На головну    

 Сутність теорії ігор - Економіко-математичне моделювання

Сутність теорії ігор

ПЛАН

ВСТУП

1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ТЕОРІЇ ІГОР

1.1 Основні поняття і критерії теорії ігор

1.2 Стратегії теорії ігор

1.2.1 Змішані стратегії

1.2.2 Мажорірованіе (домінування) стратегій

1.3 Ігри з природою

2. ПРАКТИЧНЕ ВИКОРИСТАННЯ змішаних стратегій

2.1 Постановка завдання

2.2 Опис алгоритму рішення

ГЛАВА 3. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ІГОР З ПРИРОДОЮ

3.1 Постановка завдання

3.2 Рішення задач ігор з природою

ВИСНОВОК

Список використаних джерел

АНОТАЦІЯ

Тема курсового проекту, представлена ??у пояснювальній записці, звучить як «Теорія ігор».

Обсяг даної пояснювальної записки до курсового проекту з дисципліни «Дослідження операцій» становить 27 сторінок, кількість використаних джерел 8.

Дана пояснювальна записка містить 3 (два) розділу, що містять наступну інформацію: теоретичні основи теорії ігор, опис стратегій теорії ігор, а також опис практичного застосування зазначених стратегій в дослідженні операцій.

ВСТУП

На практиці часто з'являється необхідність узгодження дій фірм, об'єднань, міністерств та інших учасників проектів у випадках, коли їхні інтереси не збігаються. У таких ситуаціях теорія ігор дозволяє знайти краще рішення для поведінки учасників, зобов'язаних погоджувати дії при зіткненні інтересів. Теорія ігор все ширше проникає в практику економічних рішень і досліджень. Її можна розглядати як інструмент, що допомагає підвищити ефективність планових і управлінських рішень. Це має велике значення при вирішенні завдань у промисловості, сільському господарстві, на транспорті, в торгівлі, особливо при укладанні договорів з іноземними партнерами на будь-яких рівнях. Так, можна визначити науково обґрунтовані рівні зниження роздрібних цін і оптимальний рівень товарних запасів, вирішувати завдання екскурсійного обслуговування і вибору нових ліній міського транспорту, завдання планування порядку організації експлуатації родовищ корисних копалин в країні та ін. Класичною стала задача вибору ділянок землі під сільськогосподарські культури. Метод теорії ігор можна застосовувати при вибіркових обстеженнях кінцевих сукупностей, при перевірці статистичних гіпотез.

Зазвичай теорію ігор визначають як розділ математики для вивчення конфліктних ситуацій. Це означає, що можна виробити оптимальні правила поведінки кожного боку, що бере участь у вирішенні конфліктної ситуації.

В економіці, наприклад, виявився недостатнім апарат математичного аналізу, що займається визначенням екстремумів функцій. З'явилася необхідність вивчення так званих оптимальних мінімаксних і Максимін рішень. Отже, теорію ігор можна розглядати як новий розділ оптимізаційного підходу, що дозволяє вирішувати нові завдання при прийнятті рішень.

1.Теоретические ОСНОВИ ТЕОРІЇ ІГОР

1.1 Основні поняття і критерії теорії ігор

Гра - спрощена формалізована модель реальної конфліктної ситуації. Математично формалізація означає, що вироблені певні правила дії сторін у процесі гри: варіанти дії сторін; результат гри при даному варіанті дії; обсяг інформації кожної сторони про поведінку все інших сторін.

Одну грає сторону при дослідженні операцій може представляти колектив, який переслідує деяку загальну мету. Проте різні члени колективу можуть бути по-різному інформовані про обстановку проведення гри.

Виграш чи програш сторін оцінюється чисельно, інші випадки в теорії ігор не розглядаються, хоча не всякий виграш в дійсності можна оцінити кількісно.

Гравець - одна із сторін в ігровій ситуації. Стратегія гравця - його правила дії в кожній з можливих ситуацій гри. Існують ігрові системи управління, якщо процес управління в них розглядається як гра.

Платіжна матриця (матриця ефективності, матриця гри) включає всі значення виграшів (в кінцевій грі). Нехай гравець 1 має т стратегій Аi, а гравець 2 - n стратегій Bj. Гра може бути названа грою т 'n. Уявімо матрицю ефективності гри двох осіб з нульовою сумою, супроводивши її необхідними позначеннями (табл. 1.1).

Таблиця 1.1.

 Гравець 2

 Гравець 1

 В 1

 У 2 ...

 В n

 a i

 А 1

 а 11

 а 12 ...

 а 1n

 a 1

 А 2

 a 21

 a 22 ...

 а 2n

 a 2

 ... ... ... ... ... ...

 А m

 а m1

 а m2 ...

 а mn

 a m

 b j

 b 1

 b 2 ...

 b n

У даній матриці елементи аij- значення виграшів гравця 1 - можуть означати математичне очікування виграшу (середнє значення), якщо виграш є випадковою величиною. Величини ai, і bj, - відповідно мінімальні значення елементів аijпо рядках і максимальні - по стовпцях. Їх змістовний сенс буде відображений нижче.

В теорії ігор не існує усталеної класифікації видів ігор. Однак за певними критеріями деякі види можна виділити.

Кількість гравців. Якщо в грі беруть участь дві сторони, то її називають грою двох осіб. Якщо число сторін більше двох, її відносять до гри п гравців. Найбільший інтерес викликають гри двох осіб. Вони і математично більш глибоко опрацьовані, і в практичних додатках мають найбільш велику бібліографію.

Кількість стратегій гри. За цим критерієм ігри поділяються на кінцеві і нескінченні. У кінцевій грі кожен з гравців має кінцеве число можливих стратегій. Якщо хоча б один з гравців має нескінченну кількість можливих стратегій, гра є нескінченною.

Взаємовідносини сторін. Згідно даним критерієм ігри поділяються на кооперативні, коаліційні і беськоаліционниє. Якщо гравці не мають права вступати в угоди, утворювати коаліції, то така гра відноситься до безкоаліційних; якщо гравці можуть вступати в угоди, створювати коаліції - коаліційної. Кооперативна гра - це гра, в якій заздалегідь визначені коаліції.

Характер виграшів. Цей критерій дозволяє класифікувати гри з нульовою і з ненульовою сумою. Гра з нульовою сумою передбачає умову: «сума виграшів всіх гравців в кожній партії дорівнює нулю». Ігри двох гравців з нульовою сумою відносять до класу антагоністичних. Природно, виграш одного гравця при цьому дорівнює програшу іншого. Прикладами ігор з нульовою сумою служать багато економічні завдання. У них загальний капітал всіх гравців перерозподіляється між гравцями, але не змінюється. До ігор з ненульовою сумою також можна віднести велику кількість економічних завдань. Наприклад, у результаті торгових взаємовідносин країн, що беруть участь в грі, всі учасники можуть опинитися у виграші. Гра, в якій потрібно вносити внесок за право участі в ній, є грою з ненульовою сумою.

Вид функції виграшів. За цим критерієм гри підрозділяються на матричні, біматричних, безперервні, опуклі, сепарабельного і т.д. Пояснимо суть деяких з них.

Матрична гра - кінцева гра двох гравців з нульовою сумою. У загальному випадку її платіжна матриця є прямокутної (див. Табл. 1). Номер рядка матриці відповідає номеру стратегії, яка застосовується гравцем 1. Номер стовпця відповідає номеру стратегії гравця 2. Виграш гравця 1 є елементом матриці. Виграш гравця 2 дорівнює програшу гравця 1. Матричні ігри завжди мають рішення в змішаних стратегіях. Вони можуть бути вирішені методами лінійного програмування.

Біматричних гра - кінцева гра двох гравців з ненульовою сумою. Виграші кожного гравця задаються своєї матрицею, в якій рядок відповідає стратегії гравця 1, а стовпець - стратегії гравця 2. Однак елемент першої матриці показує виграш гравця 1, а елемент другої матриці - виграш гравця 2. Для біматричних ігр так само, як і для матричних , розроблена теорія оптимального поведінки гравців.

Якщо функція виграшів кожного гравця в залежності від стратегій є безперервною, гра вважається безперервною. Якщо функція виграшів опукла, то і гра - опукла.

Якщо функція виграшів може бути розділена на суму творів функцій одного аргументу, то гра відноситься до сепарабельного.

Кількість ходів. Згідно з цим критерієм гри можна розділити на однокрокові і багатокрокові. Однокрокові гри закінчуються після одного ходу кожного гравця. Так, в матричної грі після одного ходу кожного з гравців відбувається розподіл виграшів. Багатокрокові ігри бувають позиційними, стохастическими, диференціальними та ін.

Інформованість сторін. За даним критерієм розрізняють гри з повною і неповною інформацією. Якщо кожен гравець на кожному ходу гри знає всі раніше застосовані іншими гравцями на попередніх ходах стратегії, така гра визначається як гра з повною інформацією. Якщо гравцеві не всі стратегії попередніх ходів інших гравців відомі, то гра класифікується як гра з неповною інформацією. Ми далі переконаємося, що гра з повною інформацією має рішення. Рішенням буде сідлова точка при чистих стратегіях.

Ступінь неповноти інформації. За цим критерієм гри підрозділяються на статистичні (в умовах часткової невизначеності) і стратегічні (в умовах повної невизначеності). Ігри з природою часто відносять до статистичних ігор. У статистичній грі є можливість отримання інформації на основі статистичного експерименту, при якому обчислюється або оцінюється розподіл ймовірностей станів (стратегій) природи. З теорією статистичних ігор тісно пов'язана теорія прийняття економічних рішень.

Отримавши деяке уявлення про існуючі підходах до класифікації ігор, можна зупинитися на оцінках гри.

Розглянемо матричну гру, представлену матрицею виграшів m'n, де число рядків i = а число стовпців j = (див. Табл.1). Застосуємо принцип отримання максимального гарантованого результату при найгірших умовах. Гравець 1 прагне прийняти таку стратегію, яка повинна забезпечити максимальний програш гравця 2. Відповідно гравець 2 прагне прийняти стратегію, що забезпечує мінімальний виграш гравця 1. Розглянемо обидва ці підходи.

Підхід гравця 1. Він повинен отримати максимальний гарантований результат при найгірших умовах. Значить, при виборі відповідає цим умовам свого чистого стратегії він повинен вибрати гарантований результат в найгірших умовах, тобто найменше значення свого виграшу aij, яке позначимо

a.i =. (1.1)

Щоб цей гарантований ефект в найгірших умовах був максимальним, потрібно з усіх ai, вибрати найбільше значення. Позначимо його a і назвемо чистої нижньої ціною гри (максимин):

a. = (1.2)

Таким чином, максиминной стратегії відповідає рядок матриці, якій відповідає елемент а. Які б стратегії ні застосовував гравець 2, гравець 1 максиминной чистої стратегією гарантував собі виграш не менший, ніж а. Таке оптимальну поведінку гравця 1.

Підхід гравця 2. Своїми оптимальними стратегіями він прагне зменшити виграш гравця 1, тому при кожній j -й чистої стратегії він відшукує величину свого максимального програшу

(1.3)

в кожному j -м стовпці, тобто визначає максимальний виграш гравця 1, якщо гравець 2 застосує j -ю чисту стратегію. З усіх своїх п 7-х чистих стратегій він відшукує таку, при якій гравець 1 отримає мінімальний виграш, тобто визначає чисту верхню ціну гри (минимакс):

Чистий верхня ціна гри показує, який максимальний виграш може гарантувати гравець 1, застосовуючи свої чисті стратегії, - виграш, не менший ніж а. Гравець 2 за рахунок зазначеного вище вибору своїх чистих стратегій не допустить, щоб гравець 1 міг отримати виграш, більший ніж ?. Таким чином, мінімаксна стратегія відображається стовпцем платіжної матриці, в якому знаходиться елемент ? (див. Табл. 1). Вона є оптимальною чистою гарантує стратегією гравця 2, якщо він нічого не знає про дії гравця 1.

Чиста ціна гри ? - ціна даної гри, якщо нижня і верхня її ціни збігаються. У цьому випадку гра називається грою з сідловою.

1.2 Стратегії теорії ігор

1.2.1 Змішані стратегії

Якщо в матричної грі відсутня сідлова точка в чистих стратегіях, то знаходять верхню і нижню ціни гри. Вони показують, що гравець 1 не отримає виграшу, що перевершує верхню ціну гри, і що гравцеві 1 гарантований виграш, не менший нижньої ціни гри.

Змішана стратегія гравця - це повний набір його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в одних і тих же умовах із заданими ймовірностями. Підіб'ємо підсумки сказаного і перерахуємо умови застосування змішаних стратегій:

- Гра без сідлової точки;

- Гравці використовують випадкову суміш чистих стратегій із заданими ймовірностями;

- Гра багаторазово повторюється в подібних умовах;

- При кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;

- Допускається осреднение результатів ігор.

Застосовуються такі позначення змішаних стратегій.

Для гравця 1 змішана стратегія, що полягає в застосуванні чистих стратегій А1, А2, ..., Атс відповідними ймовірностями р1, р2, ..., рт.

де.

Для гравця 2

де.

qj- ймовірність застосування чистої стратегії Bj.

У разі коли рi = 1, для гравця 1 маємо чисту стратегію

(1.7)

Чисті стратегії гравця є єдино можливими несумісними подіями. У матричної грі, знаючи матрицю А (вона відноситься і до гравця 1, і до гравця 2), можна визначити при заданих векторахісредній виграш (математичне очікування ефекту) гравця 1:

(1.8)

гдеі- вектори;

piі qi- компоненти векторів.

Шляхом застосування своїх змішаних стратегій гравець 1 прагне максимально збільшити свій середній виграш, а гравець 2 - довести цей ефект до мінімально можливого значення. Гравець 1 прагне досягти

(1.9)

Гравець 2 домагається того, щоб виконувалася умова

(1.10)

Обозначімівектори, відповідні оптимальним змішаним стратегіям гравців 1 і 2, тобто такі векториі, при яких буде виконано рівність

(1.11)

Ціна гри - середній виграш гравця 1 при використанні обома гравцями змішаних стратегій. Отже, рішенням матричної гри є:

1) - оптимальна змішана стратегія гравця 1;

2) - оптимальна змішана стратегія гравця 2;

3) g - ціна гри.

Змішані стратегії будуть оптимальними (і), якщо утворюють седловую точку для функцііт.е.

(1.12)

Існує основна теорема математичних ігор.

Для матричної гри з будь матрицею А величини

і (1.13)

існують і рівні між собою: a = b = g.

Слід зазначити, що при виборі оптимальних стратегій гравцю 1 завжди буде гарантований середній виграш, не менший ніж ціна гри, при будь фіксованою стратегії гравця 2 (і, навпаки, для гравця 2). Активними стратегіями гравців 1 і 2 називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з імовірностями, відмінними від нуля. Значить, до складу оптимальних змішаних стратегій гравців можуть входити не всі апріорі задані їх стратегії.

Вирішити гру - означає знайти ціну гри та оптимальні стратегії. Розгляд методів знаходження оптимальних змішаних стратегій для матричних ігор почнемо з найпростішої гри, описуваної матрицею 2'2. Ігри з сідловою спеціально розглядатися не будуть. Якщо отримана сідлова точка, то це означає, що маються невигідні стратегії, від яких слід відмовлятися. При відсутності седловой точки можна одержати дві оптимальні змішані стратегії. Як вже зазначалося, ці змішані стратегії записуються так:

(1.14)

Значить, є платіжна матриця

(1.15)

При цьому

a11p1 + a21p2 = g; (1.16)

a12p1 + a22p2 = g; (1.17)

p1 + p2 = 1. (1.18)

a11p1 + a21 (1 - p1) = a12p1 + a22 (1 - p1); (1.19)

a11p1 + a21- a21p1 = a12p1 + a22- a22p1, (1.20)

звідки отримуємо оптимальні значеніяі:

(1.21)

(1.22)

Знаючи, знаходимо g:

(1.23)

Обчисливши g, знаходяться:

a11q1 + a12q2 = g; q1 + q2 = 1; (1.24)

a11q1 + a12 (1 - q1) = g. (1.25)

при a11? a12. (1.26)

Задача вирішена, оскільки знайдені векториі ціна гри g. Маючи матрицю платежів А, можна вирішити завдання графічно. При цьому методі алгоритм розв'язання вельми простий (рис. 2.1).

1. По осі абсцис відкладається відрізок одиничної довжини.

2. По осі ординат відкладаються виграші при стратегії А1.

3. На лінії, паралельній осі ординат, у точці 1 відкладаються виграші при стратегії a2.

4. Кінці відрізків позначаються для a11-b11, a12-b21, a22-b22, a21-b12і проводяться дві прямі лінії b11b12і b21b22.

5. Визначається ордината точки перетину с. Вона дорівнює g. Абсциса точки з дорівнює р2 (р1 = 1 - р2).

Рис. 1.1. Оптимальна змішана стратегія

Даний метод має досить широку область застосування. Це засновано на загальному властивості ігр т'п, що складається в тому, що в будь-якій грі т'п кожен гравець має оптимальну змішану стратегію, в якій число чистих стратегій максимум, ніж min (m, n). З цієї властивості можна отримати відоме наслідок: в будь-якій грі 2'п і т'2 кожна оптимальна стратегіяісодержіт не більше двох активних стратегій. Значить, будь-яка гра 2'п і т'2 може бути зведена до гри 2'2. Отже, ігри 2'п і т'2 можна вирішити графічно. Якщо матриця кінцевої гри має розмірність т'п, де т> 2 і п> 2, то для визначення оптимальних змішаних стратегій використовується лінійне програмування.

1.2.2 Мажорірованіе (домінування) стратегій

Мажорірованіе представляє відношення між стратегіями, наявність якого в багатьох практичних випадках дає можливість скоротити розміри вихідної платіжної матриці гри. Розглянемо це поняття на прикладі матриці:

(1.27)

Розмірковуючи з позиції гравця 2, можна виявити перевага його третьої стратегії перед другим, оскільки при першій стратегії гравця 1 виграш гравця 2 дорівнює -3 (друга стратегія) і 1 (третя стратегія), а при другому стратегії гравця 1 виграш гравця 2 дорівнює -2 (друга стратегія) і -0,5 (третя стратегія). Таким чином, при будь-якої стратегії гравця 1 гравцеві 2 вигідніше застосовувати свою третю стратегію в порівнянні з другою; при наявності третьої стратегії гравець 2, якщо він прагне грати оптимально, ніколи не буде використовувати свою другу стратегію, тому її можна виключити з гри, тобто у вихідній платіжної матриці можна викреслити 2-й стовпець:

(1.28)

З позиції гравця 1 його перша стратегія виявляється гіршою другий, так як по першій стратегії він тільки програє. Тому перше стратегію можна виключити, а матрицю гри перетворити до вигляду: (0 0,5).

Враховуючи інтереси гравця 2, слід залишити тільки його першу стратегію, оскільки, вибираючи другу стратегію, гравець 2 виявляється в програші (0,5 - виграш гравця 1), і матриця гри приймає найпростіший вид: (0), тобто мається сідлова точка.

Мажорірованіе можна поширити і на змішані стратегії. Якщо елементи одного рядка не всі менше (або рівні) відповідних елементів інших рядків, але все менше (або рівні) деяких опуклих лінійних комбінацій відповідних елементів інших рядків, то цю стратегію можна виключити, замінивши її змішаною стратегією з відповідними частотами використання чистих стратегій.

В якості ілюстрації до сказаного розглянемо матрицю гри:

(1.29)

Для перших двох чистих стратегій гравця 1 візьмемо частоти їх застосування (ймовірності) рівними 0,25 і 0,75.

Третя стратегія гравця 1 мажоріруется лінійної опуклою комбінацією першої та другої чистих стратегій, взятих з частотами 0,25 і 0,75 відповідно, тобто змішаною стратегією:

24 ? 0,25 + 0 ? 0,75 = 6> 4; (1.30)

0 ? 0,25 + 8 ? 0,75 = 6> 5. (1.31)

Тому третя стратегію гравця 1 можна виключити, використовуючи замість неї зазначену вище змішану стратегію.

Аналогічно, якщо кожен елемент деякого шпальти більше або дорівнює деякій опуклою лінійної комбінації відповідних елементів деяких інших стовпців, то цей стовпець можна виключити з розгляду (викреслити з матриці). Наприклад, для матриці

(1.32)

третя стратегія гравця 2 мажоріруется змішаною стратегією з першої і другої його чистих стратегій, взятих з частотами 0,5 і 0,5:

10 ? 0,5 + 0 ? 0,5 = 5 <6; (1.33)

0 ? 0,5 + 10 ? 0,5 = 5 <7. (1.34)

Таким чином, вихідна матриця гри еквівалентна матриці такого вигляду:

(1.35)

Як видно, можливості мажорірованія змішаними стратегіями на відміну від чистих значно менш прозорі (потрібно належним чином підібрати частоти застосування чистих стратегій), але такі можливості є, і ними корисно вміти користуватися.

1.3 Ігри з природою

Моделі у вигляді стратегічних ігор, в економічній практиці можуть не повною мірою виявитися адекватними дійсності, оскільки реалізація моделі припускає багаторазовість повторення дій (рішень), що вживаються в схожих умовах. У реальності кількість прийнятих економічних рішень в незмінних умовах жорстко обмежена. Нерідко економічна ситуація є унікальною, і рішення в умовах невизначеності має прийматися одноразово. Це породжує необхідність розвитку методів моделювання прийняття рішень в умовах невизначеності і ризику.

Традиційно наступним етапом такого розвитку є так звані гри з природою. Формально вивчення "ігор з природою", так само як і стратегічних, має починатися з побудови платіжної матриці, що є, по суті, найбільш трудомістким етапом підготовки ухвалення рішення. Помилки в платіжній матриці не можуть бути компенсовані жодними обчислювальними методами і приведуть до невірного підсумкового результату.

Відмітна особливість гри з природою полягає в тому, що в ній свідомо діє тільки один з учасників, в більшості випадків званий гравцем 1. Гравець 2 (природа) свідомо проти гравця 1 не діє, а виступає як не має конкретної мети і випадковим чином вибирає чергові «ходи» партнер по грі. Тому термін «природа» характеризує якусь об'єктивну дійсність, яку не слід розуміти буквально, хоча цілком можуть зустрітися ситуації, в яких «гравцем» 2 дійсно може бути природа (наприклад, обставини, пов'язані з погодними умовами або з природними стихійними силами).

2. ПРАКТИЧНЕ ВИКОРИСТАННЯ змішаних стратегій

2.1 Постановка завдання

Вибрати оптимальний режим роботи нової системи ЕОМ, що складається з двох ЕОМ типів А1і А2. Відомі виграші від впровадження кожного типу ЕОМ в залежності від зовнішніх умов, якщо порівняти зі старою системою.

При використанні ЕОМ типів А1і А2В залежності від характеру вирішуваних завдань В1і В2 (довготривалі і короткострокові) буде різний ефект. Передбачається, що максимальний виграш відповідає найбільшому значенню критерію ефекту від заміни обчислювальної техніки старого покоління на ЕОМ A1і А2.

Отже, дана матриця гри (табл. 1), де A1, А2 стратегії керівника; В1, В2 стратегії, що відображають характер вирішуваних на ЕОМ завдань.

Таблиця 2.1.

 Гравець 2

 Гравець 1

 В 1

 У 2

 a i

 А 1 0,3 0,8 0,3

 А 2 0,7 0,4 0,4

 b j 0,7 0,8

Потрібно знайти оптимальну змішану стратегію керівника і гарантований середній результат g, тобто визначити, яку частку часу повинні використовуватися ЕОМ типів A1і А2.

2.2 Опис алгоритму рішення

Запишемо умови в прийнятих позначеннях:

а11 = 0,3; а12 = 0,8; а21 = 0,7; а22 = 0,4.

Визначимо нижню і верхню ціни гри:

a1 = 0,3; a2 = 0,4; a = 0,4; b1 = 0,7; b2 = 0,8; b = 0,7.

Отримуємо гру без седловой точки, так як

(2.1)

(2.2)

Максиміна стратегія керівника обчислювального центру - А2.

Для цієї стратегії гарантований виграш дорівнює a = 0,4 (40%) у порівнянні зі старою системою.

Визначимо g, plі р2графіческім способом (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графічна інтерпретація алгоритму рішення

Алгоритм рішення:

1. По осі абсцис відкладемо відрізок одиничної довжини.

2. По осі ординат відкладемо виграші при стратегії А1.

3. На вертикалі в точці 1 відкладемо виграші при стратегії А2.

4. Проводимо пряму b11b12, що сполучає точки а11, а21.

5. Проводимо пряму b21b22, що сполучає точки а12, а22.

6. Визначаємо ординату точки перетину з ліній b11b12і b21b22. Вона дорівнює g.

7. Визначимо абсциссу точки перетину с. Вона дорівнює р2, а р1 = l - р2.

Випишемо рішення і представимо оптимальну стратегію гри:

р1 = 0,375; (2.3)

р2 = 0,625; (2.4)

g = 0,55. (2.5)

Висновок. При установці нової системи ЕОМ, якщо невідомі умови вирішення завдань замовника, на роботу ЕОМ А1должно доводитися 37,5% часу, а на роботу ЕОМ А2- 62,5%. При цьому виграш складе 55% в порівнянні з попередньою системою ЕОМ.

3. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ІГОР З ПРИРОДОЮ

3.1 Постановка завдання

Розглянемо гри з природою на прикладі наступного завдання. Необхідно закупити вугілля для обігріву будинку. Кількість зберігається вугілля обмежено і протягом холодного періоду має бути повністю витрачено. Передбачається, що невитрачений взимку вугілля в літо пропадає. Купувати вугілля можна в будь-який час, проте влітку він дешевше, ніж взимку. Невизначеність полягає в тому, що невідомо, якою буде зима: суворою, тоді доведеться докуповувати вугілля, або м'якою, тоді частина вугілля може залишитися невикористаною. Очевидно, що у природи немає злого наміру і вона нічого проти людини «не має». З іншого боку, довгострокові прогнози, що складаються метеорологічними службами, неточні і тому можуть використовуватися в практичній діяльності тільки як орієнтовні при прийнятті рішень.

Є такі дані про кількість і ціни вугілля, необхідного взимку для опалення будинку (табл. 3.1). Ймовірності зим: м'якої - 0,35; звичайної - 0,5; холодної - 0,15.

 Зима Кількість вугілля, т Середня ціна за 1 т, грн.

 М'яка 4 липня

 Звичайна 5 7,5

 Холодна 8 червень

Ці ціни відносяться до покупок вугілля взимку. Влітку ціна вугілля 6 грн. за 1 т. Є місце для зберігання запасу вугілля до 6 т, заготовленої влітку. Якщо буде потрібно взимку докупити відсутню кількість вугілля, докупка буде з зимових цінами. Передбачається, що все вугілля, який збережеться до кінця зими, в літо пропаде. (Припущення робиться для спрощення постановки і рішення задачі.)

Скільки вугілля влітку купувати на зиму?

3.2 Рішення задач ігор з природою

Користуючись вихідними даними, будуємо матрицю гри. Стратегіями гравця 1 (людина) є різні показники кількості тонн вугілля, які йому, можливо, слід купити. Станами природи виступають ймовірності видів зими.

Обчислимо, наприклад, показник для холодної зими. Гравець 1 придбав вугілля для звичайної зими 5 т за ціною 6 грн. за 1 т. Для обігріву він повинен закупити ще 1 тонну за ціною 8 грн за 1т.

Отже, розрахунок плати за вугілля буде 5 ? 6 - при заготівлі, і взимку 8 ? 1. Аналогічно проводяться розрахунки при інших поєднаннях.

В результаті отримаємо наступну платіжну матрицю в грі з природою платіжну матрицю (табл. 3.2).

Таблиця 3.2.

 Ймовірність

 Зима 0,35 0,5 0,15

 М'яка Звичайна Холодна

 М'яка (4т) - (4 ? 6) - (4 ? 6 + 1 ? 7,5) - (4 ? 6 + 2 ? 8)

 Звичайна (5 т) - (5 ? 6) - (5 ? 6 + 0 ? 7,5) - (5 ? 6 + 1 ? 8)

 Холодна (6 т) - (6 ? 6) - (6 ? 6 + 0 ? 7,5) - (6 ? 6 + 0 ? 8)

Зробимо розрахунок очікуваної середньої плати за вугілля (табл. 3.3).

Таблиця 3.3

 Зима Середня очікувана плата

 М'яка - (24 ? 0,35 + 31,5 ? 0,5 + 40 ? 0,15) = -30,15

 Звичайна - (30 ? 0,35 + 30 ? 0,5 + 38 ? 0,15) = -31,2

 Холодна - (36 ? 0,35 + 36 ? 0,5 + 36 ? 0,15) = - 36

Як видно з табл. 3.3, найменша очікувана середня плата припадає на випадок м'якої зими (30,15 грн.). Відповідно якщо не враховувати ступеня ризику, то представляється доцільним влітку закупити 4 т вугілля, а взимку, якщо буде потрібно, докупити вугілля за вищими зимовим цінами.

Однак, залучаючи додаткову інформацію у формі розрахунку середньоквадратичного відхилення як індексу ризику. Ми можемо уточнити прийняте на основі максимуму прибутку або мінімуму витрат рішення. Додаткові рекомендації можуть виявитися неоднозначними, залежними від схильності до ризику ОПР.

Формули теорії ймовірності:

Дисперсія випадкової величини ? дорівнює

Середньоквадратичне відхилення складе

де D і М - відповідно символи дисперсії і математичного очікування.

Проводячи відповідно обчислення для всіх випадків за таким принципом:

М'яка зима:

М (?2) = - (242 ? 0,35 + 31,52 ? 0,5 + 402 ? 0,15) = - 937,725

(М?) 2 = - (30,152) = - 909,0225

D? = 937,725- 909,0225 = 28,7025

sx = 5,357

Якщо продовжити дослідження процесу прийняття рішення і обчислити середньоквадратичні відхилення плати за вугілля для м'якої, звичайної і холодної зими, то відповідно отримаємо:

- Для м'якої зими sx = 5,357;

- Для звичайної зими sx = 2,856;

- Для холодної зими sx = 0.

Мінімальний ризик, природно, буде для холодної зими, однак при цьому очікувана середня плата за вугілля виявляється максимальною - 36 ф. ст.

Висновок. Ми схиляємося до варіанту купівлі вугілля для звичайної зими, так як очікувана середня плата за вугілля в порівнянні з варіантом для м'якої зими зростає на 3,5%, а ступінь ризику при цьому виявляється майже в 2 рази меншою (sx = 2,856 проти 5,357).

Ставлення середньоквадратичного відхилення до математичного сподівання, варіабельність (середній ризик на що витрачаються 1 ф. Ст.) Для звичайної зими складає 2,856 / 31,2 = 0,0915 проти аналогічного показника для м'якої зими, рівного 5,357 / 30,15 = 0,1777, тобто знову відмінність майже в 2 рази.

Ці співвідношення і дозволяють рекомендувати покупку вугілля, орієнтуючись не на м'яку, а на звичайну зиму.

ВИСНОВОК

На закінчення даної роботи можна зробити висновок про необхідність використання теорії ігор в сучасних економічних умовах.

В умовах альтернативи (вибору) дуже часто нелегко прийняти рішення і вибрати ту чи іншу стратегію. Дослідження операцій дозволяє за допомогою використання відповідних математичних методів прийняти обгрунтоване рішення про доцільність тієї чи іншої стратегії. Теорія ігор, що має в запасі арсенал методів вирішення матричних ігор, дозволяє ефективно вирішувати зазначені завдання декількома методами і з їх безлічі вибрати найбільш ефективні, а також спрощувати вихідні матриці ігор.

У даній роботі були проілюстровані практичне застосування двох основних стратегій теорії ігор і зроблені відповідні висновки.

Список використаних джерел

1. Тернер Д. Імовірність, статистика, дослідження операцій: Пер. з англ. - М .: Висш.шк., 1971.

2. Мак Кісі Дж. Введення в теорію ігор: Пер. з англ. - М .: Физматгиз, 1960.

3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теорія ігор і економічна поведінка: Пер. з англ. - М .: Наука, 1970.

4. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи в економіці. - М .: ДІС, 1997.

5. Дубров А.М. Математико-статистична оцінка ефективності в економічних задачах. - М .: Фінанси і статистика, 1982.

6. Дубров А.М. Послідовний аналіз в статистичній обробці інформації. - М .: Статистика, 1976.

7. Вальд А. Послідовний аналіз: Пер. з англ. - М .: Физматгиз, 1960.

8. Моделювання ризикових ситуацій в економіці та бізнесі: Учеб. посібник /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Є.Ю. Хрустальов, Т.П. Барановська; Під ред. Б.А. Лагоші. - 2-е вид., Пере раб. і доп. - М .: Фінанси і статистика, 2001.

© 8ref.com - українські реферати