На головну    

 Фінансова рента - Економіко-математичне моделювання

Фінансові ренти. Коефіцієнти нарощення фінансової ренти

Фінансові операції часто носять тривалий характер і складаються не з разового платежу, а з їх послідовності, тобто з потоку платежів.

Потік платежів, всі члени якого позитивні величини, а часові інтервали постійні, називають фінансовою рентою або ануїтетом [5, с.46].

Основні правила процентних обчислень, розглянуті нами раніше, залишаються незмінними і для сукупності платежів, проте виникає необхідність ввести кілька додаткових понять. У фінансовому аналізі для позначення грошових потоків у найбільш загальному сенсі використовується термін рента.

Окремим випадком ренти є фінансова рента або ануїтет - такий потік платежів, усі члени якого дорівнюють один одному, так само як і інтервали часу між ними.

Часто аннуитетом називають фінансовий актив, що приносить фіксований дохід щорічно протягом ряду років [7, с.28].

У буквальному перекладі "ануїтет" має на увазі, що платежі відбуваються з інтервалом в один рік, проте зустрічаються потоки з іншою періодичністю виплат.

Очевидно, що рента - це ширше поняття, ніж ануїтет, так як існує безліч грошових потоків, члени яких не рівні один одному або розподілені нерівномірно [7, с.28].

Форму ануїтетів мають багато фінансові потоки, наприклад виплата доходів за облігаціями або платежі по кредиту, страхові внески. Можна сказати, що фінанси тяжіють до впорядкування грошових потоків.

Принцип тимчасової цінності грошей унеможливлює пряме підсумовування членів ренти. Для врахування впливу фактора часу до кожного члена ренти застосовуються розглянуті вище правила нарощення і дисконтування тільки складних відсотків, тобто передбачається, що одержувач потоку має можливість реінвестувати одержувані ним суми.

Якби розміри рент завжди обмежувалися двома-трьома членами, то необхідність створення спеціальних способів розрахунку грошових потоків, можливо, і не виникла.

Ні в теорії, ні на практиці таких обмежень немає, навпаки, існують великі, дуже великі і навіть нескінченні грошові потоки (вічні ренти), тому були розроблені спеціальні методи, що дозволяють аналізувати ренту не по кожному її члену окремо, а як єдину сукупність - розраховувати її майбутню і наведену величини, а також визначати розміри інших важливих параметрів ренти.

Фінансова рента має наступні параметри:

член ренти - величина кожного окремого платежу;

період ренти - часовий інтервал між двома сусідніми платежами, термін ренти - час, виміряний від початку фінансової ренти до кінця її останнього періоду;

процентна ставка - ставка, яка використовується при нарощенні або дисконтуванні платежів, що утворюють ренту, число платежів на рік, число нарахувань відсотків на рік, моменти платежу всередині періоду ренти [3, с.62].

Класифікація рент може бути проведена за різними ознаками.

Залежно від тривалості періоду, ренти ділять на річні та p-термінові, де p - число виплат у році.

За кількістю нарахувань відсотків розрізняють ренти з нарахуванням один в році, m раз або безперервно. Моменти нарахування відсотків можуть не збігатися з моментами рентних платежів [5, с.47].

За величиною членів розрізняють постійні (з рівними членами) і змінні ренти.

Якщо розміри платежів змінюються за будь - яким математичному закону, то часто з'являється можливість вивести стандартні формули, значно спрощують розрахунки.

За ймовірністю виплати членів розрізняють ренти вірні і умовні.

Вірні ренти підлягають безумовній виплаті, наприклад, при погашенні кредиту. Виплата умовної ренти ставиться в залежність від настання деякої випадкової події. Тому число її членів заздалегідь невідомо. Наприклад, число виплат пенсій залежить від тривалості життя пенсіонера.

За кількістю членів розрізняють ренти з кінцевим числом членів або обмежені і нескінченні або вічні. В якості вічної ренти можна розглядати виплати по облігаційних позиках з необмеженими або не фіксували термінами.

Залежно від наявності зсуву моменту початку ренти по відношенню до початку дії контракту або якому-небудь іншому моменту ренти поділяються на негайні та відстрочені або відстрочені. Термін негайних рент починається відразу, а у відкладених запізнюється.

Ренти розрізняють по моменту виплати платежів.

Якщо платежі здійснюються в кінці кожного періоду, то такі ренти називаються звичайними або постнумерандо. Якщо ж виплати проводяться на початку кожного періоду, то ренти називаються пренумерандо. Іноді передбачаються платежі в середині кожного періоду.

Аналіз потоків платежів в більшості випадків передбачає розрахунок нарощеної суми або сучасної величини ренти.

Розглянемо розрахунок сучасної вартості і нарощеної суми постійної звичайної (постнумерандо) p - термінової ренти [4, с.84].

Щорічно сума R вноситься рівними частками p раз на рік на банківський рахунок протягом n років. Тоді маємо потік з np платежів велічінойкаждий в моменти.

Приймемо за одиницю виміру часу 1 рік.

Нехай i - річна ефективна процентна ставка нарахування складних відсотків на що надходять платежі.

Згідно з визначенням сучасної вартості потоку платежів, отримуємо

(1)

Обчислюючи суму np членів геометричної прогресії, знаменник якої, отримаємо:

(2)

сучасна вартість постійної звичайної p - термінової ренти при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз на рік упродовж n років.

Звідси сучасна вартість річної звичайної ренти (p = 1) при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз в році:

. (3)

Використовуючи співвідношення еквівалентності для ефективної процентної ставки

і,

отримаємо сучасну вартість звичайної p - термінової ренти при нарахуванні на члени ренти складних відсотків m раз на рік за номінальною процентною ставкою i (m) і безперервному нарахуванні відсотків при постійній інтенсивності відсотків ? на рік:

(4)

. (5)

Формули для нарощеної суми ренти можна отримати безпосередньо за визначенням згідно з формулою (3).

Наприклад, для постійної звичайної p - термінової ренти при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз на рік упродовж n років отримуємо:

. (6)

Нарощену суму ренти можна розрахувати, використовуючи формулу зв'язку сучасної вартості і нарощеної суми потоку платежів.

Наприклад, для річної ренти при нарахуванні відсотків один раз на рік:

S = A F (T) = A (1 + i) n = (7)

Для інших видів звичайної ренти з (4) і (5), використовуючи множники наращеніяісоответственно, отримаємо:

(8)

(9)

Зокрема, при m = p (період нарахування відсотків дорівнює періоду ренти) з (4) і (8) отримуємо

(10)

(11)

Якщо одиницею виміру часу є 1 рік, а R - це виплата за рік (одиницю часу), то множник у формулах сучасної вартості ренти, рівний, називається коефіцієнтом дисконтування ренти.

Множник у формулах нарощеної суми ренти, рівний, називається коефіцієнтом нарощення ренти.

З (1) - (11) можна отримати коефіцієнти нарощення і дисконтування всіх розглянутих видів звичайної ренти.

Згідно (1) і (5), коефіцієнти дисконтування і нарощення звичайної p - термінової ренти з нарахуванням відсотків 1 раз на рік упродовж n років рівні відповідно:

(12)

(13)

и- це відповідно сучасна вартість і нарощена сума постійної звичайної p - термінової ренти з щорічною виплатою 1 д. е. рівними частками p раз на рік у розмірі моменти временіс нарахуванням на члени ренти відсотків 1 раз в році.

Отже, ісвязани співвідношенням (14):

= (1 + i) n (14)

Аналогічний сенс мають коефіцієнти дисконтування і нарощення інших розглянутих видів звичайної ренти.

Для цих рент маємо співвідношення:

- Річна рента з нарахуванням відсотків 1 раз на рік;

- P - термінова рента з нарахуванням відсотків m раз на рік;

- P - термінова рента з безперервним нарахуванням відсотків.

Коефіцієнти дисконтування і нарощення річної ренти при нарахуванні відсотків один раз на рік:

і (15)

Якщо застосовується p - термінова рента з нарахуванням відсотків p раз на рік (m = p) за річною номінальною ставкою i (p), то за одиницю виміру часу можна прінятьчасть року. Тоді- виплата за одиницю часу (постнумерандо), - процентна ставка за 1 одиницю часу,

термін ренти - np одиниць часу.

Коефіцієнти дисконтування і нарощення такої ренти рівні відповідно

і.

З формул (10), (11) маємо

, (16),

що дозволяє для цієї ренти використовувати ті ж таблиці коефіцієнтів. Зауважимо, що якщо одиницею виміру часу є 1 рік, то коефіцієнти дисконтування і нарощення цієї ренти визначаються як = і = і розраховуються за формулами, отриманими з (10), (11):

, (17). Тоді

= І = (18)

Розглянемо ренту пренумерандо.

Зв'язок між коефіцієнтами дисконтування і нарощення рент пренумерандо і постнумерандо випливає з їх визначення. Термін дисконтування кожного платежу ренти пренумерандо зменшується, а термін нарощення збільшується на один період ренти в порівнянні із звичайною рентою. По - колишньому одиницею виміру часу вважаємо 1 рік. Есліі- коефіцієнти дисконтування і нарощення p - термінової ренти пренумерандо (платежі надходять на початку кожного періоду завдовжки) при нарахуванні на члени ренти відсотків 1 раз на рік, то справедливі співвідношення:

=

=

= (1 + i) n.

Звідси при p = 1 отримуємо співвідношення для річних рент:

=

=

= (1 + i) n.

При безперервному нарахуванні відсотків для p - термінової ренти маємо співвідношення:

=

.

Розглянемо безперервну ренту.

Коефіцієнти дисконтування і нарощення постійної безперервної ренти можна отримати з формул для p - термінової ренти пріілі за визначенням для безперервного рівномірно виплачуваного потоку платежів з постійною річний інтенсивністю f (t) = 1.

Наприклад, для постійної безперервної ренти при безперервному нарахуванні відсотків по постійній силі ростаполучаем:

,

де-коефіцієнт дисконтування звичайної p - термінової ренти при безперервному нарахуванні відсотків.

Зауважимо, що так як

,

де-коефіцієнт дисконтування p - термінової ренти пренумерандо при безперервному нарахуванні відсотків, то

.

Дійсно, при безперервно надходять платежі відмінність між рентами пренумерандо і постнумерандо зникає.

Коефіцієнт дисконтування постійної безперервної ренти при нарахуванні відсотків один раз на рік отримаємо за визначенням:

.

Коефіцієнти нарощення безперервних рент можна знайти з рівності виду:

=,

=.

Співвідношення між коефіцієнтами дисконтування розглянутих трьох видів рент - звичайної, пренумерандо і безперервної - можна встановити з таких міркувань.

Так як

,

де i (p) -еквівалентная річна номінальна процентна ставка, то

.

З іншого боку,

.

Отже

, (19)

де, - коефіцієнти дисконтування звичайної річної ренти з нарахуванням відсотків 1 раз на рік і постійної безперервної ренти при безперервному нарахуванні відсотків.

Рівності (19) можна продовжити для ренти пренумерандо, якщо врахувати співвідношення коефіцієнтів дисконтування обох рент:

і.

Тоді

==. (20)

де- еквівалентна облікова ставка.

З (19), (20) отримуємо

, (21)

де- еквівалентна номінальна облікова ставка.

Кожен вираз в цій рівності - сучасна вартість відсотків, що виплачуються за позикою 1 д. Е. Протягом n років у відповідності з різними способами виплати відсотків.

Аналогічні співвідношення можна отримати і для коефіцієнтів нарощення рент.

Якщо вважають, що термін ренти n = ?, то ренту називають вічною. Нарощена сума вічної ренти нескінченна. Однак сучасну величину такої ренти можна знайти.

Для звичайної вічної p - термінової ренти з нарахуванням відсотків 1 раз на рік отримуємо при n > ?:

.

Для такої ж ренти пренумерандо:

.

Крім того ,.

Таким чином ,,,. (21)

Якщо вічна рента є річний (p = 1), то маємо:

,,. (22)

Якщо початок ренти, тобто початок її першого періоду, переноситься в майбутнє на t одиниць часу щодо поточного моменту t = 0, то таку ренту називають відстроченої. Сучасна вартість відстроченої ренти Atопределяется наступним чином. Згідно з визначенням сучасної вартості потоку платежів,

,

де ,, - дисконтні множники k - го платежу на часових відрізках [0, tk], [t, tk], [0, t] відповідно. Так як, то A - вартість ренти, розрахована на момент початку її першого періоду, тобто на момент початку неотсроченной ренти.

Отже, A - це сучасна вартість неотсроченной ренти.

Таким чином, сучасна вартість відстроченої ренти визначається шляхом дисконтування за процентною ставкою ренти протягом часу t сучасної вартості A неотсроченной ренти:

, (23)

Розглянемо залежність коефіцієнтів нарощення ренти від терміну ренти і відсоткової ставки.

Оскільки характер залежності не повинен залежати від числа платежів в році, розглянемо річну звичайну ренту з нарахуванням відсотків 1 раз на рік.

Маємо ,.

Ситуацію можна розглядати як безвідсотковий борг, виданий в сумі n і повертається рівними частками протягом n років.

Встановимо залежність від i коефіцієнта нарощення ренти.

.

Очевидно, - зростаюча функція i, що випливає з властивостей нарощеної суми разового платежу. Дійсно, так каки, ??то- зростаюча опукла функція аргументу i (рис.1).

Рис.1.

3) Встановимо залежність від i коефіцієнта дисконтування ренти.

.

Очевидно, - спадна функція i, що випливає з властивостей сучасної вартості разового платежу. Дійсно, так каки, ??то- спадна опукла функція аргументу i (рис.2).

Рис. 2

Встановимо залежність від n коефіцієнта нарощення ренти.

, Де.

Так каки, ??то- зростаюча опукла функція аргументу n (рис.3).

Рис. 3

Встановимо залежність від n коефіцієнта дисконтування ренти.

,

де.

Так каки (вічна рента), то- зростаюча увігнута функція аргументу n (рис.4).

Рис.4

Ці властивості використовуються в задачах на визначення параметрів ренти.

Задача.

Розкрій матеріалу.

На розкрій (розпил) надходить матеріал кількох видів в певній кількості. З цього матеріалу необхідно виготовити різні вироби. Матеріал може бути розкроєний різними способами. Кожен спосіб має свою собівартість і дозволяє отримати різну кількість виробів кожного виду. Визначити спосіб розкрою, при якому сумарна собівартість мінімальна (побудувати математичну модель в загальному вигляді).

Рішення:

Нехай надходить в розкрій m різних матеріалів.

Потрібно виготовити з них k різних комплектуючих виробів (комплектів) у кількостях, пропорційних величинам b1, b2,., Bk (умови комплектності).

Нехай кожну одиницю j-го матеріалу j = 1,., M можна розкроїти n різними способами, так що при використанні i-го способу розкрою, i = 1,., N отримаємо аijедініц k-го виробу.

Потрібно визначити такий план розкрою матеріалів, що забезпечує максимальну кількість комплектів, якщо наявний запас j-го матеріалу складає аjедініц.

Позначимо через xijколічество одиниць j-го матеріалу, розкроюємо i-м способом, а через x-загальна кількість виготовлених комплектів.

Математична модель цієї задачі має такий вигляд:

максимізувати x (1)

при умовах

Умова 2 означає обмеження на запас j-го матеріалу, а умова 3 - умова комплектності.

Список використаної літератури

1. Багриновский К. Матюшок В. Економіко-математичні методи і моделі: Підручник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М .: Економіст, 1999. - 185с.

2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Фінансова математика: Підручник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М .: Гардарики, 2002. - 624с.

3. Кузнєцов Б.Т. Фінансова математика: Навчальний посібник / Б.Т. Кузнєцов. - М .: Іспит, 2005. - 128с.

4. Кутуков В.Б. Основи фінансової та страхової математики: Методи розрахунку кредитних, інвестиційних, пенсійних і страхових схем. - М .: Справа, 1998. - 304с.

5. Лукашин Ю.П. Фінансова математика: Навчальний посібник / Ю.П. Лукашин. - М .: МФПА, 2004. - 81С.

6. Малихін В.І. Фінансова математика / В.І. Малихін. - М .: Юніті - Дана, 2003. - 237с.

7. Меньшиков С. Рентабельність і рента / С. Меньшиков // Економічне стратегії. - 2004. - №1. - С.28-31.

8. Четиркін Є.М. Фінансова математика / Е.М. Четиркін. - 4-е вид. - М .: Справа, 2004. - 400с.

© 8ref.com - українські реферати