На головну    

 Рішення задач з економетрики - Економіко-математичне моделювання

ЗМІСТ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Список використаної літератури

Завдання 1

Є дані за 12 місяців року по району міста про ринок вторинного житла (y - вартість квартири (тис. У.о.), x - розмір загальної площі (м2)). Дані наведені в табл. 1.4.

Таблиця 1

 Місяць 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 у 22,5 25,8 20,8 15,2 25,8 19,4 18,2 21,0 16,4 23,5 18,8 17,5

 х 29,0 36,2 28,9 32,4 49,7 38,1 30,0 32,6 27,5 39,0 27,5 31,2

Завдання:

1. Розрахуйте параметри рівнянь регресій

і.

2. Оцініть тісноту зв'язку з показником кореляції і детермінації.

3. Розрахуйте середній коефіцієнт еластичності і дайте порівняльну оцінку сили зв'язку фактора з результатом.

4. Розрахуйте середню помилку апроксимації та оцініть якість моделі.

5. За допомогою F-статистики Фішера (при) оцініть надійність рівняння регресії.

6. Розрахуйте прогнозне значення, якщо прогнозне значення фактора збільшиться на 5% від його середнього значення. Визначте довірчий інтервал прогнозу для.

7. Розрахунки повинні бути докладні, як показано в прикладі 1, і супроводжено поясненнями.

Рішення

Складемо таблицю розрахунків 2.

Всі розрахунки в таблиці велися за формулами

.

Таблиця 2

х

 х 2 у ху

 у 2

 А (%)

 29,0 841,0 22,5 652,5 506,3 2,1 -4,5 4,38 20,33 18,93 3,57 12,75 15,871

 36,2 1310,4 25,8 934,0 665,6 5,4 2,7 29,07 7,25 21,28 4,52 20,40 17,506

 28,9 835,2 20,8 601,1 432,6 0,4 -4,6 0,15 21,24 18,90 1,90 3,62 9,152

 32,4 1049,8 15,2 492,5 231,0 -5,2 -1,1 27,13 1,23 20,04 -4,84 23,43 31,847

 49,7 2470,1 25,8 1282,3 665,6 5,4 16,2 29,07 262,17 25,70 0,10 0,01 0,396

 38,1 1451,6 19,4 739,1 376,4 -1,0 4,6 1,02 21,08 21,90 -2,50 6,27 12,911

 30,0 900,0 18,2 546,0 331,2 -2,2 -3,5 4,88 12,31 19,26 -1,06 1,12 5,802

 32,6 1062,8 21,0 684,6 441,0 0,6 -0,9 0,35 0,83 20,11 0,89 0,80 4,256

 27,5 756,3 16,4 451,0 269,0 -4,0 -6,0 16,07 36,10 18,44 -2,04 4,16 12,430

 39,0 1521,0 23,5 916,5 552,3 3,1 5,5 9,56 30,16 22,20 1,30 1,69 5,536

 27,5 756,3 18,8 517,0 353,4 -1,6 -6,0 2,59 36,10 18,44 0,36 0,13 1,923

 31,2 973,4 17,5 546,0 306,3 -2,9 -2,3 8,46 5,33 19,65 -2,15 4,62 12,277

 402,1 13927,8 244,9 8362,6 5130,7 0,0 0,0 132,7 454,1 - - 79,0 129,9

 Середнє значення 33,5 1160,7 20,4 696,9 427,6 - - - - - - 6,6 10,8

 6,43 - 3,47 - -

 41,28 - 12,06 - -

Тоді

,

і лінійне рівняння регресії набуде вигляду :.

Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

.

Зв'язок між прізнакомі факторомзаметная.

Коефіцієнт детермінації - квадрат коефіцієнта або індексу кореляції.

R2 = 0,6062 = 0,367

Середній коефіцієнт еластічностіпозволяет перевірити, чи мають економічний сенс коефіцієнти моделі регресії.

Для оцінки якості моделі визначається середня помилка апроксимації:

,

допустимі значення якої 8 - 10%.

Обчислимо значення-критерію Фішера.

,

де

- Число параметрів рівняння регресії (число коефіцієнтів при пояснюватиме змінної);

- Обсяг сукупності.

.

По таблиці розподілу Фішера знаходимо

.

Так як, то гіпотезао статистичної незначущості параметрауравненія регресії відхиляється.

Так як, то можна сказати, що 36,7% результату пояснюється варіацією пояснюватиме змінної.

Виберемо в якості моделі рівняння регресії, попередньо лінеаризовану модель. Введемо позначення :. Отримаємо лінійну модель регресії.

Розрахуємо коефіцієнти моделі, помістивши всі проміжні розрахунки в табл. 3.Табліца 3

 y yU

 y 2

 А (%)

 5,385 29,0 22,5 121,17 506,25 1,640 -0,452 2,69 0,20 13,74 8,76 76,7 38,92

 6,017 36,2 25,8 155,23 665,64 4,940 0,180 24,40 0,03 14,01 11,79 139,0 45,70

 5,376 28,9 20,8 111,82 432,64 -0,060 -0,461 0,004 0,21 13,74 7,06 49,9 33,95

 5,692 32,4 15,2 86,52 231,04 -5,660 -0,145 32,04 0,02 13,87 1,33 1,8 8,72

 7,050 49,7 25,8 181,89 665,64 4,940 1,213 24,40 1,47 14,42 11,38 129,5 44,11

 6,173 38,1 19,4 119,75 376,36 -1,460 0,336 2,13 0,11 14,07 5,33 28,4 27,45

 5,477 30,0 18,2 99,69 331,24 -2,660 -0,360 7,08 0,13 13,78 4,42 19,5 24,27

 5,710 32,6 21,0 119,90 441 0,140 -0,127 0,02 0,02 13,88 7,12 50,7 33,89

 5,244 27,5 16,4 86,00 268,96 -4,460 -0,593 19,89 0,35 13,68 2,72 7,4 16,58

 6,245 39,0 23,5 146,76 552,25 2,640 0,408 6,97 0,17 14,10 9,40 88,3 39,98

 58,368 343,4 208,600 1228,71 4471,02 - - - - - - - 313,567

 Середнє значення 5,837 34,34 20,860 122,871 447,10 - - - - - - - 31,357

 0,549 - 3,646 - - - -

 0,302 - 13,292 - - - -

Розрахуємо параметри рівняння:

,

,

.

Коефіцієнт кореляції

.

Коефіцієнт детермінації

,

отже, тільки 9,3% результату пояснюється варіацією пояснюватиме змінної.

,

,

отже, гіпотезао статистичної незначущості рівняння регресії приймається. За всіма розрахунками лінійна модель надійніше, і наступні розрахунки ми зробимо для неї.

 11

Оцінимо значимість кожного параметра рівняння регресії

.

Використовуємо для цього t-розподіл (Стьюдента). Висуваємо гіпотезуо статистичної незначущості параметрів, тобто

.

.

Визначимо помилки.

,

,

,

,

,

.

Отримані оцінки моделі та її параметрів дозволяють використовувати її для прогнозу.

Розрахуємо

.

Тоді

.

Середня помилка прогнозу

,

де

,

.

Будуємо довірчий інтервал із заданою довірчою ймовірністю:

,

,

.

Знайдений інтервальний прогноз досить надійний (довірча ймовірність) і досить точний, т.к ..

Оцінимо значимість кожного параметра рівняння регресії

.

Використовуємо для цього t-розподіл (Стьюдента). Висуваємо гіпотезуо статистичної незначущості параметрів, тобто

.

.

Визначимо помилки.

,

,

,,

,.

Отже, ине випадково відрізняються від нуля, а сформувалися під впливом систематично діючої похідної.

1., отже, якість моделі не дуже хороше.

2. Отримані оцінки моделі та її параметрів дозволяють використовувати її для прогнозу.

Розрахуємо. Тоді.

3. Середня помилка прогнозу

,

де

,

.

Будуємо довірчий інтервал із заданою довірчою ймовірністю:

,

,

.

Знайдений інтервальний прогноз досить надійний (довірча ймовірність) і досить точний, т.к ..

Завдання 2

Є дані про діяльність найбільших компаній протягом дванадцяти місяців 199х року. Дані наведені в табл. 4.

Відомі - чистий дохід (у), оборот капіталу (х1), використаний капітал (х2) у млрд у.е.Табліца 4

у

 х 1

 х 2

 1,5 5,9 5,9

 5,5 53,1 27,1

 2,4 18,8 11,2

 3,0 35,3 16,4

 4,2 71,9 32,5

 2,7 93,6 25,4

 1,6 10,0 6,4

 2,4 31,5 12,5

 3,3 36,7 14,3

 1,8 13,8 6,5

 2,4 64,8 22,7

 1,6 30,4 15,8

Завдання:

1. Розрахуйте параметри лінійного рівняння множинної регресії.

2. Дайте оцінку сили зв'язку факторів з результатом за допомогою середніх коефіцієнтів еластичності.

3. Оцініть статистичну залежність параметрів і рівняння регресії в цілому за допомогою відповідно критеріїв Стьюдента і Фішера (? = 0,01).

4. Розрахуйте середню помилку апроксимації. Зробіть висновок.

5. Складіть матриці парних і приватних коефіцієнтів кореляції і вкажіть інформативні чинники.

6. Оцініть отримані результати, висновки оформіть в аналітичній записці.

Рішення

Результати розрахунків наведено в табл. 5.

Таблиця 5

y

 x 1

 x 2

 yx 1

 yx 2

 x 1 x 2

 x 1 лютого

 x 2 лютого

 y 2

 1,5 5,9 5,9 8,85 8,85 34,81 34,81 34,81 2,25

 5,5 53,1 27,1 292,05 149,05 1439,01 2819,61 734,41 30,25

 2,4 18,8 11,2 45,12 26,88 210,56 353,44 125,44 5,76

 3 35,3 16,4 105,90 49,20 578,92 1246,09 268,96 9

 4,2 71,9 32,5 301,98 136,50 2336,75 5169,61 1056,25 17,64

 2,7 93,6 25,4 252,72 68,58 2377,44 8760,96 645,16 7,29

 1,6 10 6,4 16,00 10,24 64,00 100,00 40,96 2,56

 2,4 31,5 12,5 75,60 30,00 393,75 992,25 156,25 5,76

 3,3 36,7 14,3 121,11 47,19 524,81 1346,89 204,49 10,89

 1,8 13,8 6,5 24,84 11,70 89,70 190,44 42,25 3,24

 2,4 64,8 22,7 155,52 54,48 1470,96 4199,04 515,29 5,76

 1,6 30,4 15,8 48,64 25,28 480,32 924,16 249,64 2,56

 32,4 465,8 196,7 1448,33 617,95 10001,03 26137,30 4073,91 102,96

 Сер. 2,7 38,8 16,4 120,69 51,50 833,42 - - 65,80

 1,2 27,1 8,8 - - - - - -

 1,4 732,4 77,2 - - - - - -

Розглядаємо рівняння виду:

.

Параметри рівняння можна знайти з рішення системи рівнянь:

Або, перейшовши до рівняння в стандартизованому масштабі:

, Де

- Стандартизовані змінні,

- Стандартизовані коефіцієнти:

Коеффіціентиопределяются з системи рівнянь:

,;

;

,;

,;

,;

,;

,;

.

Стандартизована форма рівняння регресії має вигляд:

.

Природна форма рівняння регресії має вигляд:

.

Для з'ясування відносної сили впливу факторів на результативний ознака розраховуються середні коефіцієнти еластичності:

,

,

.

Отже, при збільшенні обороту капіталу (x1) на 1% чистий дохід (y) зменшується на 0,14% від свого середнього рівня. При підвищенні використаного капіталу на 1% чистий дохід підвищується на 0,73% від свого середнього рівня.

Лінійні коефіцієнти приватної кореляції для рівняння визначаються наступним чином:

,

.

Лінійний коефіцієнт множинної кореляції розраховується за формулою

.

Коефіцієнт множинної детермінації.

,

де

- Обсяг вибірки,

- Число факторів моделі.

У нашому випадку

.

Так як, тои тому рівняння незначимо.

З'ясуємо статистичну значущість кожного фактора в рівнянні множинної регресії.

Для цього розрахуємо приватні-статистики.

.

Так як, тои випливає висновок про недоцільність включення в модель факторапосле фактора.

.

Так як, то випливає висновок про недоцільність включення в модель факторапосле фактора.

Результати розрахунків дозволяють зробити висновок:

1) про незначущості фактораі недоцільності включення його в рівняння регресії;

2) про незначущості фактораі недоцільності включення його в рівняння регресії.

Завдання 3

1. Використовуючи необхідна і достатня умова ідентифікації, визначити, ідентифіковано чи кожне рівняння моделі.

2. Визначте тип моделі.

3. Визначте метод оцінки параметрів моделі.

4. Опишіть послідовність дій при використанні зазначеного методу.

5. Результати оформіть у вигляді пояснювальної записки.

Модель грошового і товарного ринків:

Rt = a1 + b12Yt + b14Mt + e1,

Yt = a2 + b21Rt + b23It + b25Gt + e2,

It = a3 + b31Rt + e3,

де

R - процентні ставки;

Y - реальний ВВП;

M - грошова маса;

I - внутрішні інвестиції;

G - реальні державні витрати.

Рішення

1. Модель має три ендогенні (RtYtIt) і дві екзогенні змінні (MtGt).

Перевіримо необхідна умова ідентифікації:

1-е рівняння: D = 1, H = 2, D + 1 = H - рівняння ідентифіковано.

2-е рівняння: D = 1, H = 1, D + 1 = 2 - рівняння сверхідентіфіціровано.

3-е рівняння: D = 1, H = 2, D + 1 = H - рівняння ідентифіковано.

Отже, необхідна умова ідентифікованих виконано.

Перевіримо достатня умова:

У першому рівнянні немає змінних It, Gt

Будуємо матрицю:

 It Gt

 2 ур. b23 b23

 3 ур. 0 0

det M = det, rank M = 2.

У другому рівнянні немає змінних Mt

det M ? 0

У третьому рівнянні немає змінних Yt, Mt, Gt

Будуємо матрицю:

det M /

Отже, достатня умова ідентифікованих виконано.

Система точно ідентифікується.

2. Знайдемо структурні коефіцієнти моделі.

Для цього:

Запишемо систему в матричній формі, перенісши всі ендогенні змінні в ліві частини системи:

Rt-b12Yt = a1 + b12Mt

Yt-b21Rt-b23It = a2 + b25Gt

It-b31Rt = a3

звідки

, І ,,,.

Вирішуємо систему щодо :. Знайдемо

, Де-

алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці, - мінор, тобто визначник, отриманий з матріцивичерківаніем i-го рядка і j-го стовпця.

,

,

,

.

Тому

В даному випадку ці коефіцієнти можна знайти значно простіше. Находіміз другого рівняння наведеної системи і підставимо його в перше рівняння цієї системи. Тоді перше рівняння системи прийме вигляд :, звідки ,. З третього рівняння системи знаходимо підставляємо в друге рівняння системи, отримаємо :, вирішуючи його спільно з уравненіемі, виключаючи, отримаємо. Порівнюючи це рівняння з другим рівнянням системи отримаємо. Виражаяіз другого рівняння, і підставляючи в третьому системи (3.2), отримаємо. Порівнюючи це рівняння з третім рівнянням системи, отримаємо.

Завдання 4

Є дані за п'ятнадцять днів за кількістю пацієнтів клініки, що пройшли через відповідні відділення протягом дня. Дані наведені в табл. 6.

Таблиця 6

 День Очне відділення

 30 січня

 22 лютого

 19 березня

 28 квітня

 24 травня

 18 червня

 7 35

 29 серпня

 9 40

 10 34

 31 листопада

 29 грудня

 13 35

 14 23

 15 27

Потрібно:

1. Визначити коефіцієнти автокореляції рівнів ряду першого і другого порядку.

2. Обгрунтувати вибір рівняння тренда і визначте його параметри.

3. Зробити висновки.

4. Результати оформити у вигляді пояснювальної записки.

Рішення

Визначимо коефіцієнт кореляції між рядами. Ррасчети наведені в таблиці 7:

 рік

 30 січня - - - - - - - - - - - -

 22 лютого 30 - -6,14 1,64 37,73 2,70 - - - - 10,09 -

 3 19 22 30 -9,14 -6,36 83,59 40,41 -9,36 1,23 87,56 1,51 58,12 11,52

 4 28 19 22 -0,14 -9,36 0,02 87,56 -0,36 -6,77 0,13 45,82 1,34 2,42

 5 24 28 19 -4,14 ??-0,36 17,16 0,13 -4,36 -9,77 18,98 95,44 1,48 42,57

 6 18 24 28 -10,14 -4,36 102,88 18,98 -10,36 -0,77 107,27 0,59 44,19 7,97

 7 35 18 24 6,86 -10,36 47,02 107,27 6,64 -4,77 44,13 22,75 71,02 31,68

 8 29 35 18 0,86 6,64 0,73 44,13 0,64 -10,77 0,41 115,98 5,69 6,92

 9 40 29 35 11,86 0,64 140,59 0,41 11,64 6,23 135,56 38,82 7,62 72,54

 10 34 40 29 5,86 11,64 34,31 135,56 5,64 0,23 31,84 0,05 68,19 1,30

 11 31 34 40 2,86 5,64 8,16 31,84 2,64 11,23 6,98 126,13 16,12 29,68

 12 29 31 34 0,86 2,64 0,73 6,98 0,64 5,23 0,41 27,36 2,27 3,36

 13 35 29 31 6,86 0,64 47,02 0,41 6,64 2,23 44,13 4,98 4,41 14,82

 14 23 35 29 -5,14 6,64 26,45 44,13 -5,36 0,23 28,70 0,05 34,16 1,24

 15 27 23 35 -1,14 -5,36 1,31 28,70 -1,36 6,23 1,84 38,82 6,12 8,46

 120 - - - 0,00 0,00 547,71 549,21 3,36 0,00 507,94 518,31 330,84 234,47

 Сер. 8

 28,14

 28,36 28,36 28,77

Результат говорить про помітною залежності між показниками і наявності в тимчасовому ряді лінійної тенденції.

Визначимо коефіцієнт автокореляції другого порядку:

,

Результат підтверджує наявність лінійної тенденції. Вибираємо лінійне рівняння тренду :.

Параметри визначимо, використовуючи МНК. Результати розрахунків наведено в табл. 8.

Таблиця 8

 30 січня 1900 30 -7,00 49

 22 лютого 4484 44 -6,00 36

 19 березня 9361 57 -5,00 25

 4 28 16 784 112 -4,00 16

 5 24 25 576 120 -3,00 9

 6 18 36 324 108 -2,00 4

 7 35 49 1225 245 -1,00 1

 8 29 64 841 232 0,00 0

 9 40 81 1600 360 1,00 1

 10 34 100 1156 340 2,00 4

 11 31 121 961 341 3,00 9

 12 29 144 841 348 4,00 16

 13 35 169 1225 455 5,00 25

 14 23 196 529 322 6,00 36

 15 27 225 729 405 7,00 49

 120 424 1240 12536 3519 0280

 Сер. 8,00 28,27 82,67 835,73 234,6 - -

.

Рівняння тренду прийме вигляд :, коефіцієнт кореляції

.

Розрахункове значення критерію Фішера одно,

,

рівняння статистично значимо і прогноз має сенс.

Список використаної літератури

1. Айвазян С.А., Мхітарян В.С. Прикладна статистика і основи економетрики. - М .: ЮНИТИ, 1998.

2. Катишев П.К., Пересецького А.А. Збірник завдань до початкового курсу економетрики. - М .: Справа, 1999.

3. Магнус Я.Р., Катишев П.К., Пересецького А.А. Економетрика: початковий курс. - М .: Справа, 2000.

4. Практикум з економетрики. Під ред. І.І. Єлісєєвої. - М .: Фінанси і статистика, 2001.

5. Еддоус М., Стенсфілд Р. Методи прийняття рішення. - М .: ЮНИТИ, 1997.

6. Економетрика. Під ред. І.І. Єлісєєвої. - М .: Фінанси і статистика, 2001.

© 8ref.com - українські реферати