Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Коріння многочленів від однієї змінної - Математика

Новосибірський державний педагогічний університет.

Математичний факультет.

Кафедра алгебри.

Курсова робота з математики.

Многочлени

Виконала: студентка 35гр.

Голобокова О.В.

Науковий керівник:

старший викладач

Гейбука С.В.

Новосибірськ, 2008

Зміст

Введення

§1. Многочлени від однієї змінної

Поняття многочлена. Ступінь многочлена

Рівність многочленів. Значення многочленів

Операції над многочленами

Схема Горнера

Коріння многочленів

Кратні корені многочлена

Раціональні корені многочлена

§ 2. Завдання про многочленів

Висновок

Список літератури

Введення

Тема моєї курсової роботи "Багаточлени".

У ній я хочу дати поняття многочлена, визначити операції над ними, розглянути способи знаходження залишків при діленні: схема Горнера. А так само розглянути види коренів: раціональні, кратні.

Для цього мені потрібно вивчити наукову та методичну літературу, підібрати і вирішити завдання з даної теми, включаючи олімпіадні.

У першому розділі своєї роботи я розглядаю основне поняття многочлена, операції над ними, вводжу визначення та основні поняття схеми Горнера, розглядаю кратні і раціональні корені многочлена. У другому розділі вирішую задачі, включаючи олімпіадні.

§1. Многочлени від однієї змінної

 Поняття многочлена. Ступінь многочлена

Многочленом від змінної х будемо називати вираз виду

anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, де n - натуральне число; аn, an-1, ..., a1, a0- будь-які числа, звані коефіцієнтами цього многочлена. Вирази anxn, an-1xn-1, ..., a1х, a0називаются членами многочлена, а0- вільним членом.

Часто будемо вживати і такі терміни: an- коефіцієнт при хn, аn-1-коефіцієнт при хn-1 та т.д.

Прикладами многочленів є наступні вирази: 0х4 + 2х3 + (-3) х3 + (3/7) х +; 0х2 + 0х + 3; 0х2 + 0х + 0. Тут для першого многочлена коефіцієнтами є числа 0, 2, - 3, 3/7 ,; при цьому, наприклад, число 2 - коефіцієнт при х3, а- вільний член.

Многочлен, у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, називається нульовим.

Так, наприклад, многочлен 0х2 + 0х + 0 - нульовий.

Із запису многочлена видно, що він складається з кількох членів. Звідси і відбувся термін << многочлен >> (багато членів). Іноді многочлен називають поліномом. Цей термін походить від грецьких слів ?? - багато і ?? - член.

Многочлен від однієї змінної х будемо позначати так: f (x), g (x), h (x) і т.д. наприклад, якщо перший наведених вище многочленів позначити f (x), то можна записати: f (x) = 0x4 + 2x3 + (-3) x2 + 3 / 7x +.

Для того щоб запис многочлена виглядала простіше і виглядала компактніше, домовилися про ряд умовностей.

Ті учасниці не нульового многочлена, у коефіцієнти дорівнюють нулю, що не записують. Наприклад, замість f (x) = 0x3 + 3x2 + 0x + 5 пишуть: f (x) = 3x2 + 5; замість g (x) = 0x2 + 0x + 3 - g (x) = 3. Таким чином, кожне число - це теж многочлен. Многочлен h (x), у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто нульовий многочлен, записують так: h (x) = 0.

Коефіцієнти многочлена, які не є вільним членом і рівні 1, теж не записують. Наприклад, многочлен f (x) = 2x3 + 1x2 + 7x + 1 можна записати так: f (x) = x3 + x2 + 7x + 1.

Знак << - >> негативного коефіцієнта відносять до члена, який містить цей коефіцієнт, тобто, наприклад, многочлен f (x) = 2x3 + (-3) x2 + 7x + (-5) записують у вигляді f (x) = 2x3 -3x2 + 7x-5. При цьому, якщо коефіцієнт, який не є вільним членом, дорівнює - 1, то знак "-" зберігають перед відповідним членом, а одиницю не пишуть. Наприклад, якщо многочлен має вигляд f (x) = x3 + (-1) x2 + 3x + (-1), то його можна записати так: f (x) = x3-x2 + 3x-1.

Може виникнути питання: навіщо, наприклад, домовлятися про заміну 1х на х у записі многочлена, якщо відомо, що 1х = х для будь-якого числа х? Справа в тому, що остання рівність має місце, якщо х - число. У нашому ж випадку х - елемент довільної природи. Більше того запис 1х ми поки не маємо права розглядати як добуток числа 1 і елемента х, бо, повторюємо х - це не число. Саме такою обставиною і викликані умовності в записі многочлена. І якщо ми далі говоримо все-таки про твір, скажімо, 2 і х без всяких підстав, то цим допускаємо деяку нестрогість.

У зв'язку з умовностями в записі многочлена звертаємо увагу на таку деталь. Якщо є, наприклад, многочлен f (x) = 3х3-2х2-х + 2, то його коефіцієнти - це числа 3, - 2, - 1,2. Звичайно, можна було б сказати, що коефіцієнтами є числа 0, 3, - 2, - 1, 2, маючи на увазі таке подання даного многочлена: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x + 2.

Надалі для визначеності будемо вказувати коефіцієнти, починаючи з відмінного від нуля, в порядку їх слідування в записі многочлена. Так, коефіцієнтами многочлена f (x) = 2x5-x є числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Справа в тому, що хоча, наприклад, член з х2в записи відсутня, це лише означає, що його коефіцієнт дорівнює нулю. Аналогічно вільного члена в запису немає, оскільки він дорівнює нулю.

Якщо є многочлен f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0і an ? 0, то число n називають ступенем многочлена f (x) (або кажуть: f (x) - n-го ступеня) і пишуть ст. f (x) = n. У цьому випадку anназивается старшим коефіцієнтом, а anxn- старшим членом даного многочлена.

Наприклад, якщо f (x) = 5x4-2x + 3, то ст. f (x) = 4, старший коефіцієнт - 5, старший член - 5х4.

Розглянемо тепер многочлен f (x) = a, де а - число, відмінне від нуля. Чому дорівнює ступінь цього многочлена? Легко помітити, що коефіцієнти многочлена f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0пронумеровани справа наліво числами 0, 1, 2, ..., n-1, n і якщо an ? 0, то ст . f (x) = n. Значить, ступінь многочлена - це найбільший з номерів його коефіцієнтів, відмінних від нуля (при тій нумерації, про яку тільки що говорилося). Повернемося тепер до многочлену f (x) = a, a ? 0, і пронумеруємо його коефіцієнти справа наліво числами 0, 1, 2, ... коефіцієнт а при цьому отримає номер 0, а так як всі інші коефіцієнти - нульові, то це і є найбільший з номерів коефіцієнтів даного многочлена, відмінних від нуля. Значить ст. f (x) = 0.

Таким чином, многочлени нульового ступеня - це числа, відмінні від нуля.

Залишилося з'ясувати, як йде справа зі ступенем нульового многочлена. Як відомо, всі його коефіцієнти рівні нулю, і тому до нього не можна застосувати дане вище визначення. Так от, умовилися нульового многочлену не привласнює ніякої ступеня, тобто що він не має ступеня. Така умовність викликана деяким обставиною, які будуть розглянуті дещо пізніше.

Отже, нульовий многочлен ступеня не має; многочлен f (x) = a, де а - число, відмінне від нуля, має ступінь 0; ступінь ж всякого іншого многочлена, як легко помітити, дорівнює найбільшому показнику ступеня змінної х, коефіцієнт при якій дорівнює нулю.

На закінчення нагадаємо ще кілька визначень. Многочлен другого ступеня f (x) = ax2 + bx + c називається квадратним тричленів. Многочлен першого ступеня виду g (x) = x + c називається лінійним двучленной.

 Рівність многочленів. Значення многочленів

Два многочлена f (x) і g (x) вважаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної х і вільні члени (або, коротше, рівні їх відповідні коефіцієнти). У цьому випадку пишуть: f (x) = g (x).

Наприклад, многочлени f (x) = x3 + 2x2-3x + 1 і g (x) = 2x2-3x + 1 не рівні, бо у першого з них коефіцієнт при х3равен 1, а у другому - нулю (згідно з прийнятими умовностей ми можемо записати: g (x) = 0x3 + 2x2-3x + 1. У цьому випадку пишуть: f (x) ? g (x). Чи не рівні і многочлени h (x) = 2x2-3x + 5, s (x) = 2x2 + 3x + 5, так як у них коефіцієнти при х різні. А ось многочлени f1 (x) = 2x5 + 3x3 + bx + 3 і g1 (x) = 2x5 + ax3-2x + 3 рівні тоді і тільки тоді, коли а = 3, а b = -2.

Нехай дано многочлен f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0і деяке число с. Число f (c) = ancn + an-1cn-1 + ... + a1c + a0називается значенням многочлена f (x) при х = с.

Таким чином, щоб знайти f (c), в многочлен замість х потрібно підставити с і провести необхідні обчислення. Наприклад, якщо f (x) = 2x3 + 3x2-x + 5, то f (-2) = 2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) + 5 = 3.

Розглянемо многочлен f (x) = a і знайдемо, наприклад, f (2). Для цього в многочлен замість х треба підставити число 2 і провести необхідні обчислення. Однак у нашому випадку f (x) = a і змінної х в явному вигляді немає. Згадаймо, що розглянутий многочлен можна записати у вигляді f (x) = 0x + a. Тепер все гаразд, можна підставити значення х = 2: f (2) = 02 + a = a. Зауважимо, що для даного многочлена f (c) = a при будь-якому с. Зокрема, нульовий многочлен при будь-якому з приймає значення, рівне нулю.

Взагалі кажучи, многочлен при різних значеннях змінної х може приймати різні значення. Нас же досить часто цікавитимуть ті значення х, при яких многочлен приймає значення 0. Число з називається коренем многочлена f (x), якщо f (c) = 0.

Наприклад, якщо f (x) = x2-3x + 2, то числа 1 і 2 є коренями цього многочлена, бо f (1) = 0 і f (2) = 0. А ось многочлен f (x) = 5 коренів взагалі не має. Справді, при будь-якому значенні х він приймає значення 5, а значить, ніколи не приймає значення 0. Для нульового ж многочлена, як легко помітити, кожне число є коренем.

Пошук коренів многочленів є однією з найважливіших задач алгебри. Знаходити коріння лінійних двучленной і квадратних тричленів вчать ще в школі. Що стосується многочленів більш високих ступенів, то для них таке завдання є дуже складній і не завжди вирішуваною. Надалі ми неодноразово будемо нею займатися. А зараз зауважимо тільки, що знайти коріння многочлена f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0і вирішити рівняння anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 - це еквівалентні завдання. Тому, навчившись знаходити корені многочлена, ми навчимося вирішувати відповідні рівняння, і навпаки.

Звернемо увагу на відмінність між двома твердженнями: "многочлен f (x) дорівнює нулю (або, що те ж саме, многочлен f (x) - нульовий)" і "значення многочлена f (x) при х = с дорівнює нулю". Наприклад, многочлен f (x) = x2-1 не дорівнює нулю, бо у нього є ненульові коефіцієнти, а його значення при х = 1 дорівнює нулю. Коротше, f (x) ? 0, а f (1) = 0.

Між поняттями рівності многочленів і значення многочлена існує тісний взаємозв'язок. Якщо дано два рівних многочлена f (x) і g (x), то їх відповідні коефіцієнти рівні, а значить, f (c) = g (c) для кожного числа с. Іншими словами, якщо f (c) = g (c) для кожного числа c, то чи рівні многочлени f (x) і g (x)? Спробуємо відповісти на це питання в окремому випадку, коли f (x) = px2 + qx + r, а g (x) = kx + m. Так як f (c) = g (c) для кожного числа с, то, зокрема, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (- 1).

Обчисливши фігурують у цих равенствах значення розглянутих многочленів, отримаємо систему

З цієї системи випливає, що p = 0, q = k, r = m, а значить, f (x) = g (x).

Таким чином, для розглянутого прикладу відповідь на поставлене питання позитивна. Виявляється, це справедливо і в загальному випадку, після ознайомлення з деякими іншими поняттями і твердженнями теорії многочленів.

 Операції над многочленами

Многочлени можна складати, віднімати і множити за звичайними правилами розкриття дужок і приведення подібних членів. При цьому в результаті знову виходить многочлен. Зазначені операції мають відомими властивостями:

f (x) + g (x) = g (x) + f (x),

f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x),

f (x) g (x) = g (x) f (x),

f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x),

f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Встановимо ще кілька корисних властивостей операцій над многочленами.

Нехай дано два многочлена f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an ? 0, і g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + bm ? 0. Ясно, що ст. f (x) = n, а ст. g (x) = m. Неважко помітити, що якщо перемножити ці два многочлена, вийде многочлен виду f (x) g (x) = anbmxm + n + ... + a0b0. Так як an ? 0 і bn ? 0, то anbm ? 0, а значить, ст. (F (x) g (x)) = m + n. Звідси випливає важливе твердження.

Ступінь твори двох ненульових многочленів дорівнює сумі ступенів співмножників, або, коротше, ст. (F (x) g (x)) = ст. f (x) + ст. g (x).

Легко довести, що аналогічне твердження має місце для будь-якого кінцевого числа ненульових співмножників, тобто що ст. (F1 (x) f2 (x) ... fs (x)) = ст. f1 (x) + ст. f2 (x) + ... + ст. fs (x).

З міркувань, наведених вище для ступеня добутку двох многочленів, слід два корисних твердження, які легко розповсюджуються на будь-яке кінцеве число співмножників.

Старший член (коефіцієнт) твори двох ненульових многочленів дорівнює добутку старших членів (коефіцієнтів) співмножників.

Вільний член добутку двох многочленів дорівнює добутку вільних членів співмножників.

Ступеня багаточленів f (x), g (x) і f (x) ± g (x) пов'язані наступним співвідношенням: ст. (F (x) ± g (x)) ? maxст. f (x), ст. g (x).

Нагадаємо, що многочлен - вираз вид anxn + an-1xn-1 + ... + + a1x + a0.

Чи будуть многочленами вирази: 2x2 + 4 + 3x3; (X2-1) (2x + 5); (X2 + 1) (x-3) + 2x?

Спробуємо розібратися в цьому.

Перший вираз можна розглядати як суму многочленів f1 (x) = 2x2, f2 (x) +4, fa (x) + 3x3. Але, як відомо, сума многочленів - це теж многочлен. Значить, перший вираз можна вважати невдало записаним многочленом. Скориставшись тим, що при додаванні многочленів доданки можна переставляти місцями, отримаємо 2x2 + 4 + 3x3 = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) = f3 (x) + f1 (x) + f2 (x) = 3x3 + 2x2 + 4.

Аналогічно другий вираз - це твір многочленів g1 (x) = x2-1 і g2 (x) = 2x + 5, а значить, теж многочлен. Легко переконатися, що і третє вираз також є многочленом.

Тепер познайомимося з ще однією операцією над многочленами - суперпозицією.

Суперпозицією многочленів f (x) і g (x) називається многочлен, що позначається f (g (x)), який виходить якщо в многочлене f (x) замість x підставити многочлен g (x).

Наприклад, якщо f (x) = x2 + 2x-1 і g (x) = 2x + 3, то f (g (x)) = f (2x + 3) = (2x + 3) 2 + 2 (2x + 3) - 1 = 4x2 + 16x + 14, g (f (x)) = g (x2 + 2x-1) = 2 (x2 + 2x - 1) + 3 = 2x2 + 4x + 1.

Видно, що f (g (x)) ? g (f (x)), тобто суперпозиція многочленів f (x), g (x) і суперпозиція многочленів g (x), f (x) різні. Таким чином, операція суперпозиції не має властивість переместительности.

 Схема Горнера

Розділити із залишком многочлен f (x) на ненульовий многочлен g (x) - це означає представити f (x) у вигляді f (x) = g (x) s (x) + r (x), де s (x) і r (x) -многочлени і або r (x) = 0, або ст. r (x) <ст. g (x). S (x) назвемо неповним приватним, а r (x) - залишком при діленні f (x) на g (x).

Неповне приватне при діленні можна знайти за допомогою простого правила, званого схемою Горнера, яке, до речі, дозволяє знайти і залишок.

Нехай f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an ? 0 - многочлен n-го ступеня. При розподілі його на x - c ми отримаємо неповну частку s (x) і залишок r, тобто f (x) = (x - c) s (x) + r. Так як ст. f (x) = n, а ст. (X - c) = 1, то

ст. s (x) = n - 1, тобто s (x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0, bn-1 ? 0. Таким обрзуют, маємо рівність

anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = (x - c) (bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0) + r.

Многочлени, що стоять в лівій і правій частинах цього співвідношення, рівні, а значить, рівні їх відповідні коефіцієнти. Прирівняємо їх, розкривши попередньо дужки і привівши подібні члени в правій частині даного рівності. Отримаємо:

a = bn-1, a-1 = bn-2- cbn-1, a-2 = bn-3- cbn-2,

a2 = b1- cb2, a1 = b0- cb1, a0 = r - cb0.

Нагадаємо, що потрібно знайти неповне приватне, тобто його коефіцієнти, і залишок.

Висловимо їх з отриманих рівностей:

bn-1 = an,

bn-2 = cbn-1 + an-1, bn-3 = cbn-2 + an-2,

b1 = cb2 + a2, b0 = cb1 + a1, r = cb0 + a0.

Ми знайшли формули, за якими можна обчислювати коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. При цьому обчислення оформляються у вигляді такої таблиці; вона називається схемою Горнера.

Таблиця 1.

Коефіцієнти f (x)

 a n

 a n-1

 a n-2 ...

 a 0

c

 b n-1

 b n-2 = cb n-1 + a n-1

 b n-3 = cb n-2 + a n-2 ...

 r = cb 0 + a 0

Коефіцієнти s (x) залишок

У перший рядок цієї таблиці записують підряд всі коефіцієнти многочлена f (x), залишаючи першу клітку вільною. У другому рядку в першій клітині записують число c.

Решта клітини цього рядка заповнюють, обчислюючи один за іншим коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. У другій клітці записують коефіцієнт bn-1, який, як ми встановили, дорівнює an.

Коефіцієнт, що стоять у кожній наступній клітці, обчислюються за таким правилом: число c множиться на число, що стоїть в попередній клітці, і до результату додається число, що стоїть над заповнюваної кліткою. Щоб запам'ятати, скажімо, п'ятий клітину, тобто знайти стоїть в ній коефіцієнт, потрібно c помножити на число, що знаходиться в четвертій клітці, і до результату додати число, що стоїть над п'ятою кліткою.

Розділимо, наприклад, многочлен f (x) = 3x4-5x2 + 3x-1 на х-2 із залишком, використовуючи схему Горнера.

При заповненні першого рядка цієї схеми не можна забувати про нульові коефіцієнтах многочлена.

Так, коефіцієнти f (x) - це числа 3, 0, - 5, 3, - 1. І ще слід пам'ятати, що ступінь неповного приватного на одиницю менше ступеня многочлена f (x).

Отже, виконуємо ділення за схемою Горнера:

Таблиця 2.

 3 0 -5 3 -1

 2 3 6 7 17 33

Отримаємо неповну частку s (x) = 3x3 + 6x2 + 7x + 17 і залишок r = 33. зауважимо, що одночасно ми вирахували значення многочлена f (2) = 33.

Розділимо тепер той же многочлен f (x) на х + 2 із залишком. У цьому випадку с = -2. отримаємо:

Таблиця 3.

 3 0 -5 3 -1

 -2 3 -6 7 -11 21

В результаті маємо f (x) = (x + 2) (3x3-6x2 + 7x-11) + 21.Корні многочленів

Раніше ми встановили що якщо з - корінь многочлена f (x) ділиться на х-с. Зараз узагальнимо це твердження.

Нехай с1, с2, ..., сm- різні корені многочлена f (x). Тоді f (x) ділиться на х-з1, тобто f (x) = (x-c1) s1 (x). Покладемо в цій рівності х = с2. Отримаємо f (c2) = (c2-c1) s1 (c2) і, так f (c2) = 0, то (с2-з1) s1 (c2) = 0. Але с2 ? з1, тобто с2-з1 ? 0, а значить, s1 (c2) = 0. Таким чином, С2 корінь многочлена s1 (x). Звідси випливає, що s1 (x) ділиться на х-с2, тобто s1 (x) = (x-c2) s2 (x). Підставами отриманий вираз для s1 (x) в рівність f (x) = (x-c1) s1 (x). Маємо f (x) = (x-c1) (x-c2) s2 (x). Поклавши в останній рівності х = с3с урахуванням того, що f (c3) = 0, с3 ? з1, с3 ? с2, одержимо, що С3 корінь многочлена s2 (x). Значить, s2 (x) = (x-c3) s3 (x), а тоді f (x) = (x-c1) (x-c2) (x-c3) s3 (x) і т.д. Продовживши ці міркування для решти коренів с4, с5, ..., сm, ми, нарешті, отримаємо f (x) = (x-c1) (x-c2) ... (х-сm) sm (x), тобто доведено формулируемое нижче твердження.

Якщо с1, с2, ..., сm- різні корені многочлена f (x), то f (x) можна представити у вигляді f (x) = (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) sm (x).

Звідси випливає важливе слідство.

Якщо с1, с2, ..., сm- різні корені многочлена f (x), то f (x) ділиться на многочлен (х-з1) (х-с2) ... (х-сm).

Як ми вже відзначали, одним із важливих завдань в теорії многочленів є завдання відшукання коренів многочлена. У зв'язку з цим суттєвим є питання про їх числі. Справді, якщо дан якийсь многочлен і вже знайдено, скажімо, 10 його коренів, то потрібно знати, чи варто продовжувати пошуки. А раптом цей многочлен більше не має коренів? У таких випадках нам буде корисна приводиться нижче теорема.

Число різних коренів ненульового многочлена f (x) не більше, ніж його ступінь.

Дійсно, якщо f (x) коренів не має, то ясно, що теорема вірна, бо ст. f (x) ?0.

Нехай тепер f (x) має m коренів с1, с2, ..., сm, причому всі вони різні. Тоді, за щойно доведеному f (x) ділиться на (х-з1) (х-с2) ... (х-сm). У такому випадку ст. f (x) ? ст. ((Х-з1) (х-с2) ... (х-сm)) = ст. (Х-з1) + ст. (Х-с2) + ... + ст. (Х-сm) = m, тобто ст. f (x) ?m, а m - це число коренів розглянутого многочлена.

А ось у нульового многочлена нескінченно багато коренів, адже його значення для будь-якого х дорівнює 0. Зокрема, з цієї причини йому і не наказують ніякої певної міри.

З щойно доведеною теореми випливає таке твердження.

Якщо многочлен f (x) не є многочленом ступеня, більшою, ніж n, і має більш, ніж n коренів, то f (x) - нульовий многочлен.

Справді, з умов цього твердження випливає, що-небудь f (x) - нульовий многочлен, або ст. f (x) ?n. Якщо припустити, що многочлен f (x) не нульовий, то ст. f (x) ?n, і тоді f (x) має не більше, ніж n коренів. Приходимо до протиріччя. Значить, f (x) - ненульовий многочлен.

Нехай f (x) і g (x) - ненульові многочлени ступеня, не більшої, ніж n. Якщо ці многочлени приймають однакові значення при n + 1 значенні змінної х, то f (x) = g (x).

Для доказу розглянемо многочлен h (x) = f (x) - g (x). Ясно, що - або h (x) = 0, або ст. h (x) ?n, тобто h (x) не є многочленом ступеня, більшою, ніж n. Нехай тепер число з таке, що f (c) = g (c). Тоді h (c) = f (c) - g (c) = 0, тобто с - корінь многочлена h (x). Отже, многочлен h (x) має n + 1 корінь, а коли, як тільки що доведено, h (x) = 0, тобто f (x) = g (x).

Якщо ж f (x) і g (x) приймають однакові значення при всіх значеннях змінної х, то ці многочлени тим більше рівні.

Ця теорема вельми ефективно використовується при доказі деяких числових тотожностей. Доведемо, наприклад, що для будь-яких попарно різних чисел а, b, с і будь-якого числа х.

(((Xb) (xc)) / ((ab) (ac))) + (((xa) (xc)) ((ba) (bc))) + (((xa) (xb)) ((ca) (cb))) = 1

Звичайно, можна перетворивши ліву частину зазначеного рівності, переконатися, що в результаті вийде 1. Але такий метод докази пов'язаний з громіздкими перетвореннями. Спробуємо обійтися без них.

Будемо розглядати х як змінну. Тоді, як неважко помітити, в лівій частині тотожності знаходиться многочлен, який ми позначимо f (x). Змінна х входить в цей многочлен найбільше в ступені 2, тобто ст. f (x) ?2. в правій частині того ж тотожності - так само многочлен: g (x) = 1.

Знайдемо тепер значення многочленів f (x) і g (x) при х = a, b, c. Ясно, що g (a) = g (b) = g (c) = 1. Далі,

f (a) = (((ab) (ac)) / ((ab) (ac))) + (((aa) (ac)) ((ba) (bc))) + (((aa) (ab)) ((ca) (cb))) = 1.

Аналогічно f (b) = f (c) = 1. Отже, f (a) = g (a), f (b) = g (b), f (c) = g (c). Бачимо, що многочлени f (x) і g (x), які не є многочленами ступеня вище, ніж 2, приймають однакові значення при трьох різних значеннях змінної. Значить, f (x) = g (x) .Кратние коріння многочлена

Якщо число з є коренем многочлена f (x), цей многочлен, як відомо, ділиться на х-с. Може статися, що f (x) ділиться і на якусь ступінь многочлена х-с, тобто на (х-с) k, k> 1. У цьому випадку з називають кратним коренем. Сформулюємо визначення більш чітко.

Число з називається коренем кратності k (k-кратним коренем) многочлена f (x), якщо многочлен ділиться на (х-с) k, k> 1 (k - натуральне число), але не ділиться на (х-с) k + 1. Якщо k = 1, то з називають простим коренем, а якщо k> 1, - кратним коренем многочлена f (x).

Надалі при визначенні кратності коренів нам буде корисно наступну пропозицію.

Якщо многочлен f (x) представимо у вигляді f (x) = (xc) mg (x), m - натуральне число, то він ділиться на (х-с) m + 1тогда і тільки тоді, коли g (x) ділиться на х-с.

Справді, якщо g (x) ділиться на х-с, тобто g (x) = (xc) s (x), то f (x) = (xc) m + 1s (x), а значить, f (x) ділиться на (х-с) m + 1.

Назад, якщо f (x) ділиться на (х-с) m + 1, то f (x) = (xc) m + 1s (x). Тоді (xc) mg (x) = (xc) m + 1s (x) і після скорочення на (х-с) mполучім g (x) = (xc) s (x). Звідси випливає, що g (x) ділиться на х-с.

А зараз повернемося до поняття кратності кореня. З'ясуємо, наприклад, чи є число 2 коренем многочлена f (x) = x5-5x4 + 3x3 + 22x2-44x + 24, і якщо так, знайдемо його кратність. Щоб відповісти на перше питання, перевіримо за допомогою схеми Горнера, чи ділиться f (x) на х-2. маємо:

Таблиця 4.

 1 -5 3 22 -44 24

 2 1 -3 -3 16 -12 0

Як бачимо, залишок при діленні f (x) на х-2 дорівнює 0, тобто ділиться на х-2. Значить, 2 - корінь цього многочлена. Крім того, ми отримали, що f (x) = (x-2) (x4-3x3-3x2 + 16x-12). Тепер з'ясуємо, чи є f (x) на (х-2) 2. Це залежить, як ми тільки що довели, від подільності багаточлена g (x) = x4-3x3-3x2 + 16x-12 на х-2. Знову скористаємося схемою Горнера:

Таблиця 5.

 1 -3 -3 16 -12

 2 1 -1 -5 6 0

Отримали, що g (x) ділиться на х-2 і g (x) = (x-2) (x3-x2-5x + 6). Тоді f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x + 6).

Отже, f (x) ділиться на (х-2) 2, тепер потрібно з'ясувати, чи ділиться f (x) на (x-2) 3.

Для цього перевіримо, чи ділиться h (x) = x3-x2-5x + 6 на х-2:

Таблиця 6.

 1 -1 -5 6

 2 Будiвництво 1 1 -3 0

Отримаємо, що h (x) ділиться на х-2, а значить, f (x) ділиться на (х-2) 3, і f (x) = (x-2) 3 (x2 + x-3).

Далі аналогічно перевіряємо, чи ділиться f (x) на (х-2) 4, тобто чи ділиться s (x) = x2 + x-3 на х-2:

Таблиця 7.

 1 січня -3

 1 лютому 3 березня

Знаходимо, що залишок при діленні s (x) на х-2 дорівнює 3, тобто s (x) не ділиться на х-2. Значить, f (x) не ділиться на (х-2) 4.

Таким чином, f (x) ділиться на (х-2) 3, але не ділиться на (х-2) 4. Отже, число 2 є коренем кратності 3 многочлена f (x).

Зазвичай перевірку кореня на кратність виконують в одній таблиці. Для даного прикладу ця таблиця має такий вигляд:

Таблиця 8.

 1 -5 3 22 -44 -24

 2 1 -3 -3 16 -12 0

 2 1 -1 -5 6 0

 2 Будiвництво 1 1 -3 0

 1 лютому 3 березня

Іншими словами, за схемою Горнера поділ многочлена f (x) на х-2, у другому рядку ми отримаємо коефіцієнти многочлена g (x). Потім цю другий рядок вважаємо першим рядком нової системи Горнера і виконуємо ділення g (x) на х-2 і т.д. продовжуємо обчислення до тих нір, поки не отримаємо залишок, відмінний від нуля. У цьому випадку кратність кореня дорівнює числу отриманих нульових залишків. У рядку, що містить останній ненульовий залишок, знаходиться і коефіцієнти приватного при діленні f (x) на (x-2) 3.

Тепер, використовуючи тільки що запропоновану схему перевірки кореня на кратність, вирішимо наступну задачу. За яких a і b многочлен f (x) = x4 + 2x3 + ax2 + (a + b) x + 2 має число - 2 коренем кратності 2?

Так як кратність кореня - 2 повинна дорівнювати 2, то, виконуючи поділ на х + 2 за запропонованою схемою, ми повинні два рази отримати залишок 0, а в третій раз - залишок, відмінний від нуля. Маємо:

Таблиця 9.

 1 лютому a a + b 2

 -2 1 0 a -a + b 2a-2b + 2

 -2 1 -2 а + 4 -3a + b-8

 -2 1 -4 а + 12

Таким чином, число - 2 є коренем кратності 2 вихідного многочлена тоді і тільки тоді, коли

Звідси отримуємо: a = -7 / 2, b = -5 / 2.

Раціональні корені многочлена

Як ми вже зазначали, однією з найважливіших задач в теорії многочленів є завдання відшукання їх коренів. Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору, тобто брати навмання число і перевіряти, чи є воно коренем даного многочлена.

При цьому можна досить швидко "натрапити" на корінь, а можна і ніколи його не знайти. Адже перевірити всі числа неможливо, так як їх нескінченно багато.

Інша справа, якби нам вдалося звузити область пошуку, наприклад знати, що шукані корені знаходяться, скажімо, серед тридцяти зазначених чисел. А для тридцяти чисел можна і перевірку зробити. У зв'язку з усім сказаним вище важливим і цікавим видається таке твердження.

Якщо нескоротний дріб l / m (l, m - цілі числа) є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1.

Справді, якщо f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an ? 0, де an, an-1, ..., a1, a0- цілі числа, то f (l / m) = 0, тобто

аn (l / m) n + an-1 (l / m) n-1 + ... + a1l / m + a0 = 0.

Помножимо обидві частини цієї рівності на mn. Отримаємо

anln + an-1ln-1m + ... + a1lmn-1 + a0mn = 0.

Звідси випливає

anln = m (-an-1ln-1 -... - a1lmn-2-a0mn-1).

Бачимо, що ціле число anlnделітся на m. Але l / m - нескоротний дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа lnі m теж взаємно прості. Отже, anlnделітся на m і m взаємно прості з ln, значить, anделітся на m.

Доведена тема дозволяє значно звузити область пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Знайдемо раціональні корені многочлена f (x) = 6x4 + 13x2-24x2-8x + 8. Згідно з теоремою, раціональні корені цього многочлена знаходяться серед нескоротних дробів виду l / m, де l - дільник вільного члена a0 = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a4 = 6. при цьому, якщо дріб l / m - негативна, то знак "-" будемо відносити до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1) / 3. Значить, ми можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - позитивний дільник числа 6.

Так як подільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а позитивними делителями числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональні корені розглянутого багаточлена знаходяться серед чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4 ± 4/3, ± 8, ± 8/3. нагадаємо, що ми виписали лише нескоротні дроби.

Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" в корені. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які дійсно є корінням. Але знову-таки доведеться зробити досить багато перевірок. А ось наступна теорема спрощує цю роботу.

Якщо нескоротний дріб l / m є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то f (k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що l-km ? 0.

Для доказу цієї теореми розділимо f (x) на xk із залишком. Отримаємо f (x) = (x-k) s (x) + f (k). Так як f (x) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то таким є многочлен s (x), а f (k) - ціле число. Нехай s (x) = bn-1 + bn-2 + ... + b1x + b0. Тоді f (x) - f (k) = (xk) (bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0). Покладемо в цій рівності x = l / m. Враховуючи, що f (l / m) = 0, отримуємо

f (k) = ((l / m) - k) (bn-1 (l / m) n-1 + bn-2 (l / m) n-2 + ... + b1 (l / m) + b0) .

Помножимо обидві частини останньої рівності на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1 + bn-2ln-2m + ... + b1lmn-2 + b0mn-1).

Звідси випливає, що ціле число mnf (k) ділиться на l-km. Але так як l і m взаємно прості, то mnі l-km теж взаємно прості, а значить, f (k) ділиться на l-km. Теорема доведена.

Повернемося тепер до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше сузим коло пошуків раціональних коренів. Застосуємо вказану теорему при k = 1 і k = -1, тобто якщо нескоротний дріб l / m є коренем многочлена f (x), то f (1) / (lm), а f (-1) / (l + m). Легко знаходимо, що в нашому випадку f (1) = -5, а f (-1) = -15. Зауважимо, що заодно ми виключили з розгляду ± 1.

Отже раціональні корені нашого многочлена слід шукати серед чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4 ± 4/3, ± 8, ± 8/3.

Розглянемо l / m = 1/2. Тоді lm = -1 і f (1) = -5 ділиться на це число. Далі, l + m = 3 і f (1) = -15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається в числі "кандидатів" в корені.

Нехай тепер l \ m = - (1/2) = (-1) / 2. У цьому випадку lm = -3 і f (1) = -5 не ділиться на - 3. Значить, дріб - 1/2 не може бути коренем даного многочлена, і ми виключаємо її з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожної з виписаних вище дробів, отримаємо, що шукані корені знаходяться серед чисел 1/2, ± 2/3, 2, - 4.

Таким чином, досить-таки простим прийомом ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки залишилися чисел застосуємо схему Горнера:

Таблиця 10.

 6 13 -24 -8 8

 1/2 6 16 -16 -16 0

Бачимо, що 1/2 - корінь многочлена f (x) і f (x) = (x-1/2) (6x3 + 16x2-16x-16) = (2x-1) (3x3 + 8x2-8x-8) . Ясно, що всі інші корені многочлена f (x) збігаються з корінням многочлена g (x) = 3x3 + 8x2-8x-8, а значить, подальшу перевірку "кандидатів" в корені можна проводити вже для цього многочлена. При цьому ми кілька виграємо за часом в обчисленнях, оскільки перевірку будемо виконувати для більш "короткого" многочлена. Знаходимо:

Таблиця 11.

 3 серпня -8 -8

 2/3 3 10 -4/3 -80/9

Отримали, що залишок при діленні g (x) на x-2/3 дорівнює - 80/9, т.е.2 / 3 не є коренем многочлена g (x), а значить, і f (x).

Далі легко знаходимо, що - 2/3 - корінь многочлена g (x) і g (x) = (3x + 2) (x2 + 2x-4). Тоді f (x) = (2x-1) (3x + 2) (x2 + 2x-4). Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x2 + 2x-4, що, звичайно, простіше, ніж для g (x) або тим більше для f (x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 корінням не є.

Отже, многочлен f (x) = 6x4 + 13x3-24x2-8x + 8 має два раціональних кореня: 1/2 і - 2/3.

Нагадаємо, що описаний вище метод дає можливість знаходити лише раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Тим часом, многочлен може мати й ірраціональні корені. Так, наприклад, розглянутий у прикладі многочлен має ще два корені: - 1 ± v5 (це коріння многочлена х2 + 2х-4). А, взагалі кажучи, многочлен може і зовсім не мати раціональних коренів.

Тепер дамо кілька порад.

При випробуванні "кандидатів" в корені многочлена f (x) за допомогою другої з доведених вище теорем зазвичай використовують останню для випадків k = ± 1. Іншими словами, якщо l / m - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи ділиться f (1) і f (-1) на lm і l + m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f (1) = 0, т.е.1 - корінь, а тоді f (1) ділиться на будь-яке число, і наша перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити f (x) на x-1, тобто отримати f (x) = (x-1) s (x), і проводити випробування для многочлена s (x). При цьому не слід забувати, що один корінь многочлена f (x) - x1 = 1 - ми вже знайшли.

Якщо при перевірці "кандидатів" в корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональні коренях, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, l / m - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f (x) = (xl / m) ks (x), і подальшу перевірку можна виконувати для s (x), що скорочує обчислення.

Таким чином, ми навчилися знаходити раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Виявляється, що тим самим ми навчилися знаходити ірраціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. Справді, якщо ми маємо, наприклад, многочлен f (x) = x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, то, привівши коефіцієнти до спільного знаменника і внісши його за дужки, отримаємо f (x) = 1/24 (24x4 + 16x3-20x2 + 9x + 48). Ясно, що коріння многочлена f (x) збігаються з корінням многочлена, що стоїть в дужках, а у нього коефіцієнти - цілі числа. Доведемо, наприклад, що sin100- число ірраціональне. Скористаємося відомою формулою sin3? = 3sin?-4sin3?. Звідси sin300 = 3sin100-4sin3100. Враховуючи, що sin300 = 0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8sin3100-6sin100 + 1 = 0. Отже, sin100является коренем многочлена f (x) = 8x3-6x + 1. Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь sin100не є раціональним числом, тобто sin100- число ірраціональне.

§ 2. Завдання про многочленів

Завдання 1.

Довести, що багаточлен

a1 + a2x + a3y + a4xy + a5x2 + a6y2 + a7x4 + a8y4 + a9x2y2 + a10xy3 + a11x3y

не є твором двох многочленів, одного від x, іншого від y, якщо не один з його коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Рішення.

Нехай денний многочлен є твором многочленів P (x) і Q (y).

Так як в цьому многочлене є такі коефіцієнти, як a10xy3і a11x3y і є вільний член a1, отже, при творі повинні бути такі коефіцієнти як mx3 + ny3, а їх немає, отже даний многочлен не є твором многочленів P (x) і Q (x). ч. т.д.

Завдання 2.

Многочлен з дійсними коефіцієнтами ax2 + bx + c, a> 0 має чисто уявний корінь. Довести, що його можна представити у вигляді (Ax + B) 2 + (Cx + D) 2.

Рішення.

Якщо x = i- корінь многочлена, то його коренем є так само число x = -i, тепер по теоремі Вієта знайдемо b і c:

і многочлен приймає вигляд: ax + a, який можна привести до потрібного вигляду:

ч. т.д.

Завдання 3.

Доведіть, що многочлен x12-x9 + x4-x + 1 при всіх дійсних значеннях x позитивний.

Рішення.

Розберемо окремо випадки при x <0 і x?0.

У першому випадку розіб'ємо многочлен на три складових:

(1-x) + (x4-x9) + x12, 1-x> 0, x4-x9 = x4 (1-x5)> 0, x12> 0, отже і вся сума більше нуля.

У другому випадку представимо многочлен у вигляді:

(X8 + 1) (x4-x) +1, x8 + 1> 0.

Для x4-х розглянемо два випадки: при х> 1, x4-х> 0, отже і всі вираз більше нуля; при х <1, - 1Завдання 4.

При яких значеннях a і b многочлен x4 + ax3 + bx2-8x + 1 має точний квадрат.

Рішення.

Точний квадрат має вигляд: (mx2 + nx + p) 2, зведемо його в квадрат: (mx2 + nx + p) 2 = m2x4 + (nx + p) 2 + 2mx2 (nx + p) = m2x4 + n2x2 + p2 + 2npx + 2mnx3 + 2mpx2 = m2x4 + 2mnx3 + (n2 + 2mp) x2 + 2npx + p2. Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях.

1 випадок:

2 випадок:

3 випадок:

4 випадок:

Відповідь: a1 = -8, b1 = 18; a2 = 8, b2 = 14.

Завдання 5.

Доведіть, що якщо многочлен a0xn + a1xn-1 + ... + an, a0 ? 0 при всіх дійсних значеннях х позитивний, то він представляється у вигляді суми квадратів двох многочленів.

Рішення.

Даний многочлен не може мати дійсних коренів; отже, його коріння є попарно комплексно-сполученими. Тому многочлен представляється у вигляді:

A [(x-?1) ... (x-?k)] [(x-) ... (x-)], де А> 0.

Якщо f (x) - дійсна частина многочлена, получающегося після розкриття дужок у першій квадратних дужках, і g (x) - його уявна частина, то друга квадратна дужка представляється у вигляді f (x) -ig (x) (так як вона комплексно -сопряжена з першої).

Даний многочлен, отже, дорівнює

A [f (x) + ig (x)] [f (x) - ig (x)] = A [f2 (x) + g2 (x)].

Завдання 6.

Число з є коренем многочлена

f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. Вкажіть будь-якої корінь многочлена на g (x) = anxn-an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + (-1) na0.

Рішення.

Так як з - корінь, то

f (c) = ancn + an-1cn-1 + an-2cn-2 + ... + a1x + a0 = 0.

Покажемо, що -с - корінь многочлена g (x). Обчислимо

g (-c) = an (-c) n-an-1 (-c) n-1 + an-2 (-c) n-2- ... + (-1) na0.

Якщо n - парне число, то n-1 - непарне, n-2 - парне, n-2 - парне і т.д. Тоді g (-c) = ancn + an-1cn-1 + an-2cn-2 + ... + a0 = 0. Якщо ж n - непарне, то n-1 - парне, n-2 - непарне і т.д. Тоді g (-c) = -ancn-an-1cn-1-an-2cn-2- ... - a0 = - f (c) = 0.

Завдання 7.

Нехай многочлен f (x) з цілими коефіцієнтами приймає значення, рівне 5, при п'яти різних цілих значеннях змінної х. доведіть, що f (x) не має цілих коренів.

Рішення.

Нехай с1, с2, с3, с4, с5- такі числа, що f (c1) = f (c2) = f (c3) = f (c4) = f (c5) = 5. Розглянемо многочлен g (x) = f (x) - 5. Числа с1, с2, с3, с4, с5являются його корінням, а значить, f (x) = f (x) - 5 = (x-c1) (x- c2) (x-c3) (x-c4) (x-c5) s (x). Якщо тепер а - цілий корінь многочлена f (x), то, поклавши в останній рівності х = а, отримаємо - 5 = (a-c1) (a-c2) (a-c3) (a-c4) (a-c5) s (a). так як всі числа с1, с2, с3, с4, с5разлічни, то різні і числа a-c1, a-c2, a-c3, a-c4, a-c5. Отже, число - 5 має принаймні п'ять різних цілих дільників, в той час як насправді їх тільки чотири: ± 1, ± 5. Прийшли до суперечності.

Завдання 8.

Нехай f (x) - многочлен з цілими коефіцієнтами і нескоротний дріб l / m є його коренем. Доведіть, що якщо: f (0), f (1) - непарні числа, то m - парне число.

Рішення.

Так як f (0) - вільний член многочлена f (x), f (0) ділитися на l. Звідси випливає, що l - непарне число. Далі, так як f (1) ділиться на lm, то lm - теж непарне число. Звідси випливає, що різниця l- (lm) = m - парне число.

Завдання 9.

Многочлен f (x) має наступну властивість: для деякої арифметичної прогресії значення х з різницею, відмінної від нуля, відповідне значення многочлена так само утворює арифметичну прогресію.

Доведіть, що ст. f (x) ?1.

Рішення.

Позначимо члени арифметичної прогресії, яку утворюють значення х, через с1, с2, с3, ..., а різниця - через d1. тоді відповідна арифметична прогресія значень многочлена має вигляд: f (c1), f (c2), f (c3), ...; позначимо її різниця d2. розглянемо многочлен g (x) = (d2 / d1) x + f (c1) - (d2 / d1) c1. Маємо.

g (c1) = (d2 / d1) c1 + f (c1) - d2 / d1) c1 = f (c1),

g (c2) = (d2 / d1) c2 + f (c1) - (d2 / d1) c1 = f (c1) + (d2 / d1) (c2-c1) = f (c1) + (d2 / d1) d1 = f (c1) + d2 = f (c2).

Аналогічно встановлюється, що g (c3) = f (c3), g (c4) = f (c4), ..., g (cn + 1) = f (cn + 1). Таким чином f (x) і g (x) приймають однакові значення при x = c1, с2, с3, ..., сn, а значить, f (x) = g (x). Тоді ст. f (x) = ст. g (x) ?1 (якщо d2 = 0, то g (x) - многочлен нульової ступеня).

Завдання 10.

Знайдіть ступінь многочлена f (x), якщо, f (x) = (a2-4) x3 + (a-2) x2 + 3.

Рішення.

Якщо a2-4 ? 0, тобто a ? ± 2, то ст. f (x) = 3. Залишилося розглянути випадки a = -2 і a = 2. Якщо a = -2, то f (x) = -4x2 + 3, тобто ст. f (x) = 2. Якщо a = 2, то f (x) = 3, тобто ст. f (x) = 0.

Завдання 11.

Знайдіть многочлен другого ступеня f (x), якщо, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 5.

Рішення. Многочлен другого ступеня має вигляд f (x) = ax2 + bx + c. Обчисливши f (1), f (2), f (3), отримаємо

Вирішивши цю систему, знайдемо: a = 1, b = -2, c = 2, тобто f (x) = x2-2x + 2.

Завдання 12.

Дано многочлени f (x) = x3-2x2 + 3 і g (x) = x2-x + 2. Знайдіть f (g (1)).

Рішення.

Обчислимо спочатку g (1) = 12-1 + 2 = 2. Тоді f (g (1)) = f (2) = 23-2 ? 22 + 3 = 3.

Завдання 13.

Дано многочлени f (x) і g (x), причому ст. (F (x) g (x)) = 5 і ст. (F (x) + g (x)) = 3. Знайдіть ст. f (x) і ст. g (x).

Рішення.

З умов завдання випливає, що ст. f (x) + ст. g (x) = 5. Значить, можливі такі випадки:

ст. f (x) = 0, ст. g (x) = 5;

ст. f (x) = 1, ст. g (x) = 4;

ст. f (x) = 2, ст. g (x) = 3;

ст. f (x) = 3, ст. g (x) = 2;

ст. f (x) = 4, ст. g (x) = 1;

ст. f (x) = 5, ст. g (x) = 0.

Якщо допустити, що ст. f (x) = 0, ст. g (x) = 5, то легко помітити, що ст. (F (x) + g (x)) = 5. Значить, випадок 1 неможливий. Аналогічно і у випадках 2, 5,6. Таким чином, або ст. f (x) = 2 і ст. g (x) = 0, або навпаки.

Завдання 14.

Вкажіть такий многочлен f (x), для якого числа - 1, 2, 3, 5 є корінням.

Рішення.

f (x) = (x + 1) (x-2) (x-3) (x-5).

Завдання 15.

Вкажіть такий многочлен f (x), який при x = 1, 2, 3, 4, 5 приймає значення, рівне 7.

Рішення.

f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) +7.

Завдання 16.

Знайдіть f (g (x)), g (f (x)) і f (f (x)), якщо f (x) = 2x-1, а g (x) = x3 + 2x + 3.

Рішення.

f (g (x)) = 2 (x3 + 2x + 3) - 1; g (f (x)) = (2x-1) 3 + 2 (2x-1) +3; f (f (x) = 2 (2x-1) - 1.

Завдання 17.

Доведіть, що cos 200является ірраціональним числом.

Рішення.

Скористаємося відомою формулою cos3? = 4cos3?-3cos?. Звідси cos600 = 4cos3200-3cos200. Враховуючи, що cos600 = 0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8cos3200-6cos200-1 = 0. Отже, cos200является коренем многочлена f (x) = 8x3-6x-1. Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь cos200не є раціональним числом, тобто cos200- число ірраціональне.

Завдання 18.

Доведіть, що рівняння x4-3x3y = y4не має рішень в цілих числах, відмінних від нуля.

Рішення.

Припустимо, що рівняння має рішення в цілих числах x = a, y = b, відмінних від нуля, тобто a4-3a3b = b4. Так як b ? 0, то розділимо обидві частини отриманого рівності на b4. Тоді (a / b) 4-3 (a / b) - 1 = 0. Таким чином, a / b - раціональний корінь многочлена f (t) = t4-3t3-1. Але, як легко переконатися, f (t) раціональних коренів не має. Отримали протиріччя, а значить, наше припущення не так.

Висновок

Я вивчила теорію про многочленів. У ній спеціально був підібраний цікавий матеріал, який не зустрічається в шкільному курсі, а якщо і зустрічається, то менш яскраво подається. У цю курсову роботу було внесено багато прикладів і завдань, включаючи олімпіадні, які допомагають краще зрозуміти даний матеріал.

Важливо не навчити, а захопити предметом школяра. Якщо це вдасться, то дитина сама буде вивчати ті аспекти предмета, які не передбачені шкільним курсом.

Думаю, дана робота може послужити методичним посібником для проведення короткого факультативу, але потрібно враховувати, що єдиної системи викладання цієї теми на сьогоднішній день немає.

Список літератури

1. В.В. Деменчук "Багаточлени і мікроколькулятор". Мінськ, "Вища школа", 1988р.

2. А.І. Кострикін "Введення в алгебру". Москва, "Фізматліт", 2001р.

3. А.Г. Курош "Курс вищої алгебри". Санкт-Петербург, "Лань", 2003р.

4. А.А. Прокоф'єв, І.Б. Кожухов "Універсальний довідник з математики школярам і абітурієнтам". Москва, "Лист Нью", 2003р.

5. "Збірник завдань московських математичних олімпіад". Москва, "Освіта", 1965р.
Екологічний стан міста Біла Церква і Білоцерківського району Київської області
ЗМIСТ Вступ 1. Загальна характеристика відділу екологічної інспекції в м.Біла Церква 2. Загальний екологічний стан регіону 2.1 Загальна характеристика району 2.2 Земельні ресурси регіону 2.3 Стан водойм району та їх охорона 2.4 Використання та охорона природних ресурсів. Надра 2.5

Екологічний стан водоймищ Причорноморської зони України
Миколаївський муніципальний колегіум Кафедра природничих наук КУРСОВА РОБОТА ПО ТЕМІ "ЕКОЛОГІЧНИЙ СТАН ВОДОЙМИЩ ПРИЧОРНОМОРСЬКОЇ ЗОНИ УКРАЇНИ" Миколаїв ЗМІСТ

Писарєв Дмитро Іванович
(1840-1868) Писарєв Дмитро Іванович - літературний критик, публіцист, філософ, один з лідерів демократичної опозиції 60-х рр. Закінчив історичний факультет Петербурзького університету / 1861 /. Ведучий критик "Русского слова". З 1862 по 1866 - ув'язнений в одиночці Петропавлівської

Метод найменших квадратів у випадку інтегральної і дискретної норми Гаусса
Метод найменших квадратів у випадку інтегральної і дискретної норми Гаусса 1. Постановка завдання При вирішенні багатьох задач фізики та інших прикладних наук виникає необхідність замість функції, розглядати функцію, що представляє функціюкак можна «добре». Наприклад: може бути, зокрема, і

Огарьов Микола Платонович
(1813-1877) Огарьов Микола Платонович - філософ-матеріаліст, революційний демократ, поет і публіцист. Друг Герцена. Навчався в Московському університеті. Арештований в 1834, перебував на засланні в 1835 - 1839. З 1841 по 1846 вивчав філософію / Гегеля, Фейєрбаха /, природничі та суспільні

Медіани трикутника
Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційних технологій «Пошук» Реферат на тему: «Медіани трикутника» Учнів: 9 'класу державного заклади освіти «Гомельська міська Багатопрофільна гімназія № 14 » Морозової Єлизавети Ходосівське Олесі Науковий керівник-

Матриці графів
Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки Кафедра інформатики РЕФЕРАТ На тему: «Матриці графів» МІНСЬК, 2008 У теоретико-множинної і геометричної форм визначення (завдання) графів, часто використовується матрична форма їх подання. Існують різні види матриць графів, проте

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати