Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Методи дослідження нелінійних систем - Комунікації і зв'язок

Предмет:

"Теорія автоматичного керування"

Тема:

"Методи дослідження нелінійних систем"

1. Метод диференціальних рівнянь

Диференціальне рівняння замкнутої нелінійної системи n-го порядку (рис. 1) можна перетворити до системи n-диференціальних рівнянь першого порядку у вигляді:

де: - змінні, що характеризують поведінку системи (одна з них може бути регульована величина); - нелінійні функції; u - задає вплив.

Зазвичай, ці рівняння записуються в кінцевих різницях:

,

де- початкові умови.

Якщо отклоненіяне великі, то цю систему можна вирішувати, як систему алгебраїчних рівнянь. Рішення можна представити графічно.

2. Метод фазового простору

Розглянемо випадок, коли зовнішній вплив дорівнює нулю (U = 0).

Рух системи визначається зміною її координат -в функції часу. Значеніяв будь-який момент часу характеризує стан (фазу) системи і визначає координати системи має n - осей і можуть бути представлені як координати деякої (зображує) точки М (рис. 2).

Фазовим простором називається простір координат системи.

Зі зміною часу t точка М рухається по траєкторії, званої фазової траєкторією. Якщо міняти початкові умови отримаємо сімейство фазових траєкторій, званих фазовим портретом. Фазовий портрет визначає характер перехідного процесу в нелінійній системі. Фазовий портрет має особливі точки, до яких прагнуть або від яких йдуть фазові траєкторії системи (їх може бути декілька).

Рис. 2

Фазовий портрет може містити замкнуті фазові траєкторії, які називаються граничними циклами. Граничні цикли характеризують автоколебания в системі. Фазові траєкторії ніде не перетинаються, крім особливих точок, що характеризують рівноважні стану системи. Граничні цикли і стану рівноваги можуть бути стійкими або не стійкі.

Фазовий портрет повністю характеризує нелінійну систему. Характерною особливістю нелінійних систем є наявність різних типів рухів, кількох станів рівноваги, наявність граничних циклів.

Метод фазового простору є фундаментальним методом дослідження нелінійних систем. Досліджувати нелінійних систем на фазовій площині набагато простіше і зручніше, ніж за допомогою побудови графіків перехідних процесів в тимчасовій області.

Геометричні побудови в просторі менш наочні, ніж побудови на площині, коли система має другий порядок, при цьому застосовується метод фазової площини.

Застосування методу фазової площини для лінійних систем

Проаналізуємо зв'язок між характером перехідного процесу і кривими фазових траєкторій. Фазові траєкторії можуть бути отримані або шляхом інтегрування рівняння фазової траєкторії, або шляхом вирішення вихідного диференціального рівняння 2-го порядку.

Нехай задана система (рис. 3).

Розглянемо вільний рух системи. При цьому: U (t) = 0, e (t) = - x (t)

У загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд

де (1)

Це однорідне диференціальне рівняння 2-го порядку його характеристичне рівняння одно

. (2)

Коріння характеристичного рівняння визначаються з співвідношень

(3)

Уявімо диференціальне рівняння 2-го порядку у вигляді системи

рівнянь 1-го порядку:

(4)

гдескорость зміни регульованої величини.

У розглянутій лінійної системі змінні x і y являють собою фазові координати. Фазовий портрет будуємо в просторі координат x і y, тобто на фазовій площині.

Якщо виключимо час з рівняння (1), то одержимо рівняння інтегральних кривих або фазових траєкторій.

. (5)

Це рівняння із перемінними

. (6) Розглянемо кілька випадків

1. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(Тобто). (7)

При цьому перехідний процес описується рівняннями

x = A sin (wt + j), (8)

y = Aw cos (wt + j),

тобто являє собою незгасаючі коливання з постійною амплітудою А і початковою фазою - j.

На фазовій площині (рис. 4) ці рівняння являють собою параметричні рівняння еліпса з півосями А і wA (де A - постійна інтегрування).

Якщо позначити

Рівняння еліпса можна отримати рішенням рівняння фазових траєкторій

(9)

Стан рівноваги визначається з умови

,

при цьому x0 = y0 = 0.

Особлива точка називається "центр" і відповідає стійкій рівновазі, оскільки фазові траєкторії від неї не віддаляються.

2. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(10)

При цьому перехідний процес описується рівняннями:

З рівняння фазових траекторійполучім рівняння

Це рівняння сімейства гіпербол при зміні A (рис 5).

Рис. 5

Особлива точка називається "сідло". Рівняння асимптот (сепаратріси) при А = 0 мають вигляд:

3. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(11)

Фазова траєкторія має вигляд згортається спіралі (рис. 6), а точка рівноваги називається "стійкий фокус".

Рис. 6

4. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(12)

Перехідний процес являє собою розбіжні коливання, фазова траєкторія - розгортається спіраль. Особлива точка називається "нестійкий фокус" (рис. 7).

Рис. 7

5. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(13)

Перехідний процес має апериодический характер. Особлива точка називається "стійкий вузол" (рис. 8).

Рис. 8

6. Нехай корені характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(14)

Особлива точка називається "нестійкий вузол" (рис. 9).

Рис. 9

4. Методи побудови фазових портретів

Для побудови фазових портретів можна використовувати різні методи: метод диференціальних рівнянь, метод ізоклін, та ін.

Метод диференціальних рівнянь. Суть методу полягає в тому, що з диференціальних рівнянь окремих ділянок нелінійного елемента будують відповідні фазові портрети на площині.

Метод ізоклін - це метод ліній постійного нахилу.

Нехай дано рівняння нелінійної системи:

(15)

де: - довільні функції.

Щоб отримати фазовий портрет виключимо час:

. (16)

Нехай, при цьому-це рівняння лінії в площині (x 0 y). Кожному значенню константи с відповідає деяка лінія, що володіє наступною властивістю: в кожній точці лінії, тобто якщо фазова траєкторія перетинає ізокліни, то вона має постійний нахил рис. 10.

y

Рис. 10

Якщо провести достатнє число таких ліній з відповідними нахилами, то можна побудувати фазовий портрет системи. При цьому точність залежить від числа ізоклін. Напрямок руху визначається за правилом: якщо похідна, x> 0, то рух таке, що x зростає.

5. Побудова фазового портрета нелінійної системи

Розглянемо релейну стежить систему, схема якої наведена на рис. 11.

+

x1НЕ У UпітД ТГ P U0

-

x

Рис. 11

Якщо a ? b на вхід НЕ з релейного характеристикою (рис. 12) подається Сигналпром цьому: b - кут повороту задає осі; a - кут повороту відпрацьовує потенціометра.

z

- A2- a1

0 a1a2x1

Рис. 12

Внаслідок цього на двигун подається напруга ±, двигун обертається в певному напрямку відповідно до полярністю напруги, що подається до тих пір, поки воно не стане рівним нулю.

Для поліпшення якості перехідного процесу в систему може бути включена негативний зворотний зв'язок по швидкості двигуна за допомогою тахогенератора (ТГ).

Запишемо рівняння елементів системи. Для двигуна постійного струму з незалежним збудженням

(17)

Так як потік збудження = const, то. Припустимо, момент навантаження малий, при цьому = 0.

Передавальну функцію для якірного ланцюга K1 (p) можна отримати з її диференціального рівняння

(18)

Нехай

Для редуктора і кута повороту вала двигуна

(19)

Для тахогенератора

. (20)

На підставі функціональної схеми та отриманих передавальних функцій елементів системи складаємо структурну схему рис. 13

Для побудови фазового портрету необхідно записати систему диференціальних рівнянь.

Розглянемо вільний рух системи (b = 0) при цьому x = a.

Диференціальне рівняння нелінійної системи має вигляд

(21)

Уявімо рівняння у вигляді системи рівнянь:

(22)

Побудуємо фазовий портрет. Для простоти побудови фазового портрету робимо деякі спрощення:

1) Нехай зворотний зв'язок по швидкості -відсутня (К = 0).

2) Характеристика нелінійного елемента однозначна (рис. 14).

При цьому:

(23)

З урахуванням прийнятих припущень система рівнянь спрощується.

(24)

Побудуємо характеристику для кожної зони.

Нехай - a ? x ? a, | (x) = 0.

При цьому вихідна система має вигляд:

(25)

Рішення цього рівняння має вигляд, тобто нахил фазових траєкторій усюди постійний (негативний).

Визначимо рівноважний стан системи з умови:

(26)

Ця умова виконується при y = 0, тобто точка вироджується в пряму лінію y = 0 на інтервалі [- а, а]. Фазові траєкторії на ділянці - а На прямих лініях проставляємо стрілки таким чином, щоб кінцеве рух прагнуло до початку координат.

Нехай х> a ,. При цьому вихідна система нелінійних рівнянь має вигляд

(27)

де ci- сімейство ізоклін, яке являє собою прямі паралельні осі х, тобто, гдеопределяется з виразу для

. (28)

Таким чином

. (29)

Переймаючись значеннями, будуємо сімейство ізоклін. Визначаємо кути перетину ізоклін фазовими траєкторіями.

Так як. Наприклад, якщо, то a = 90 °.

Нехай х <- a ,. Побудова виконуємо аналогічно, так як знак змінився, то будуть інші кути перетинань ізоклін фазової траєкторією. Фазовий портрет системи наведено на рис. 15.

Рис. 14 Рис. 15

Знімемо спрощення К = 0, тобто розглянемо вплив негативного зворотного зв'язку по швидкості двигуна на характер фазової траєкторії.

При цьому рівняння мають вигляд:

(30)

Нехай, при цьому перемикання буде відбуватися за умови (а не умови х = а), це рівняння лінії (рис. 16)

. (31)

При цьому кількість перерегулювань зменшується; можна підібрати такий нахил, при якому немає переколебаній.

Розглянемо фазовий портрет без обмежень. В системі без обмежень фазовий портрет можна представити на трилистої поверхні з похилими гранями (рис. 17.) При цьому лист 2 відповідає зоні нечутливості z = 0, лист 1 відповідає негативним значенням z, а лист 3 позитивним. Внаслідок гистерезиса має місце часткове накладення листів.

Рис. 16 Рис. 17

Досліджуємо систему. Досліджуємо вплив негативного зворотного зв'язку по швидкості двигуна (тобто вплив величини - К). Нехай значення К збільшується, при цьому нахил прямих зменшується, і може вийти, що зріз буде більш пологим ніж нахил характеристики в середній частині. Це призводить до частих перемикань. Такий режим називається ковзаючим. Якщо зонаочень вузька, то рух як би зісковзує до сталого режиму (рис. 18а).

Якщо змінити знак зворотного зв'язку з негативною зв'язку на позитивний зв'язок, то при цьому зміниться нахил ліній перемикання, і кількість коливань буде збільшуватися, система буде "розгойдуватися". Система працює, як генератор і може з'явитися або замкнутий цикл - автоколебания, або розходиться перехідний процес (рис. 18б).

а) б)

Рис. 18

Переваги методу: простота і наочність для систем 2-го порядку; придатність для будь-якого типу нелінійних елементів.

Недоліки: метод громіздкий для систем вище 2-го порядку, тому при n> 2 не застосовується.

Розглянемо кілька прикладів побудови фазових портретів нелінійних систем управління

Приклад 1. Нехай задана система, що складається з лінійної частини та нелінійного елемента (підсилювач з обмеженням по модулю) (рис. 19). Це кусочно-лінійна система, так як на окремих ділянках вона поводиться як лінійна (в області) - а, + а [). Припустимо в області (] - а, + а [) коефіцієнт посилення великий і система нестійка а фазовий портрет характеризується особливою точкою "нестійкий фокус". За межами області коефіцієнт посилення малий, припустимо, що при цьому система стійка і характеризується особливою точкою - "стійкий фокус".

При великих відхиленнях x> | a | загальний коефіцієнт посилення системи малий, система стійка, процес затухає.

При малих відхиленнях загальний коефіцієнт посилення системи великий - процес розходиться до замкнутої траєкторії, яка характеризує наявність стійких автоколивань (рис. 20).

У цій системі три типи рухів: автоколебания; сходящиеся коливання; розбіжні коливання

Приклад 2. Нехай задана система з характеристикою нелінійного ланки типу "зона нечутливості" (рис. 21). Необхідно побудувати фазовий

портрет даної системи, визначити наявність граничних циклів і проаналізувати їх стійкість.

Рис. 21 Рис. 22

Нехай в області [-b, + b] система стійка, при цьому коефіцієнт посилення - До малий, перехідний процес затухає, особлива точка "стійкий фокус" поза області К - великий, перехідний процес розходиться (рис. 22). Ця система має нестійкий граничний цикл, тобто автоколебания нестійкі.

Для більш складних нелінійних елементів може бути декілька граничних ціклов.Прімер Для заданої системи (рис. 23) побудувати приблизний фазовий портрет.

Рис. 23

Рішення: Вихідну схему можна представити у вигляді (рис. 24).

Побудуємо фазовий портрет

1) При - a Фазовий портрет в цій області представляє сімейство прямих з коефіцієнтом к = -1, а стан рівноваги стійко за Ляпуновим і являє відрізок осі y = 0 на інтервалі - a 2) При x> + af (x) = x - a, а система рівнянь має вигляд

Для кожного сiопределімугловой коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою кут перетину фазової траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c, результати наведені в таблицях 1 і 2.Табліца 1

 З i 0 1 2 3 -1/2 -2 -3 ?

 k -1 -1/2 -1/3 -1/4 -2 1 1/2 0

Таблиця 2

 C i 0 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± ?

 a 0

 ± 45 0

 ± 63 0

 ± 71 0

 ± 80 0

 ± 90 0

3) При x <- af (x) = x + a, а система рівнянь має вигляд

Ліва частина фазового портрету будується аналогічно правой.Прімер 4. Для заданої системи (рис. 26) побудувати приблизний фазовий портрет.

Вихідну схему можна представити у вигляді (рис. 27).

Побудуємо фазовий портрет.

1) При -1 Для кожного сiопределімугловой коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою кут перетину фазової траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c.

2) При x> +1 f (x) = 1, а система рівнянь має вигляд

Для кожного сiопределімугловой коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою кут перетину фазової траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c.

3) При x <-1 f (x) = -1.

Ліва частина фазового портрету будується аналогічно правій.

Література

1. Атабеков Г.І., Тимофєєв А.Б., Купалян С.Д., Хухріков С.С. Теоретичні основи електротехніки (ТОЕ). Нелінійні електричні ланцюги. Електромагнітне поле. 5-е вид. Вид-во: ЛАНЬ, 2005. - 432 с.

2. Гаврилов Нелінійні ланцюги в програмах схемотехнічного моделювання. Вид-во: СОЛОН-ПРЕСС, 2002. - 368 с.

3. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002 - 832 с.

4. Теорія автоматичного управління. Навч. для вузів по спец. "Автоматика і телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін .: За ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М .: Вища. шк., 1986. - 367 с., іл.

5. ХАРАЗ В.Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550 с.
Організація роботи флоту компаній, що оперують балкерним тоннажем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ Акімова Ольга Володимирівна УДК 656.61:656.614.3.076.3 Організація роботи флоту КОМПАНІЙ, що оперують балкерним тоннажем Спеціальність 05.22.01 - транспортні системи Автореферат дисертації на здобуття

Організація роботи автостанції
Міністерство освіти і науки України Харківський автотранспортний технікум ім. С. Орджонікідзе ЗВІТ з предипломної практики в ВАТ «Харьківське підприємство автобусних станцій» Керівник практики від ВАТ «Харьківске підприємство автобусних станцій» Керівник практики від технікуму Виконала

Організація й виконання ремонту колії
УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ Кафедра «Колія та колійне господарство» КУРСОВА РОБОТА З дисципліни «Технологія ремонту та утримання колії» ОРГАНІЗАЦІЯ Й ВИКОНАННЯ РЕМОНТУ КОЛІЇ Виконала ст. групи ****** ************** Перевірив ************ Харків 2007 р. Зміст

Організація експлуатаційної роботи на залізничних ділянках
ЗМІСТ ВСТУП Вихідні дані 1. Технічна та експлуатаційна характеристики полігону дороги 2. Організація місцевої роботи 2.1 Розрахунок числа збірних поїздів 2.2 Вибір схеми прокладки збірних поїздів на графіку руху 3. Вихідні дані для розробки графіка руху поїздів 3.1 Визначення розмірів руху

Організація роботи та обслуговування козлових кранів
Призначення Козлові крани застосовують для обслуговування відкритих складів і навантажувальних майданчиків, монтажу збірних будівельних споруд і устаткування, промислових підприємстві, обслуговування гідротехнічних споруд та виконання вантажно-розвантажувальних робіт на контейнерних майданчиках

Організація роботи автотранспортного підприємства
Федеральне агентство за освітою Державна освітня установа вищої професійної освіти Камська державна інженерно-економічна академія. ЗВІТ ПО ПРАКТИЦІ Виконав студент групи 2353: Ковалів К.Н. Перевірив викладач: Загидулин С.З. Набережні Човни - 2010 АТ ТЭФ «КАМАтранссервис» Загальні відомості

Організація перевезень на автотранспорті
Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа Вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет» Кафедра «Організація перевезень та управління на транспорті» Курсова робота з дисципліни «Організація перевезень на автотранспорті» Новокузнецьк, 2010 1. Визначення

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати