Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Основні завдання обчислювальної математики - Математика

Основні завдання обчислювальної математики. Теорія похибок. Наближене обчислення значень функцій заданих аналітично. Оцінка похибки обчислень.

Робота сучасного інженера, фізика і будь-якого іншого дослідника пов'язана з моделюванням складних процесів, що відбуваються в різних галузях знань і діяльності людини. Найчастіше, моделювання є середньою ланкою в розробці проекту та його впровадження у виробництво. Процес проектування можна представити схематично: (рис 1).

рис 1.

Для дослідження властивостей збудованої математичної моделі, в більшості випадків, не вдається аналітично вирішити задачу. Тому, набирають чинності методи обчислювальної математики, які дозволяють рішення кожного завдання довести до числового результату і оцінити точність вироблених обчислень.

При роботі з наближеними величинами доводиться вирішувати такі завдання:

а) давати математичні характеристики точності наближених величин;

б) оцінювати точність результату, коли відома точність вихідних даних;

в) знаходити точність вихідних даних, що забезпечує задану точність результату;

г) погоджувати точність вихідних даних з тим, щоб не витрачати зайвої роботи при знаходженні або обчисленні одних даних, якщо інші дані занадто грубі;

а) Визначення: абсолютна похибка - це абсолютна величина різниці між точним значенням велічіниі її наближеним значенням:

(1.1)

Тут слід розрізняти два випадки:

- Точне значення чісланам відомо, що на практиці дуже рідко, тоді користуємося формулою (1.1).

Приклад 1: а = 5.129 а * = 5.128, тоді;

- Точне значення чісланеізвестно, тоді вводять поняття граничної абсолютної похибки.

Визначення: граничної абсолютної похибкою наближеного числа називають всяке число, що не меншу абсолютної похибки цього числа.

Таким чином, якщо-гранична абсолютна похибка наближеного числа, то

(1.2)

звідси випливає, що

(1.3)

Значення граничної абсолютної похибки, зазвичай, підбирається інтуїтивно за змістом задачі.

Приклад 2: Визначити граничну абсолютну похибку числа, що заміняє число, точне значення якого нам невідомо.

Так як ми знаємо, що, то можемо стверджувати:

(1.4)

і, отже ,, тобто можемо сказати, що

(1.5)

Поняття абсолютної похибки та граничної абсолютної похибки, хоча і дають уявлення про точність обчислень, однак не завжди достатні.

Наприклад: якщо при вимірюванні довжини стрижнів отримані результати: , То, незважаючи на збіг граничних абсолютних похибок, якість першого виміру вище другого, тому якщо похибка близька за величиною від самого наближеного числа, то точність цього виміру недостатня. Виданого прикладу зрозуміло, що для оцінки якості вимірювання, нам потрібна абсолютна похибка, яка припадає на одиницю довжини. Така похибка носить назву відносної похибки.

Визначення: відносної погрешностьюпрібліжённого чісланазивается відношення абсолютної погрешностіетого числа до модуля відповідного точного числа:

(1.6)

Оскільки точне значення велічінинам часто не відомо, чи то розглянемо поняття граничної відносної похибки.

Визначення: граничної відносної погрешностьюданного наближеного чісланазивается всяке число, що не меншу відносної похибки цього числа:

(1.7)

Звідси випливає, що

(1.8)

тобто

(1.9)

але, як відомо:

(1.10)

Зіставлення формул (1.9) і (1.10) дає співвідношення між граничною абсолютнойпогрешностью та граничної відносної похибкою:

(1.11)

З цієї формули іноді виражаюті пишуть:

(1.12)

Розглянемо приклади:

Приклад 3: Вага 1 дм3води пріравенг. Визначити граничну відносну похибку результату зважування.

Рішення: очевидно, що гранична абсолютна погрешностьг. і, отже:

(1.13)

Приклад 4: При визначенні газової постійної для повітря, отримали. Знаючи, що відносна похибка цього значення, знайти межі, в яких полягає R.

Рішення: маємо :, тоді, тобто

(1.14)

Тепер займемося вивченням поширення похибок через арифметичних дій.

б) Розглянемо функцію, нехай значення змінних, обчислені наближено, гдесоответствующіе абсолютні похибки.

Нас цікавить абсолютна і відносна похибки обчислених значень функції.

За визначенням видно, що абсолютна похибка функцііімеет вигляд:

зазвичай, тому, розкладаючи в ряд Тейлора, можна обмежитися лише лінійними членами по. Отримуємо:

(1.15)

Звідси отримуємо оцінку:

(1.16)

Тоді для граничних абсолютних похибок маємо:

(1.17)

Розділивши обидві частини (1.17) на, отримуємо граничну відносну похибку при обчисленні функції, в точці:

(1.18)

Або записуючи більш компактно:

(1.19)

Цю формулу можна переписати у вигляді:

(1.20)

в) Розглянемо окремі випадки:

1. Нехай. Вивчимо абсолютні та відносні похибки суми.

Рішення: тому

(1.21)

то з (1.17) отримуємо

(1.22)

Також з (1.18) отримуємо:

(1.23)

2. Нехай ,. Вивчимо абсолютні та відносні похибки різниці

Рішення:;, тому з (1.17) маємо

(1.24)

А з (1.18) отримуємо:

(1.25)

Ясно, що еслііблізкіе один до одного числа, тоочень мале число, тобто абсолютна похибка різниці буде дуже великим числом. Тому при обчисленнях, де це можливо, потрібно уникати віднімання близьких один до одного чисел.

Наприклад, якщо нам потрібно вести обчислення за формулою: - обсяг між двома сферами, де- дуже мале число. Тут краще позбутися віднімання і користуватися аналогічною формулою, тим самим, обходячи віднімання близьких чисел, яке може бути більше відносної похибки обчислень.

3. Вивчимо похибки твори чисел.

(1.26)

(1.27)

звідси очевидно, що

(1.28)

(1.29)

Таким чином, при множенні наближених чисел, відносні похибки складаються.

4. Розглянемо похибки ділення чисел.

(1.30)

, (1.31)

Тому

(1.32)

(1.33)

З вищевикладених окремих випадків випливає, що при обчисленнях на ЕОМ:

- Немає сенсу виробляти округлення перед складанням (тому збільшимо похибка);

- При відніманні треба всіляко уникати різниці близьких чисел;

- Якщо обчислюємо добуток чисел з k вірними знаками, то в результаті матимемо не менше k-1 вірних знаків;

- При діленні діють ті ж правила, що і при множенні, але треба уникати поділу на мале число (близьке до нуля).

Вищевикладена теорія похибок заснована на допущенні, що-похибки настільки малі, що їх квадратами можемо вже нехтувати (на цьому засноване «обрізання» формули Тейлора).

Тому всі введені формули втрачають силу, якщо ці умови порушені. У таких випадках потрібно використовувати і квадратичні члени, щоб отримати більш точну теорію.

Але треба враховувати, що в цьому випадку формули значно ускладнюються.

На закінчення розглянемо числовий приклад:

Приклад 5: Знайти граничні абсолютну і відносну похибки об'єму кулі, еслісм.,.

Рішення :;

маємо:

;;;

;;;

(1.34)

(1.35)

Вправа: вивести формули граничної абсолютної і відносної похибок для функції, а далі для многочленаі раціональної функції.

Приклад 6: Знайти суму наближених чисел: і.

Рішення:

, Т.е ..

Приклад 7: Знайти відносну похибку різниці чисел, якщо,

тобто якщо

Рішення:

Саме тому уникають віднімання наближених значень близьких один до одного чисел.

Приклад 8: Знайти добуток чисел, якщо всі знаки вірні: і.

Рішення :, т.к.і,

то маємо

и

отже

, Тобто

Остаточно маємо :.

Приклад 9: Відстань між двома пунктами по прямій равнокм.

За який час звук пошириться від одного пункту до іншого в повітрі і по рейках, якщо швидкість звуку в повітрі / с, а в сталі / с?

Рішення: (с.); (С.)

,

тобто

(С.) (С.)

(С.) (С.)
Очищення стічних вод целюлозно-паперових заводів
ВСТУП На сучасному етапі взаємодії людини з навколишнім середовищем на перший план висувається питання сталого розвитку регіонів і країни в цілому, який можна вирішити шляхом різкого скорочення споживання природних ресурсів та енергії зв'язку з постійним збільшенням водоспоживання у багатьох

Очищення стічних вод
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти «Оренбурзька ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Факультет харчових виробництв Кафедра екології та природокористування Розрахунок до дипломного проекту по розділу екологічна

Очищення і повторне використання технічної води та промислових стоків
Очищення і повторне використання технічної води та промислових стоків Введення У процесах експлуатації промислового устаткування утворюються стічні води, які вимагають спеціального очищення перед скиданням у каналізаційні системи. Найбільш поширеними забруднюючими речовинами в поверхневих

Оцінка стану міської системи м. Рівного
Міністерство освіти і науки України Національний університет водного господарства та природокористування Кафедра екології Курсова робота на тему: "Оцінка стану міської системи м. Рівного" Виконав Студент IV курсу групи ЕО-41і Перевірив: Слов'янськ 2009 Зміст Вступ

Охорона природи
Зміст Введення Розділ 1. Економічний аспект охорони природи Розділ 2. Екологічна етика і природоохранная естетика Список використаної літератури Вступ На початку ХХI століття різко посилилося деструктивне антропогенное, головним чином технологічне, тиск на навколишнє середовище, що привело

Охорона навколишнього середовища. Стандарти серії ІСО 14000
Зміст Введення 1. Екологічне управління і менеджмент 2. Екологічна стандартизація і сертифікація 3. Огляд стандартів серії ISO 14000 4. Принципи міжнародних стандартів ISO 14000 в російських умовах 5. Розвиток екологічного аудиту за кордоном і в сучасній Росії Висновок Список використаної літератури

Охорона тваринного світу
ДЕРЖАВНА ОБРАЗАТЕЛЬНОЕ УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «МОСКОВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ МІНІСТЕРСТВА ВНУТРІШНІХ СПРАВ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ БРЯНСКИЙ ФІЛІЯ» Контрольна робота Дисципліна: _ Тема: _ Варіант № Виконала студентка 4 курсу 3аочной повної форми навчання _ Залікова книжка № 05n/18 Викладач

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати