, і, отже, для них не може бути побудована змістовна теорія (теорія узагальнених функцій, що узагальнює основне поняття математичного аналізу - поняття функції, була створена в середині нашого століття трудами С.Л. Собольова і Л. Шварца).

Вивчення рівнянь з приватними похідними в загальному випадку - так складна задача, що якщо хто-небудь наздогад напише яке-небудь навіть лінійне диференціальне рівняння з приватними похідними, то з великою імовірністю жоден математик не зможе про нього сказати що-небудь і, зокрема, з'ясувати, чи має це рівняння хоч би одне рішення.

Задачі фізики і інших природних наук забезпечують теорію диференціальних рівнянь проблемами, з яких зростають багаті змістом теорії. Однак буває і так, що математичне дослідження, народжене в рамках самої математики, через значний час після його проведення знаходить додаток в конкретних фізичних проблемах внаслідок їх більш глибокого вивчення. Таким прикладом може служити задача Трікомі для рівнянь змішаного типу, яка опісля більше за чверть віку після її рішення знайшла важливі застосування в задачах сучасної газової динаміки при вивченні надзвукових течій газу.

Ф. Клейн в книзі "Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі" писав, що "математика супроводила по п'ятах фізичне мислення і, зворотно, отримала найбільш могутні імпульси з боку проблем, що висувалися фізикою".

Другою особливістю теорії диференціальних рівнянь є її зв'язок з іншими розділами математики, такими, як функціональний аналіз, алгебра і теорія імовірностей. Теорія диференціальних рівнянь і особливо теорія рівнянь з приватними похідними широко використовують основні поняття, ідеї і методи цих областей математики і, більш того впливають на їх проблематику і характер досліджень. Деякі великі і важливі розділи математики були викликані до життя задачами теорії диференціальних рівнянь. Класичним прикладом такої взаємодії з іншими областями математики є дослідження коливань струни, що проводилися в середині XVIII століття.

Рівняння коливань струни було виведене Д'Аламбером в 1747 році. Він отримав також формулу, яка дає рішення цього рівняння: u(t, х) = F1(х + t) + F2(х - t), де F1 і F2 - довільні функції. Эйлер отримав для нього формулу, яка дає для нього рішення із заданими початковими умовами (задача Коши). (Ця формула в цей час називається формулою Д'Аламбера.) Виникло питання, які функції вважати рішенням. Эйлер вважав, що це може бути довільно накреслена крива. Д'Аламбер вважав, що рішення повинно записуватися аналітичним вираженням. Д. Бернуллі затверджував, що всі рішення представляються у вигляді тригонометричних рядів. З ним не погоджувалися Д'Аламбер і Ейлер. У зв'язку з цією суперечкою виникли задачі про уточнення поняття функції, найважливішого поняття математичного аналізу, а також питання про умови представимости функції у вигляді тригонометричного ряду, який пізніше розглядали Фурье, Діріхле і інша велика математика і вивчення якого привело до створення теорії тригонометричних рядів. Як відомо, потреби розвитку теорії тригонометричних рядів привели до створення сучасної теорії міри, теорії множин, теорії функцій.

При вивченні конкретних диференціальних рівнянь, виникаючих в процесі рішення фізичних задач, часто створювалися методи, що володіють великою спільністю і що застосовувалися без суворого математичного обгрунтування до широкого кола математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фурье, метод Рітца, метод Галеркина, методи теорії обурень і інші. Ефективність застосування цих методів з'явилася однією з причин спроб їх суворого математичного обгрунтування. Це приводило до створення нових математичних теорій, нових напрямів досліджень. Так виникла теорія інтеграла Фурье, теорія розкладання по власних функціях і, далі, спектральна теорія операторів і інші теорії.

У перший період розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь однієї з основних задач було знаходження загального рішення в квадратурах, тобто через інтеграли від відомих функцій (цим займалися Ейлер, Ріккаті, Лагранж, Д'Аламбер і інш.). Задачі інтегрування диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами вплинули великий чином на розвиток лінійної алгебри. У 1841 році Ліувілль показав, що рівняння Ріккаті y' + a(х)у + b(х)y2 = з(х) не може бути в загальному випадку дозволено в квадратурах. Вивчення безперервних груп перетворень в зв'язку із задачами інтегрування диференціальних рівнянь привело до створення теорії чи груп.

Початок якісної теорії диференціальних рівнянь був встановлений в роботах славнозвісного французького математика Пуанкаре. Ці дослідження Пуанкаре по звичайних диференціальних рівняннях привели його до створення основ сучасної топології.

Таким чином, диференціальні рівняння знаходяться як би на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові важливі досягнення в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій і інших областях математики відразу ж приводять до прогресу в теорії диференціальних рівнянь і тим самим знаходять шлях до додатків. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференціальних рівнянь, викликають до життя нові напрями в математиці, приводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, що мають внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.

У своїх "Лекціях про розвиток математики в XIX сторіччі" Ф. Клейн писав: "Математика в наші дні нагадує збройове виробництво в мирний час. Зразки захоплюють знавця. Призначення цих речей відходить на задній план."

Незважаючи на ці слова, можна сказати, що не можна стояти за "роззброєння" математики. Пригадаємо, наприклад, що древні греки вивчали конічні перетини задовго до того, як було відкрито, що по них рухаються планети. Дійсно, створена древніми греками теорія конічних перетинів не знаходила свого застосування майже дві тисячі років, поки Кеплер не скористався нею для створення теорії руху небесних тіл. Виходячи з теорії Кеплера, Ньютон створив механіку, що є основою всієї фізики і техніки.

Іншим таким прикладом може служити теорія груп, що зародилася в кінці XVIII століття (Лагранж, 1771 рік) в надрах самої математики і що знайшла лише в кінці XIX століття плідне застосування спочатку в кристалографії, а пізніше в теоретичній фізиці і інших природних науках. Повертаючись до сучасності, помітимо, що найважливіші науково-технічні задачі, такі, як оволодіння атомною енергією, космічні польоти, були успішно вирішені в Радянському Союзі також завдяки високому теоретичному рівню розвитку математики в нашій країні.

Таким чином, в теорії диференціальних рівнянь ясно простежується основна лінія розвитку математики: від конкретного і приватного через абстракцію до конкретного і приватного.

Як вже говорилося, в XVIII і XIX віках вивчалися в основному конкретні рівняння математичної фізики. З загальних результатів теорії рівнянь з приватними похідними в цей період потрібно відмітити побудову теорії рівнянь з приватними похідними першого порядку (Монж, Коши, Шарпі) і теорему Ковальовської.

Теореми про існування аналітичного (тобто представимого у вигляді статечного ряду) рішення для звичайних диференціальних рівнянь, а також для лінійних систем рівнянь з приватними похідними були доведені раніше Коши (Cauchy, 1789 - 1857). Ці питання розглядалися їм в декількох статтях. Але роботи Коши не були відомі Вейерштрассу, який запропонував С.В. Ковальовської вивчити питання про існування аналітичних рішень рівнянь з приватними похідними як докторська дисертація. (Відмічу, що Коши опублікував 789 статей і велике число монографій; його спадщина величезна, тому недивна, що деякі його результати могли залишитися деякий час непоміченими.) С.В. Ковальовська в своїй роботі спиралася на лекції Вейерштрасса, де розглядалася задача з початковими умовами для звичайних диференціальних рівнянь. Дослідження Ковальовської додало питанню про вирішуваність задачі Коши для рівнянь і систем з приватними похідними в певному значенні завершальний характер. Пуанкаре високо цінив цю роботу Ковальовської. Він писав: "Ковалевская значно спростила доказ і додала теоремі остаточну форму".

Теорема Ковальовської поміщається важливу в сучасній теорії рівнянь з приватними похідними. Їй, мабуть, належить одне з перших місць по числу застосувань в різних областях теорії рівнянь з приватними похідними: теорема Хольмгрена про единственности рішення задачі Коши, теореми існування рішення задачі Коши для гіперболічних рівнянь (Шаудер, Петровський), сучасна теорія вирішуваність лінійних рівнянь і багато які інші результати використовують теорему Ковальовської.

Важливим досягненням теорії рівнянь з приватними похідними з'явилося створення на рубежі XIX віку теорії інтегральних рівнянь Фредгольма і рішення основних крайових задач для рівняння Лапласа. Можна вважати, що основні підсумки розвитку теорії рівнянь з приватними похідними XIX віку підведені в підручнику Е. Гурса "Курс математичного аналізу", виданому в 20-е роки нашого віку. Потрібно відмітити великий внесок, який внесли в теорію диференціальних рівнянь і математичну фізику труди М.В. Остроградського по варіаційних методах, труди А.М. Ляпунова по теорії потенціалу і по теорії стійкості руху, труди В.А. Стеклова по обгрунтуванню методу Фурье і інші.

Тридцяті і подальші роки нашого віку були періодом бурхливого розвитку загальної теорії рівнянь з приватними похідними. У роботах І.Г. Петровського були закладені основи загальної теорії систем рівнянь з приватними похідними, виділені класи систем рівнянь, які в цей час носять назву еліптичних, гіперболічних і параболічних по Петровському систем, досліджені їх властивості, вивчені характерні для них задачі.

У теорію рівнянь з приватними похідними все глибше стали проникати ідеї функціонального аналізу. Було введене поняття узагальненого рішення як елемента деякого функціонального простору. Ідея узагальненого рішення систематично проводилася в роботах С.Л. Собольова. У зв'язку з дослідженням диференціальних рівнянь Соболевим в 30-роки була створена теорія узагальнених функцій, що грає виключно важливу роль в сучасній математиці і фізиці. С.Л. Собольовим була побудована теорія вкладення функціональних просторів, які в цей час носять назву просторів Собольова. А.Н. Тіхоновим була побудована теорія некоректних задач.

Видатний внесок в сучасну теорію диференціальних рівнянь внесли російська математика Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, І.Г. Петровський, Л.С. Понтрягин, С.Л. Собольов, А.Н. Тіхонов і інші.

Вплив на розвиток теорії рівнянь з приватними похідними в нашій країні надав семінар, яким в 40-е і 50-е роки керували І.Г. Петровський, С.Л. Собольов, А.Н. Тіхонов. Значну роль в розвитку теорії рівнянь з приватними похідними зіграла проблемно-оглядова стаття І.Г. Петровського "Про деякі проблеми теорії рівнянь з приватними похідними", опублікована в 1946 році в журналі "Успіхи математичних наук". У ній викладений стан теорії рівнянь з приватними похідними того часу і намічені шляху її подальшого розвитку. Тепер, через майже 50 років, можна сказати, що розвиток теорії рівнянь з приватними похідними йшов саме по тому шляху, який був такий, що накреслюється в цій чудовій статті.

У цей час теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними являє собою багату, сильно розгалужену теорію. Побудована теорія крайових задач для еліптичних операторів на основі недавно створеного нового апарату - теорії псевдодиференціальних операторів, вирішена проблема індексу, вивчені змішані задачі для гіперболічних рівнянь. Важливу роль в сучасних дослідженнях гіперболічних рівнянь грають інтегральні оператори Фурье, які узагальнюють оператор перетворення Фурье на той випадок, коли фазова функція в показнику експоненти, взагалі говорячи, нелінійно залежить від незалежних змінних і частот. За допомогою інтегральних операторів Фурье вивчене питання про поширення особливостей рішень диференціальних рівнянь, ведуче початок від класичних робіт Гюйгенса. У останні десятиріччя знайдені умови коректної постановки крайових задач, досліджені питання гладкості рішень для еліптичних і параболічних систем. Вивчені нелінійні еліптичні і параболічні рівняння другого порядку і широкі класи нелінійних рівнянь першого порядку, досліджена для них задача Коши, побудована теорія розривних рішень. Глибокому вивченню були піддані система Навье-Стокса, система рівнянь прикордонного шара, рівняння теорії пружності, рівняння фільтрації і багато які інші важливі рівняння математичної фізики.

Цікавим прикладом залучення ідей і коштів з інших областей математики є рішення в останні роки задачі Коши для рівняння Кортевега-де Фріса за допомогою зворотної задачі теорії розсіяння. На основі виниклого при цьому методу знайдені нові класи нелінійних рівнянь, що інтегруються і систем. При цьому істотну роль зіграло застосування методів алгебраїчної геометрії, що дозволило, зокрема, проинтегрировать рівняння Янга-Миллса, що грають важливу роль в квантовій теорії поля.

У останні десятиріччя виник і інтенсивно розвивається новий розділ теорії рівнянь з приватними похідними - теорія усереднення диференціальних операторів. Ця теорія виникла під впливом задач фізики, механіки суцільної середи і техніки, зокрема, пов'язаних з вивченням композитов (сильно неоднорідних матеріалів, що широко використовуються в цей час в інженерній техніці), пористих серед, перфорованих матеріалів. Такі задачі приводять до рівнянь з приватними похідними з швидко осциллирующими коефіцієнтами або в областях зі складною межею. Чисельне рішення такого роду задач надто скрутне. Необхідний асимптотический аналіз задачі, що і приводить до задач усереднення.

Багато робіт в останні роки присвячено вивченню поведінки рішень еволюційних рівнянь (тобто рівнянь, що описують процеси, що розвиваються у часі) при необмеженому зростанні часу і виникаючих при цьому так званих аттракторов. Продовжує привертати увагу дослідників питання про характер гладкості рішень крайових задач в областях з нерівною межею, велике число робіт в останні роки присвячене вивченню конкретних нелінійних задач математичної фізики.

За останні півтори - два десятки років сильно змінилося обличчя якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Одним з важливих досягнень є відкриття граничних режимів, які отримали назву аттракторов.

Виявилося, що поряд зі стаціонарними і періодичними граничними режимами можливі граничні режими абсолютно інакшої природи, а саме такі, в яких кожна окрема траєкторія нестійка, а саме явище виходу на даний граничний режим структурно стійке. Відкриття і докладне вивчення для систем звичайних диференціальних рівнянь таких граничних режимів, званих аттракторами, зажадало залучення коштів диференціальної геометрії і топології, функціонального аналізу і теорії імовірностей. У цей час відбувається інтенсивне впровадження цих математичних понять в додатки. Так, наприклад, явища, що відбуваються при переході ламінарної течії в турбулентне при підвищенні чисел Рейнольдса, описуються аттрактором. Вивчення аттракторов зроблене також і для рівнянь з приватними похідними.

Іншим важливим досягненням теорії звичайних диференціальних рівнянь з'явилося вивчення структурної стійкості систем. При використанні будь-якої математичної моделі виникає питання про коректність застосування математичних результатів до реальної дійсності. Якщо результат сильно чутливий до найменшої зміни моделі, то як бажано малі зміни моделі приведуть до моделі з абсолютно інакшими властивостями. Такі результати не можна розповсюджувати на досліджуваний реальний процес, оскільки при побудові моделі завжди проводиться деяка ідеалізація і параметри визначаються лише приблизно.

Це привело А.А. Андронова і Л.С. Понтрягина до поняття грубості системи звичайних диференціальних рівнянь або поняття структурної стійкості. Це поняття виявилося дуже плідним у разі малої розмірності фазового простору (1 або 2), і в цьому випадку питання структурної стійкості були детально вивчені.

У 1965 році Смейл показав, що при великій розмірності фазового простору існують системи, в деякій околиці яких немає жодній структурно стійкої системи, тобто такої, що при малій зміні векторного поля вона залишається в певному значенні еквівалентною первинною. Цей результат має фундаментальне значення для якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь, оскільки показує нерозв'язність задачі топологічний класифікації систем звичайних диференціальних рівнянь, і може бути порівнянний по своєму значенню з теоремою Ліувілля про нерозв'язність диференціальних рівнянь в квадратурах.

До важливих досягнень можна віднести побудову А.Н. Колмогоровим теорії обурень гамильтоновых систем, обгрунтування методу усереднення для багаточастковий систем, розвиток теорії бифуркаций, теорії обурень, теорії релаксационных коливань, подальше глибоке вивчення показників Ляпунова, створення теорії оптимального управління процесами, що описуються диференціальними рівняннями.

Таким чином, теорія диференціальних рівнянь в цей час являє собою виключно багатий змістом, розділ математики, що швидко розвивається, тісно пов'язаний з іншими областями математики і з її додатками.

Бурбаки, говорячи про архітектуру математики, так характеризує її сучасний стан:

"Дати в цей час загальне уявлення про математичну науку - значить займатися такою справою, яка, як здається, з самого початку наштовхується на майже непереборні труднощі завдяки обширність і різноманітності матеріалу, що розглядається. Статті по чистій математиці, що публікуються у всьому світі в середньому протягом одного року, складають багато які тисячі сторінок. Не всі вони, звісно, мають однакову цінність; проте, після очищення від неминучих покидьків виявляється, що кожний рік математична наука збагачується масою нових результатів, придбаває все більш різноманітний зміст і постійно дає відгалуження у вигляді теорій, які безупинно видозмінюються, перебудовуються, зіставляються і комбінуються один з одним. Жоден математик не в змозі прослідити цей розвиток у всіх подробицях, навіть якщо він присвятить цьому всю свою діяльність. Багато Хто з математиків влаштовується в якому-небудь закапелку математичної науки, звідки вони не прагнуть вийти і не тільки майже повністю ігнорують все те, що не стосується предмета їх досліджень, але не в силах навіть зрозуміти мову і термінологію своїх побратимів, спеціальність яких далека від них". (Н. Бурбаки, "Нариси по історії математики", М.: МУЛ, 1963 р.)

Однак не можна, як мені здається, заперечувати значення для математичних досліджень навіть тих, хто знаходиться "в закапелку" математичної науки. Основне русло математики, як і великої ріки, живлять передусім невеликі струмочки. Великі відкриття, прорив фронту досліджень дуже часто забезпечуються і підготовлюються копітким трудом дуже багатьох дослідників. Все сказане відноситься не тільки до всієї математики, але і до одного з самих обширних її розділів - теорії диференціальних рівнянь, яка в цей час являє собою важко обозримую сукупність фактів, ідей і методів, дуже корисних для додатків і стимулюючих теоретичні дослідження у всіх інших розділах математики.

Багато які розділи теорії диференціальних рівнянь так розрослися, що стали самостійними науками. Можна сказати, що велика частина шляхів, зв'язуючих абстрактні математичні теорії і естественнонаучные додатку, проходить через диференціальні рівняння. Все це забезпечує теорії диференціальних рівнянь почесне місце в сучасній науці.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайта http://www.mmonline.ru/
Менталітет і стратегії російського бізнесу
Менталітет Російський менталітет придбав статус універсальної виправдувальною причини невдач впровадження «правильних» теорій. Йому дійсно не можна відмовити в праві вважатися найважливішим чинником бізнесу. Однак це не такий мінливий фактор, як, наприклад, споживчий ринок або оподатковуваний

Періодичний закон Д.І. Менделєєва
Фізичний сенс хімічної періодичності. "Властивості елементів, а тому і утворених ними простих і складних тіл (речовин), стоять у періодичній залежності від їх атомної ваги". Сучасна формулювання: "Властивості хімічних елементів (тобто властивості і форма утворених ними сполук)

Розрізнення між істинністю і обгрунтованістю знання
Млинців А.К. Ми можемо знати деякий факт тільки в тому випадку, якщо ми маємо істинну вважаючу про нього. Однак, оскільки не все, а тільки деякі істинні вважаючого є знанням, то одне з центральних питань эпистемологии - що обертає просто істинну вважаючу в повноцінне знання? Як відомо, види

Теорія електролітичноїдисоціації
Концентрація розчинів. Способи вираження концентрації розчинів. Існують різні способи вираження складу розчину. Найбільш часто використовують масову частку розчиненої речовини, молярна і нормальну концентрацію. Масова частка розчиненої речовини w (B) - це безрозмірна величина, що дорівнює

Наш Всесвіт не самотній
Всього двадцять років тому астрономи за допомогою телескопів щонайбільше могли оглядати не більш двох відсотків об'єму нашого Всесвіту. Так говорить А. Ренцині, співробітник однієї з найбільших в світі обсерваторій - Європейської Південної. "А сьогодні, - продовжує він, - ми спроможний

Українська політика Катерини II
Реферат по історія України виконав Корольов І. В. Кримська академія природоохоронного і курортного будівництва (КАПКБ) АРК Крим, м Сімферополь, Політика, що проводиться Катериною II , отримала назву "освічений абсолютизм". Як і в деяких країнах Європи, ця політика передбачала співіснування

Роль конфліктів в бізнесі-плануванні
Конфлікти завжди будуть супроводити бізнесу. Як правило, гострі конфлікти виникають, коли до виконання проекту притягуються працівники, які повинні звітувати перед двома начальниками: керівником функціонального відділу, в штаті якого знаходяться і від якого залежить їх кар'єра, і перед проектом-менеджером,

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати