Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Дослідження процесів випаровування і конденсації рідких крапель - Фізика

Зміст:

1. Введення

1.1. Передмова

1.2. Екологічний аспект проблеми

1.3. Про дисперсних системах

1.4. Атмосферні аерозолі

1.5. Класифікація і розмір аерозолів

1.6. Основна характеристика часток дисперсної фази - функція розподілу частинок за розмірами

1.6.1. Обернено-статечне розподіл

1.6.2. Гамма розподіл

1.6.3. Логарифмічно-нормальний розподіл

2. Стан проблеми та постановка задачі

2.1. Газокінетичний процеси в дисперсної системі

2.1.1. Безперервна і дискретна динаміка.

2.1.2. Безперервний режим.

2.1.3. Вільно - молекулярний (кінетичний) режим.

2.1.4. Перехідний режим

2.2. Підведення підсумків

2.3. Постановка завдання

3. Рішення завдання і результати дослідження

3.1. Лінеаризоване рівняння Больцмана для сферичної

геометрії в одношвидкісному наближенні.

3.2. Основні рівняння

3.3. Формальне рішення рівняння для функції розподілу

3.4. Точні результати вирішення рівнянь

3.5. Прикордонний шар

3.6. Наближення стрибка концентрації на поверхні частинки

3.7. Чисельні результати

4. Висновки і висновок

5. Список літератури

1. Введення

 1.1 Передмова

Випаровування і конденсація частинок являють собою найбільш істотний фактор, що змінює спектр розмірів аеродісперсние системи. Особливо це стосується рідких частинок. Це проблема дуже актуальна як в різних технологічних додатках, так і в навколишньому нас природі. Досить сказати, що кругообіг води в природі відбувається через фази випаровування та об'ємної конденсації. Дисперсний склад аерозольних часток при випаровуванні виявляється визначальною характеристикою системи в цілому. Саме розподіл за розмірами відповідально за радіаційний баланс сонячного випромінювання, що досягає поверхні землі і визначає всі земні процеси. В карбюраторних і дизельних двигунах розподіл за розмірами частинок палива визначає швидкість їх горіння, а значить і процес роботи двигуна. Конденсаційні тумани не тільки парів води утворюються при згорянні різних палив, при цьому утворюється безліч ядер конденсації, які можуть служити центрами конденсації для інших парів, в тому числі і води. Конденсація пересичених парів води на іонах, які утворюються при радіоактивному розпаді різних елементарних частинок, служить індикацією цих елементарних частинок в камерах Вільсона.

Цей побіжний огляд може служити переконливим доказом актуальності проблеми.1.2 Екологічний аспект проблеми

Усвідомлення важливості екологічних проблем, пов'язаних з впливом життєдіяльності людини на атмосферу і гідросферу Землі, є одним з найбільш серйозних стимулів до вивчення процесів, керуючих поведінкою дисперсних систем в цілому і аерозолів зокрема. Зараз вже зрозуміло, що ми живемо в епоху серйозної кризи технократичних ідей, що припускають необмежене вплив людини на середовище існування. Прагматично-споживацьке ставлення до природи виявляється настільки недалекоглядним, що в багатьох випадках мова йде буквально про виживання людства в перетвореному їм природному світі. Особливо показовими в цьому відношенні стають різного роду техногенні аварії та катастрофи, які почастішали останнім часом.

Екологія - далеко не єдина сфера, де мають справу з дисперсними системами. Можна назвати масу природних об'єктів і безліч технологічних процесів, які пов'язані з присутністю і застосуванням аерозолів:

- Міжзоряні і допланетного хмари;

- Вулканічні викиди;

- Атмосферні процеси формування і випадання опадів;

- Двофазні течії, використовувані в технологічних процесах і установках;

- Дисперсні середовища для потреб харчової та автомобільної промисловості, медицини та сільського господарства.

Ця різноманітність фізичних проблем і технічних програм, а також ціла сукупність незвичайних фізичних і хімічних властивостей фактично дозволяють віднести дисперсні системи до окремого агрегатним станом речовини, якому увага стала приділятися лише останнім часом.

Дуже важливою причиною підвищується інтересу до аерозолів є різноманітність і фундаментальний характер завдань, які виникають у фізиці дисперсних систем. Фізична кінетика, оптика, фізика атмосфери, багатофазна газодинаміка, теорія турбулентності - всі ці розділи механіки і фізики необхідні для кваліфікованого фізика-аерозолиціка і широко використовуються в класичних роботах Максвелла, Томсона, Айткена, Смолуховського, Ейнштейна, Колмогорова, Чандрасекара, Френкеля, Зельдовича і роботах сучасних дослідників з фізики дисперсних систем. Значний прогрес в моделюванні процесів формування та динаміки перенесення аерозольних домішок досягнутий останнім часом, завдяки застосуванню швидкодіючих ЕОМ і використанню методології чисельного експерімента.1.3 Про дисперсних системах

Дисперсні системи - системи, що представляють собою механічну суміш частинок дисперсної фази з середовищем-носієм. Такі системи є широко поширеним об'єктом в природі та повсякденної діяльності людини. Утворення хмар і випадання опадів, формування аерозольній компоненти земної атмосфери, еволюція допланетного рою і частинок міжзоряного пилу, міграція дефектів у твердих тілах, двофазні течії у фізичних і промислових установках, перенесення в атмосфері різного роду промислових та радіоактивних забруднень - все це далеко не повний круг явищ, в яких вирішальну роль відіграють процеси, що відбуваються з дисперсними системами.

Зазвичай дисперсні системи поділяють, виходячи з агрегатного стану частинок дисперсної фази і середовища-носія. Ряд дисперсних систем отримав окремі назви:

- Аерозолі (суспензія твердих або рідких частинок в газовому середовищі, зазвичай у повітрі);

- Емульсії (рідкі частинки, зазвичай стабілізовані захисними оболонками, в рідкому середовищі)

- Колоїди (суспензія твердих частинок в рідкому середовищі);

- Астрозолі (тверді або рідкі частинки у вакуумі)

Крім того, існують дисперсні системи без усталених назв: ансамблі газових бульбашок в твердому тілі або рідини, ансамблі рідких крапель у твердому тілі і т. Д.

Дисперсні системи володіють багатьма незвичайними фізичними властивостями, які вимагають окремого вивчення і позначаються на практиці. Так, окремо взята молекула речовини в газовому стані має одні властивості, в суцільному стані - інші властивості, а в стані аерозолі (дисперсна фаза) вже зовсім інші властивості, які є плавним переходом від газоподібної до твердої фазі. Можна назвати своєрідну газодинаміку, обумовлену різним рухом середовища-носія і частинок дисперсної фази; незвичайні оптичні властивості, викликані порівнянністю розмірів часток з довжинами хвиль світла і впливом форми частинок; підвищену здатність до взаємодій, викликану надзвичайно розвиненою поверхнею частинок. Особливе місце серед дисперсних систем займають аерозолі.1.4 Атмосферні аерозолі

Зазвичай класифікація атмосферних аерозолів проводиться на основі їх поділу за способами створення, матеріалами і характерним розмірам частинок. При цьому до аерозолів зазвичай відносять частинки зі швидкостями осадження максимум, ніж у крапельок води діаметром 100 мкм (великі дощові краплі і опади тим самим відносять до окремого класу).

Пилу складаються з твердих частинок, диспергованих в результаті механічного подрібнення твердих тіл (вибухи, гірничі роботи і т. Д.) Або висихання крапельок з розчиненими речовинами або частками (сольові частки над океаном). У повсякденній понятті пилом називають осад твердих частинок на різних поверхнях, який легко переходить у зважений стан. Матеріали пилу найрізноманітніші, а розміри також коливаються в широких межах - від субмікронних (0,01 мкм) до мікроскопічних (100 мкм).

Дими утворюються при горінні або сублімації летучих речовин, а також в результаті хімічних і фотохімічних реакцій. Розміри димових частинок - від субмікронних до 5 мкм.

Тумани складаються з крапельок рідини, що утворюються при конденсації пари або розпиленні рідини. Сюди також включаються краплі з розчиненими речовинами або містяться в них частинками. Природні тумани зазвичай складаються з крапельок з діаметром до 10 мкм і більше.

Крапельки, а також частки різних атмосферних забруднень і пилу іноді називають серпанком, яка, насправді являє собою комбінацію з трьох названих вище основних класів аерозолів. Систему, що утворюється в результаті взаємодії природного туману з газоподібними забрудненнями, називають смогом. Розміри частинок серпанку і смогу зазвичай - 1 мкм.

Промислові аерозолі, які утворюються при одержанні й обробці горючих матеріалів, здатні за рахунок розвиненої поверхні до більш інтенсивного займання, ніж вихідні речовини. При скупченні дрібнодисперсного пилу таких матеріалів у замкнутих приміщеннях і наявності джерел займання може статися вибух.

В цілому використання технологічних процесів і робота виробництв, пов'язаних з виходом аерозолів в робочі приміщення або атмосферу, вимагає ретельної оцінки екологічної небезпеки та застосування різних засобів очищення. Особлива чистота всередині приміщень потрібно при роботі з радіоактивними матеріалами і в мікроелектроніці. Допустимий вміст аерозолів регламентується при цьому відповідними нормативними документами. Ряд засобів очищення та принципи їх роботи описані у виданнях (Спурний та ін., 1964; Грін, Лейн, 1972; Петрянов-Соколов, Сутугін, 1989).

Частинки атмосферних аерозолів відіграють важливу роль у процесах конденсації водяної пари і тим самим у формуванні опадів. У метеорології їх просто називають ядрами конденсації, незалежно від фізичних та хімічних властивостей, а класифікацію проводять за характерними розмірами:

- Частинки Айткена -r <0,1 мкм;

- Великі частки - r = 0,1 + 1 мкм;

- Гігантські частинки - r> 1 мкм.

Джерела атмосферних аерозолів прийнято ділити на:

- Природні (вулканічні виверження, конденсація водяної пари в атмосфері, вивітрювання порід, розбризкування крапельок води над океаном, космічний пил)

Для ілюстрації наведемо деякі цифри (Хргіан, 1986). За рахунок космічного пилу на Землю надходить на рік (1,4-2,0) · 107т речовини при загальній масі атмосфери 5 · 1015т. При пилових бурях концентрація пилу в пустельних районах може досягати 300 мкг / м3, в Підмосков'ї до 30 мкг / м3, в районах Уралу понад 5 мкг / м3. За рахунок розбризкування крапельок води при вітрі зі швидкістю близько 12 м / с над океаном утворюється до 500 мкг / м3солевих частинок - цілком відчутні кількості.

- Антропогенні - джерела, обумовлені життєдіяльністю людини (промислові викиди з димових труб, токсичні викиди від автомобілів, пожежі, вибухи, вивітрювання грунту внаслідок землеробства і відкритого видобутку копалин).

Це дає надходження (3-4) · 108т аерозолів в атмосферу за рік. Концентрація аерозольного смогу, обумовлена реакціями з вихлопними газами, в промислових центрах сягає 200 мкг / м3 (Хргіан, 1986), що цілком порівнянно з наслідками пилових бур. Промислові та аварійні викиди шкідливих речовин в атмосферу представляють собою безпосередню небезпеку для навколишнього середовища і населення. По-перше, процеси переносу домішок в атмосфері настільки динамічні, що наслідки таких викидів позначаються практично відразу. По-друге, при викидах в атмосферу забруднюється приземний шар повітря і подстилающая поверхню (грунт, водойми, рослинність), що призводить до безпосередньої дії на навколишнє середовище і являє собою подальшу загрозу надходження шкідливих речовин в організм людини і тварин.

Потужні або регулярні викиди в атмосферу можуть мати і глобальні наслідки. Надходження в атмосферу окисів сірки, азоту та хлору призводить до утворення водяних крапель, що містять кислоту, і до випадання кислотних опадів. Викиди окисів вуглецю позначаються на теплообміні в нижніх шарах атмосфери і сприяють глобальному потеплінню клімату. Проведений в 40-60-х роках повітряні ядерні вибухи на десятиліття змінили баланс радіоактивних речовин в атмосфері і викликали випадання радіоактивних опадів (Юнге, 1965; Стир, 1968; Грін, Лейн, 1972; Кароль, 1972). Широке застосування хлор- (бром) -містять фреонів, а також викид сполук азоту вплинули на склад аерозолів в тропосфері і озонового шару земної атмосфери (Петрянов-Соколов, Сутугін, 1989; Владимиров та ін., 1991). Викиди радіоактивних речовин у результаті Киштимскій та Чорнобильської аварій надовго порушили нормальну життєдіяльність в районах цих аварій (Владимиров та ін., 1991; Кабакчі, Путілов, 1995). З цих прикладів видно, що екологічна небезпека різного роду газоподібних і аерозольних викидів в атмосферу полягає не тільки в безпосередньому впливі шкідливих викидаються речовин на здоров'я людини, але й має глобальний аспект, пов'язаний з довготривалими процесами зміни хімічного і дисперсного складу забруднень, перенесенням речовин в тропосфері і стратосфері, впливом забруднень на масові баланси речовин і температурні режими в атмосфері.

Однак не слід вважати, що аерозолі завдають тільки шкоди і повинні застосовуватися лише з відомими заходами. Вони широко використовуються в технологічних процесах харчової промисловості, застосовуються в медицині, служать для боротьби з сільськогосподарськими шкідниками, є необхідним елементом у фізичних установках та промислових процесах, використовуються для виготовлення матеріалів з багатьма корисними властивостями [33]. Цікаву історію має діяльність, пов'язана із застосуванням аерозолів для активного впливу на хмарні процеси (засівши хмар) і боротьби з посухою. В основі цієї ідеї лежало бажання використовувати нестійкість і величезні запаси енергії атмосферних хмарних систем шляхом засіву хмар штучними ядрами конденсації. Однак після постійного застосування засіву хмар протягом декількох років цей метод перестав приносити результати і навіть спостерігалася зворотна картина з підвищенням тривалості посушливих періодов.1.5 Класифікація і розміри аерозолів.

За типом походження і за розмірами аерозолі зазвичай поділяють на дві великі групи: мікро і макрочастки [1]. Мікрочастинки радіусу менше 0,5-1,0 мкм утворюються в процесах конденсації і коагуляції, тоді як макрочастки виникають в основному при дезінтеграції поверхні Землі.

Можливо, також класифікувати частинки просто в залежності від розміру. Нагадаємо, що розмір середньої за величиною молекули або атома становить, коливається в районі 0,1 нм. Концентрація часток радіуса порядку 1 нм зазвичай вимірюється за допомогою розширювальних камер (камери Вільсона), перша конструкція яких була запропонована Айткеном, тому частинки називаються ядрами, або частками Айткена. Вони були виміряні експериментально, і, на думку ряду авторів, являють собою найменші, але розміром частинки, які можуть бути виявлені за допомогою таких камер. Частинки таких розмірів значною мірою схильні броунівському русі, що дозволяє їм досягти стінок будь-якої камери розумних розмірів протягом декількох секунд або, в крайньому випадку, хвилин. Тому для них важко відібрати представницьку пробу, при консервації проб спостерігаються значні втрати. Частинки малих розмірів дуже швидко коагулюють з частинками великих розмірів. При розгляді долі частинок слід мати на увазі, що частинки, які досягли стінок камери, залишаються на них внаслідок дії сил адгезії. Це відрізняє поведінку частинок від поведінки молекул, проте класифікація на такій основі не отримала розвитку через малу вивченості природи адгезійних взаємодій.

Розмір 10-6 см характеризує частки більш стабільні, для них коагуляція при атмосферних умовах протікає досить повільно, тому консервація проб можлива. З експериментальних методів для прямих спостережень за такими частками, зазвичай використовують електронну мікроскопію.

Частки розміром 10-5 см називають "великими" (у контексті атмосферних аерозолів). На такі аерозолі однаково слабке вплив роблять як броунівський рух, так і гравітаційне осадження. Частинки таких розмірів, мабуть, характеризуються найбільшим часом життя. Цікаво відзначити, що "великі" частинки важко отримати безпосередньо як при подрібненні твердого тіла (зазвичай розміри частинок при самому тонкому помелі більше), так і при конденсації з газової фази (де, за винятком випадку найбільш летючих сполук, розмір виникають частинок менше).

Розмір 10-4 см (1 мкм) - це, на жаргоні фахівців з атмосферним аерозолям, "хвіст" фракції "гігантських" часток в атмосфері. Швидкість падіння під дією сили тяжіння частинок розміром 1 мкм приблизно дорівнює 0,2 мм / с, але навіть таке повільне осадження за 1 добу являє собою вже 20м. Швидкість осідання зростає пропорційно квадрату радіусу частинки для частинок таких розмірів. Такі частинки легко спостерігати на поверхні при невеликому збільшенні, але точно виміряти їх важко.

Розмір 10-3 см (10 мкм) - це приблизний розмір ядер хмари, які являють собою дуже важливу спеціальну підгрупу атмосферних аерозолів. Швидкість падіння 10 мкм частинки щільності 2 г / см3прі нормальних умовах становить величину 2 см / с, тому протягом декількох хвилин в стандартній кімнаті більшість таких частинок осіло б на підлогу. Частинки таких розмірів можна побачити неозброєним оком на контрастною поверхні, а їх розміри можуть бути визначені звичайним оптичним мікроскопом.

Розмір 10-2 см (100 мкм) - розмір крапель мряці (швидкість осідання 1 м / с). Повсякденний досвід показує, що в гарну погоду частинки таких розмірів у атмосфері відсутні або дуже рідкісні, за винятком пилових бур та інших подібних явищ антропогенних або природних. Частинки таких розмірів характерні для морських аерозолів, але швидко осідають і практично не спостерігаються далеко від джерела утворення.

Розмір 10-1 см (1 мм) - типовий розмір дощових крапель. В атмосфері в рік утворюється приблизно 4 · 1022дождевих крапель, що становить 104капель на 1см2поверхності Землі. У середньому дощі, проте, їх об'ємна концентрація невелика - 10-5см3 (або 10 крапель на 1 кубічний метр повітря). У нижніх шарах атмосфери середня концентрація менше на два порядки.

Розмір 1 см. Падаючі краплі дощу через гідродинамічних ефектів розбиваються до діаметра 0,5 см, і тому рідких аерозолів такого розміру не спостерігається. Однак, град і сніжинки (тверді гідрометеоріти) можуть досягти таких розмірів.

Розмір 10 см. Є повідомлення про град такого розміру. Легко оцінити масштаби що наноситься їм шкоди.

Розмір> 10 см. Можна сказати, що 10 см - верхня межа розмірів атмосферних частинок. Звичайно, літаки, метеорити і попіл при виверженні вулканів можуть досягати й більших розмірів.

Отже, навіть сама коротка класифікація за розмірами займає область від 10-8 см до 10 см. Якщо виключити екстремальні випадки, то залишиться: область в шість порядків - від 10-7 см до декількох міліметрів. Якщо перейти до масових або об'ємним характеристикам, то вийде розкид в 20 порядків, а для такої характеристики, як концентрація, ситуація ще більш вражаюча. Вкрай важливо зрозуміти, що область від 1 мкм до розміру молекули так само велика, як від 1 мкм до градини великих розмірів. Тому такі макрохарактеристик, як "концентрація часток аерозолю" або "середній розмір часток аерозолю" мають бути визначені дуже осторожно.1.6 Основна характеристика часток дисперсної фази - функція розподілу частинок за розмірами.

Окремі частки характеризуються так званими морфологічними ознаками: розмір, щільність, форма, структура, хімічний склад. За формою розрізняють три види частинок:

- Ізометричні (з приблизно однаковими розмірами в трьох напрямках),

- Пластинки (з одним розміром, набагато меншим, ніж два інших),

- Волокна або ланцюжка (протяжні в одному напрямку).

Форму пластинок зазвичай мають частинки пилу, цепочечние агрегати часто утворюються при горінні. Тверді аерозольні частинки в основному мають неправильну форму, і їм приписується якийсь середній розмір, наприклад, за обсягом або по проекційної площі.

Дуже корисним є поняття еквівалентного аеродинамічного діаметру, за який приймається діаметр сферичної частинки щільністю 1г / см3, що має таку ж швидкість осадження, як і дана частка. Це означає, що частинки різної щільності і форми мають один і той же аеродинамічний діаметр, якщо їх швидкості осадження рівні. Застосування цієї величини зручно для розрахунків випадання частинок в полі тяжіння, наприклад, стосовно до перенесення аерозолів в атмосфері.

Хімічний склад частинок може бути найрізноманітнішим і визначається як вихідними матеріалами, так і способами створення цих частинок. У деяких випадках доводиться мати справу з композитними частинками, складеними з кількох хімічних речовин. Наприклад, кислотні опади складаються з розчину кислоти у воді; радіоактивні частинки, які утворюються при аваріях з диспергированием ядерних матеріалів, включають в себе не тільки радіоактивні речовини, але й матеріали теплоносія або грунт і т. д.

В дійсності, сферичну форму мають рідкі частинки і субмікрочастіци, спостережувані за допомогою електронної мікроскопії. Як правило, тверді частинки мають відмінну від сферичної форму. На рівні молекулярних утворень сферичні молекулярні кластери теж зустрічаються досить рідко. Незважаючи на це, теоретичні побудови трактують аерозолі як сферичні освіти і часто характеризують їх радіусом або діаметром, про який було сказано вище.

Аерозольні частинки, які спостерігаються під мікроскопом, також розрізняють за кольором, структуру, ступеня однорідності, розчинності у воді і сорбційним характеристикам.

Якщо поставити перед дослідником завдання описати кожну аерозольних часток, що міститься в 1 см3городского повітря, то на це буде потрібно ціле життя. Робота такого типу позбавлена сенсу ще й тому, що система є нерівноважної і піддається змінам в результаті випаровування і конденсації, коагуляції, адсорбції і десорбції, а також хімічних процесів в масі і на поверхні. Отже, необхідно знизити наші вимоги до класифікації і спробувати значно спростити її, групуючи частинки по єдиному параметру - розміром.

Сутність поняття "розмір" у відношенні аерозолів дуже розпливчаста. В одних випадках можна визначити масу або об'єм частинки і з них розрахувати радіус еквівалентної сфери. В інших випадках фундаментальної характеристикою, що визначає розподіл часток за розміром, є вимірюваний коефіцієнт дифузії. Тоді частинку описують як сферу, що характеризується цим коефіцієнтом дифузії. Додаткові труднощі виникають і внаслідок того, що частинки радіусом від 10-7до 10-4 см розрізняються по масі на дев'ять порядків. Якщо взяти весь діапазон часток, описуваних як аерозолі, тобто включити в розгляд туман, дощ і сніг, то відмінності в масах можуть досягти 24 порядків для частинок радіусом від 10-7до 1 см. Доводиться зводити воєдино результати, отримані різними методами. При цьому вимірювана одними методами маса і, наприклад, вимірювана іншими методами рухливість не пов'язані між собою взаємно однозначними співвідношенням (електрична рухливість не залежить від щільності). Тим не менш, щільності речовин, що входять зазвичай до складу аерозолів, різняться між собою не дуже сильно (приблизно від 0,7 до 4 г / см3). Таким чином, штучний прийом відомості результатів усіх цих вимірів до радіусу частинки є цілком розумним.

Отже, надалі ми постараємося описати аерозолі з точки зору того, скільки частинок володіє радіусом (в широкому тлумаченні цього терміна), що потрапляють в заданий нами інтервал. Залишається тим не менш, ще ряд можливостей навіть при такому обмеженому виборі опису. Найбільш очевидно використовувати функцію розподілу по радіусах v (r), яка припускає, що v (r) ?r - частинок має радіус в інтервалі (r, r + ?r). Функція v (r) проста для розуміння, але має ряд принципових недоліків. Покажемо це на прикладі. Нехай в пробі повітря об'ємом 1 см3содержітся 5 · 103частіц радіуса r <10-6 см, 5 · 103частіц в діапазоні радіусів (10-6- 10-5) см і одна частинка з r> 0,1 мкм. Спроба графічного розподілу на аркуші з лінійною шкалою 20 см, що відповідає максимальному радіусу 5 мкм, призведе до того, що на першому міліметрі абсциси з'явиться велика малоінформативна клякса. Тому вводяться полулогарифмической координати log (r) = x і відповідна їм функція розподілу n (x) = n (log (r)), яка передбачає, що n (log (r)) ?log (r) частинок мають логарифмічний радіус в інтервалі (log (r), log (r) + ?log (r)). Надалі будемо використовувати натуральні логарифми, хоча це непринципових момент.

Ясна і «природна» функція розподілу v (r), віднесена до

одиничного об'єму, може бути легко знайдена з співвідношень:

n (x) · ?x = v (r) · ?r, (1.1)

?x = ?ln (r) = r-1 · ?r. (1.2)

Звідси випливає, що

n (x) = r · v (r), (1.3)

v (r) = e-x · n (x). (1.4)

У теоретичних роботах по конденсації дуже зручно використовувати об'єм, а не ln (r) як вимірюваного параметра, але в практичних цілях як шкали для вимірювання масштабу це вкрай незручно.

Зовсім по-іншому можна використовувати обсяг, ввівши об'ємний розподіл V (x), яке показує, що в одиничному об'ємі повітря приватний обсяг V (x) ?x представлений частинками з радіусами в діапазоні (x, x + ?x).

Між чисельними значеннями n (x) і v (r) різниця значна, тому графічне представлення результатів або їх табличне оформлення представляє значні складності. Набагато легше інтерпретувати інтегральні розподілу, незважаючи на те, що в залежності від їх визначення вони можуть спадати або зростати, залишаючись монотонними (тобто необхідно завжди чітко уявляти собі, як визначено дане розподіл).

Інтегральний розподіл характеризує загальне число частинок в одиничному об'ємі повітря, розмір яких більше або менше заданої величини. Останнє алгебраїчно дещо легше і симбатно зміни розміру.

Ввівши для інтегрального розподілу позначення N (r), отримаємо:

, (1.5)

. (1.6)

Для заданого граничного розміру N (r) і N (x) чисельно рівні, тому їх можна позначити просто N. Однак для обробки експериментальних даних більш інформативним є розподіл види:

, (1.7)

, (1.8)

характеризує загальне число часток з розмірами, більш заданої величини. Обумовлено це наступними причинами:

- В природі зустрічається значно більше дрібних частинок, ніж великих, тому якщо проводити інтегрування, то на верхній межі будуть дуже малі зміни, особливо в логарифмічних координатах;

- Строго кажучи, відповідний (1.5) інтеграл повинен бути записаний як, і тоді визначення того, яку величину вважати rminдля аерозолів, впливає на величину інтеграла. Тим часом, як уже згадувалося раніше, серед дослідників не існує єдиної думки з приводу rmin.

Аналогічно (1.7) можна визначити і інтегральні об'ємні розподілу какілі, причому інтегрування проводиться від r до ?, або від rminдо r залежно від того, яке з визначень (більше, ніж або менше, ніж) прийнято. Розглянемо тепер найбільш часто використовувані в роботах по атмосферним аерозолям типи распределеній.1.6.1 Зворотно-статечне розподіл.

Експериментальні спостереження за атмосферними аерозолями дозволили сформулювати ряд емпіричних закономірностей, що описують їх розподіл.

У роботах Юнга (Junge), виконаних в кінці 40-х - початку 50-х років, було показано, що для атмосферних аерозолів розміром від десятих часток мікрометра до декількох десятків мікрометрів величина ?V / ?ln (r) залишається постійною. Це означає, що загальний обсяг ?V, займаний частинками, з радіусами від 0,4 до 0,6мкм або від 0,6 до 0,9 мкм, від 1 до 1,5 мкм або від 4 до б мкм, приблизно однаковий. Оскільки фізичний обсяг частинки радіусом 4-6 мкм в 103раз більше обсягу частинки з радіусом 0,4-0,6мкм, сталість ?V / ?ln (r) вимагає, щоб концентрація часток більшого радіусу була в 103раз менше. Хоча зустрічається велике число відхилень від цього правила, тим не менш, загальноприйнято в даний час, що для природних аерозолів, що утворилися в основному в результаті дезінтеграції земної поверхні, справедлива формула:

(1.9)

Парціальний об'єм частинок, що припадають на одиничний інтервал радіусів, пропорційний, таким чином, r-4. Пізніші дослідження показали, що показник ступеня при r може бути в загальному випадку як більше 3, так і менше 3. Будь розподіл, який може бути лінеаризовану в логарифмічних координатах, описується таким зворотним статечним розподілом:

, (1.10)

або

, (1.11)

де B = const. Розподілу такого типу використовують досить широко, але ними також часто зловживають. Тому обговоримо деякі їхні переваги й недоліки.

- Загальне число часток. Для його визначення необхідно обчислити, який розходиться за будь-яких a. Якщо задати нижню межу як rmin (труднощі такого кроку були обговорені вище), то отримаємо:

(1.12)

Таким чином, загальна концентрація визначається величиною rmin. Для a = 3 розраховане загальне число часток зростає в 8 разів при дворазовому зменшенні rmin.

- Середній радіус. Інтеграл в цьому випадку також розходиться, тому необхідно ввести rmin. Тоді отримаємо:

(1.13)

Якщо a = 3, то середній радіус близький до rmin. Якщо a = 1, то інтеграл розходиться і середній радіус невизначений.

- Загальний обсяг частинок. Загальний обсяг частинок задається величиною

(1.14)

яка не визначена при a = 3. Хотілося б відзначити, що саме a = 3 було передбачене на підставі сталості ?V / ?ln (r). Якщо взяти інтеграл від rminдо rmax, то загальний обсяг часток складе:

. (1.15)

Якщо a> 3, то отримаємо:

. (1.16)

А якщо a <3, то:

. (1.17)

Якщо rminмного менше rmax, тоді з рівняння (16) випливає, що обсяг

пропорціоналені вельми слабо залежить від rmin. Якщо a <3, то загальний обсяг в основному визначається rmin. Отже, якщо склад систематично змінюється зі зміною розміру, то в залежності від тангенса кута нахилу a середній склад аерозолю буде змінюватися дуже сильно.

- Загальна площа. У деяких випадках ця характеристика дуже важлива. Залежно від того, a <2 або a> 2, домінують більші чи менші частинки. Коефіцієнт оптичної екстинкції в грубому наближенні пропорційний площі поверхні частинки аж до rmin? 0.5?, де ? - довжина хвилі. Склад частинок (з оптичних вимірів) буде визначатися кінцем інтервалу радіусів для a ? 3 (тобто оптичне поведінка системи буде визначатися розміром в десяті частки мкм). Якщо a <2, то відбувається зсув у бік великих частіц.1.6.2 Гамма-розподіл.

Закон розподілу має вигляд:

, (1.18)

він забезпечує екстремум функції розподілу при rextr = b-1та спадання функції - повільне при зменшенні радіусу і експоненціально швидке при r> rextr. Однак теоретичне дослідження в області сухих аерозолів та експериментальні дані підтверджують, що при r Такі розподілу, відомі як гамма - розподілу, зручні для машинних розрахунків, проте представляють всього лише зручну апроксимацію експериментальних даних і не мають під собою ніякої теоретичної основи.

Можна легко отримати вираз для визначення першого моменту гамма - розподілу. Якщо прийняти, що

, (1.19)

то легко взяти інтеграл виду

, (1.20)

де Г - відповідне значення ?-функції:

(1.21)

в точці. Це дуже зручне властивість дозволяє вибирати функціютакім чином, щоб задовольнити експериментально знайденим середньому значенню, моді, ширині і кривизні, або будь-яким трьом моментам, вибравши відповідним чином b, ? і ?.1.6.3 Логарифмічно-нормальний розподіл.

Гауссово (нормальне) розподіл симетрично щодо свого середнього значення (яке одночасно є модою і медіаною) і приймає ненульові значення, коли модуль аргументу прямує до нескінченності. Нормальна крива, в якій аргументом є радіус, за вищезазначеною, а також по ряду інших причин погано апроксимує розподілу за розмірами, що спостерігаються в природних і штучних аерозолях. Тут і закладена логічна причина, по якій використовують логарифмічний аргумент. Інша причина може бути сформульована таким чином. Нехай ми вирішуємо завдання синтезу штучного аерозолю, склад якого заданий середнім розміром частинок. З викладеного в попередніх розділах випливає, що при середньому розмірі частинок в 1 мкм неможливо очікувати рівномірного освіти частинок з радіусом 0,1 мкм і 1,9 мкм. Безсумнівно, більшою мірою однакова ймовірність знайти частинки з радіусом ar і a1r. Таким чином, нормальне логарифмічний розподіл - це просто нормальна крива, аргументом якої є ln (r). Нормальний розподіл по аргументу x, яке задається формулою:

, (1.22)

де N0- загальне число частинок; ? - стандартне відхилення, може бути записано в одиницях r. Зауважимо, що ?, будучи середнім ln (x), в одиницях радіуса відповідає відношенню r. Так ? = 0, 3 означає, що точки срасполагаются на відстані, де, і, таким чином, являє собою середнє геометричне радіусу. Якщо використовувати радіус в якості аргументу, то нормальне логарифмічний розподіл буде мати вигляд:

(1.23)

Природні аерозолі в більшості випадків не характеризуються симетрією, притаманної нормальному логарифмическому розподілу. Штучні системи добре їм описуються, оскільки при одержанні штучних аерозолів звичайно переслідується одна мета - отримати частинки певного середнього розміру в рамках вузької фракції.

Ще раз підкреслимо, що розподілу Юнга засноване на експериментальних даних про природні аерозолях. Математичні операції з такими розподілами найчастіше можливі тільки з певним наближенням, а рішення рівнянь є чисельними. Математично строгі обернено-статечне, гамма, і логарифмічне нормальне розподілу зручні з точки зору математичної обробки, але, за винятком цього сенсу, їх використання не обгрунтовано ні експериментально, ні теоретично. Розподіл Юнга, особливо у випадку, якщо a - змінна величина і нижня межа rminмінімальна, забезпечує досить гнучке подання з хорошими коефіцієнтами кореляції.

2. Стан проблеми та постановка задачі.

 2.1 газокінетичний процеси в дисперсної системі 2.1.1 Безперервна і дискретна динаміка.

Дослідження динаміки аерозолів в середовищі (в тому числі в повітрі), необхідно визначити, з точки зору процесів переносу. У вільно - молекулярному режимі молекули середовища переміщаються по прямій, поки не зіткнуться з іншою молекулою, після чого, молекула змінює напрямок, до того моменту, поки знов не зіткнеться з іншою молекулою, і так далі. Середня відстань, пройдену молекулою між зіткненнями з іншими молекулами, називається довжиною вільного го пробігу. Залежно від відносного розміру частки, що знаходиться в середовищі і середньої довжини вільного пробігу, відрізняють два випадки.

- Якщо розмір частки набагато більше, ніж середня довжина вільного пробігу оточуючих молекул, система поводиться, як безперервна середу. Рух такої частки підкоряється законам дифузії.

- В іншому випадку, якщо частка набагато менше, ніж середня довжина вільного пробігу оточуючих молекул, то вона (частка) поводиться як велика молекула. У цьому випадку говорять про вільно - молекулярний режим.

Ключовою в нашому випадку, безрозмірний параметр, який визначає характерні властивості середовища щодо частки, - число Кнудсена.

(2.1)

де ?- довжина вільного пробігу, D - діаметр частинки, а R, відповідно, її радіус. Таким чином, число Кнудсена - відношення двох метричних параметрів.

Перш, ніж обговорювати роль числа Кнудсена, ми повинні розглянути обчислення середньої довжини вільного пробігу для пари. Так само необхідно обчислити середню довжину вільного пробігу для чистого газу і для газів, складених із сумішей декількох компонентів. Зауважимо, що повітря, в основному, складається з суміші кисню з азотом, проте загальноприйнято говорити про середній довжині вільного пробігу повітря ,, як ніби повітря - окрема хімічна різновид.

Почнемо з найпростішого випадку, коли частинка, знаходиться в чистому газі B. Якщо нас цікавить природа газу - носія, то ми повинні розрахувати середній шлях вільного пробігу, який з'являється при визначенні числа Кнудсена, -. Індекс позначає, що ми цікавимося зіткненнями молекул B один з одним. Довжина вільного пробігу була визначена, як середня відстань, яку проходить молекула B між сутичок з іншою молекулою B. Середня швидкість газових молекул B, - (Moore, 1962):

, (2.2)

де MB- молекулярна вага молекули B. Зазначимо, що великі молекули переміщаються більш повільно, в той час як середня швидкість газу збільшується з температурою. Середня швидкість молекули азоту при температурі 298К, згідно (8.2) дорівнює 474 м / c, а кисню - 444 м / c.

Давайте оцінимо те, що трапляється з молекулою B протягом одиниці часу, скажімо, секунди. Протягом цієї секунди молекула переміщається, в середньому, на відстань, рівну цьому проміжку часу (секунда), помноженому на швидкість молекули. Якщо протягом тієї секунди молекула піддається деякому числу зіткнень - Zbb, то її середня довжина вільного пробігу буде дорівнює, за визначенням,

(2.3)

Таким чином, щоб обчислити середню довжину вільного пробігу молекули, ми повинні спочатку обчислити число зіткнень Zbb. Нехай, - діаметром молекули B. За 1 секунду молекула переміщається на дістанціюі стикається з усіма молекулами, центри яких знаходяться в циліндрі радіусаі висоти. Відзначимо, що дві молекули діаметрасталківаются тоді і тільки тоді, коли відстань між їх центрами. Якщо- число молекул B в одиниці об'єму, то число молекул у вищезгаданому циліндрі -. Отже, ми вирахували число зіткнень, які передбачають, що одна молекула B переміщається, в той час як інші молекули нерухомі, в результаті чого недооцінили частоту зіткнень. Взагалі, все частки переміщаються у випадкових напрямки, і ми повинні описати цей рух, оцінюючи їх відносну швидкість. Якщо дві частки переміщаються в протилежних напрямках, їх відносна швидкість - 2. Якщо вони рухаються в одному напрямку, їх відносна швидкість - нуль, у той час як при русі під кутом в 90 ° їхня відносна швидкість -. Можна довести, що остання ситуація визначає середнє число, таким чином:

(2.4)

і середня довжина вільного пробігу:

(2.5)

Видно, що чим більше розмір молекули ,, і вище газова концентрація, тим менше значення приймає середня довжина вільного пробігу.

На жаль, навіть при тому, що (2.5) забезпечує досить непогану залежність довжини вільного пробігу від газової концентрації та розміру молекули, вона не зручна для використання, тому що необхідно знати діаметр молекули, так само, більшість молекул зовсім не є сферичними. Остаточно все посилює те, що середня довжина вільного пробігу газу не може бути виміряна безпосередньо. Однак, вона може бути теоретично пов'язана з вимірними газовими макроскопічними властивостями, типу в'язкості, коефіцієнта теплопровідності, або молекулярного коефіцієнта дифузії. Таким чином, можна використовувати вищезгадані газові властивості, щоб оцінити теоретично середню довжину вільного пробігу в газі. Наприклад, довжина вільного пробігу чистого газу може бути пов'язана з газовою в'язкістю, співвідношенням, що випливає з кінетичної теорії газів:

(2.6)

де- газова в'язкість, p - газовий тиск, і MB- молекулярна вага B.

Таким чином, для стандартних атмосферних умов, якщо діаметр частинки є більшим, ніж приблизно 0.2, Kn <1, і з точки зору атмосферних властивостей, частка перебуває в безперервному режимі. У цьому випадку застосовні рівняння механіки суцільного середовища. Коли діаметр частинки є меншим, ніж 0.01, частка існує в більш-менш розрідженому середовищі, і її властивості переносу повинні бути отримані з кінетичної теорії газів. Цей режим, коли Kn >> 1 називають вільно молекулярним режимом. Проміжна ланка, коли розмір частки укладений між цими двома значеннями (0.01і 0.2) називають перехідним режимом.

Тепер перейдемо до розгляду більш цікавого випадку - визначенню довжини вільного пробігу газу в бінарній суміші. Якщо ми цікавимося дифузією молекули пари до частинки, які містяться у фоновому газі B (наприклад, в повітрі), тоді опис дифузійного процесу, залежить від значення числа Кнудсена, визначення якого засноване на середньому довжині вільного пробігу. Відзначимо, що, якщо концентрація молекул A - на кілька порядків нижче ніж концентрація молекул фонового газу B (повітря), зіткненнями між молекулами А можна знехтувати. Сутички між молекулами А і B фактично дорівнюють загальній кількості зіткнень. Число Кнудсена визначають так:

(2.7)

тепер ми повинні оцінити. Джинс (Jeans) показав, що середня довжина вільного пробігу молекул A ,, в бінарній суміші A і B - (Davis, 1983)

(2.8)

гдеі- молекулярні концентрації частинок A і B, і- ударні діаметри для бінарних зіткнень між молекулами A і молекулами A і B, відповідно, де

(2.9)

и- ставлення молекулярних мас A і B. Перший член в знаменнику (8.9) відповідає за сутички між молекулами А, в той час як другий - через зіткнення між молекулами A і молекулами B. Якщо концентрація молекул A дуже низька (насправді, в атмосферних додатках, так і є), і (8.9) може бути спрощена, фактичним нехтуванням зіткненнями між молекулами А:

(2.10)

Відзначимо, що молекулярна концентраціяможет легко бути обчислена з рівняння Клайперона, де p - тиск системи. Середній {скупий} шлях вільного пробігу газу проекції прямої на задньому плані газ не залежить від концентрації безпосередньо. Це не дивно, оскільки ми припустили, що концентрація A настільки низька, що молекули ніколи не стикаються і не взаємодіють один з одним. Далі ми зосереджуємося на взаємодіях часток з єдиним газом - повітрям, де середня довжина вільного пробігу задана формулою (2.6) .2.1.2 Безперервний режим.

Нестала дифузія молекул виду A до поверхні частинки радіуса:

(2.11)

де c (r, t) - концентрація молекул А, а- молярний потік (кількість молей падаючих на одиницю площі в одиницю часу) в будь-якому радіальному положенні r. Це рівняння - просто вираз масового балансу в нескінченно малою сферичної осередку, навколо частинки. Молярний потік молекул A дається згідно закону Фіка (Бірд та ін., 1960),

(2.12)

де- молекулярна фракція частинок A, - радіальний потік повітря в положенні r, і- коефіцієнт дифузії молекул А в повітрі. Так як виділених напрямів немає, у всіх r. Беручи до уваги припущення, застосовне в більшості атмосферних станів -, (2.12) може бути переписана як

(2.13)

Тепер, комбінуючи (2.11) і (2.13), отримаємо:

(2.14)

Якщо- концентрація молекул А далеко від частки, а- концентрація парової фази на поверхні частинки, і частинка спочатку знаходиться в атмосфері частинок А з концентрацією, рівною, початкові, і граничні умови для (11.4) записуються так:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

рішення (2.14) в граничних умовах (2.5) - (2.17), буде виглядати так:

(2.18)

Тимчасова залежність концентрації в будь-якому радіальному положенні r дається третьою членом на правій стороні (2.18). Відзначимо, що для великих значень t, значення верхньої межі інтегрування наближається до нуля і профіль концентрації наближається до сталому станом, що задається

(2.19)

Повний потік молекул А (молей в секунду) до частинки позначений Jc, індекс c показує, що режим безперервний (continuum), і задається, як:

(2.20)

або, використовуючи (2.19) і (2.13), як

(2.21)

Якщо, потік молекул A - до частинки, а якщо-навпаки. Вищезгаданий результат був вперше отриманий Максвеллом (1877), і (11.11) часто називається потоком Максвела.

Масовий баланс на зростаючій або випаровується частці:

(2.22)

де- щільність частинки імолекулярний вага A. Об'єднуючи (2.21) з (2.22) отримаємо,

(2.23)

Когдаіпостоянни, (2.23) можна проінтегрувати, що дасть:

(2.24)

Використання незалежного від часу усталеного профілю, заданого (2.19), для обчислення розміру частки у часі (11.24) може здаватися суперечливим. Використання усталеного дифузійного потоку, для обчислення темпу зростання частки увазі, що профіль концентрації пара близько частинки досягає сталої величини перш, ніж відбудеться помітна зміна величини молекули. Так як зростання дійсно відбувається в сотні разів повільніше ніж дифузія, профіль близько частинки фактично завжди залишається в її стаціонарному значеніі.2.1.3 Вільно - молекулярний (кінетичний) режим.

У тривимірному випадку число зіткнень молекул з одиницею поверхні в одиницю часу одно (Moore, 1962)

, (2.25)

де- швидкість молекул:

. (2.26)

Враховуючи це, молярний потік (молей в одиницю часу) на частку радіусом:

(2.27)

де- ймовірність прилипання. Ставлення молекулярного потоку в кінетичному режимі до потоку в безперервному режимі, так само:

(2.28) 2.1.4 Перехідний режим.

Сталий потік молекул пари до сфери, коли частка є досить великий у порівнянні з середньою довжиною вільного пробігу молекул пари, задається рівнянням Максвелла (2.20). Так як це рівняння засноване на рішенні рівняння переносу в безперервному режимі, воно перестає діяти, коли середня довжина вільного пробігу молекул пара стає порівнянним діаметру частинки. В іншому випадку, вираз, засноване на кінетичної теорії газів (2.27) також не справедливо в цьому випадку, де. Коли, явища, як кажуть, лежать в перехідному режимі.

Розподіл концентрації дифузійних молекул і фонового газу в перехідному режимі суворо описується рівнянням Больцмана. На жаль, не існує загального рішення рівняння Больцмана, справедливого для всього діапазону чисел Кнудсена. Як наслідок, більшість досліджень явищ переносу уникає вирішувати безпосередньо рівняння Больцмана і обмежують себе підходом, заснованим на так званому методі підгонки потоків. Підгонка потоків припускає, що кінетичні ефекти обмежені областю, а поза цією областю має місце безперервний режим.

Расстояніеімеет порядок середньої довжини вільного пробігу. Припускають, що в межах цієї внутрішньої області застосовна проста кінетична теорія газів.

- Теорія Фукса Відповідність безперервних і свободномолекулярних потоків молекули відноситься до часу Миколи Альбертовича Фукса, який запропонував, що підгонкою двох потоків в, можна отримати гранична умова до рівняння дифузії. Припустимо, коефіцієнт прилипання дорівнює одиниці,

(2.29)

Тоді вирішуючи стаціонарне рівняння переносу для розведеної системи,

(2.30)

використовуючи як граничні умови (11.27) і, отримуємо рішення:

(2.31)

де поправочний коефіцієнт:

(2.32)

Зв'язавши бінарну дифузію і середню довжину вільного пробігу, використовуючи, і, отримаємо:

(2.33)

Зауважимо, що визначення середньої довжини вільного пробегаподразумевает, що для a = 1,

(2.34)

і ставлення Фукса (2.33) перетвориться, використовуючи (2.34),

(2.35)

Значення, використовуваного у виразах вище не було визначено в теорії і повинно бути вибрано дослідним шляхом або оцінено відповідно до незалежної теорією. Кілька виборів длябилі запропоновані: найпростіше, самим Фуксом, = 0. Інші пропозиції по цій темі висловлені Девісом, в 1983 році:,.

- Підхід Фукса і Сутугіна. Фукс і Сутугін в 1971 році пішли рішенням рівняння Больцмана, даного Сахні в 1966 році, для, де- ставлення молекулярної ваги диффундирующего речовини і повітря, для створення наступної інтерполяційної формули перехідного режиму.

(2.36)

Рівняння (2.36) засновано на результатах дляі тому безпосередньо застосовно, щоб описати молекули в більш важкому фоновому газі. Середня довжина вільного пробігу, включена у визначення числа Кнудсена в (2.36) :.

- Підхід Дахнеке. Дахнеке (Dahneke) в 1983 використовував потік, відповідний підходу Фукса, але, припускаючи що -и, отримав,

(2.37)

де. Середня довжина вільного пробігу вільного пробігу, включеного у визначення числа Кнудсена в (2.37):

- Підхід Лоялкі. Лоялка в 1983 побудував поліпшені інтерполяційні формули для перехідного режиму, вирішуючи лінеаризоване рівняння Больцмана за допомогою БГК моделі (Bhatnagar, Gross, Krook - 1954):

(2.38)

Середня довжина вільного пробігу, використовувана Лоялкой :, коефіцієнт стрибка концентрації мав значення. Виллиамс і Лоялка в 1991 році вказали, що (2.38) не працює поблизу вільно - молекулярного режіма.2.2 Підведення підсумків

Для отримання можливо більш точних результатів по випаровуванню і конденсації частинок застосовуються самі різні підходи: від напівемпіричних, деякі з яких перераховані вище, до досить обґрунтованих з математичної точки зору. До цих робіт, зокрема, відноситься серія робіт [16] - [21]. В основі цих робіт лежить розрахунок потоку пари на частку інтегруванням функції розподілу, отриманої в результаті рішення лінеаризованого рівняння Больцмана:

(2.39)

тут: - одночасткових функція розподілу за швидкостями і координатами i-ого газового компонента, - тілесний кут, - вектор відносної швидкості, - перетин зіткнень, - швидкість молекули, яка стикається з розглянутої молекулою - для якої записується рівняння Больцмана, підсумовування проводиться по всіх газовим складовим. Взагалі кажучи, в лівій частині рівняння (2.39) слід додати доданок -, Гдесь, що діє на молекулу, m - її маса, - її прискорення. Передбачається, що силове поле відсутнє. У такому вигляді рівняння Больцмана занадто складне, щоб для нього можна було знайти рішення, крім найпростіших випадків, наприклад, для рівноважного розподілу за швидкостями. У такому вигляді воно використовується для дослідження її рішень. Права частина цього рівняння називається інтегралом зіткнення, вся складність пошуку рішень пов'язана саме з цим інтегралом зіткнень. Зокрема існує принцип Гільберта [26], [27], відповідно до якого рішення рівняння (2.39) можна знайти у вигляді розкладання по моментах розподілу в початковий момент часу. На цьому заснований метод моментів Греда. Однак цей метод більш застосовний до завдань гідродинаміки, ніж, до проблем кінетики. Основні наближення, які використовуються для отримання рішення рівняння (2.39) зводяться до того, щоб спростити інтеграл зіткнень. При цьому передбачається, що розподіл за швидкостями мало відрізняється від рівноважного розподілу. Таким чином конструюється рівняння для функції, яка описує відхилення розподілу від рівноважного. Цей підхід аналогічний методам, описаним у роботі Черчіньяні [21], [22]. У кінцевому рахунку цей метод призводить до інтегрального рівняння Фредгольма першого або другого роду - залежно від обраної форми апроксимації. Додаткові ускладнення виникають при постановці граничних умов. Найбільші просування можливі в цьому напрямку при сферичній формі випаровуються крапель. Спроби отримати точне рішення призводять до досить складним залежностям, з якими складно працювати і зіставляти з експериментальними даними. Крім цього, доводиться робити припущення стрибка концентрацій на поверхні частинки. Для дифузійного і близько дифузійного режиму зіткнень молекул пари з часткою, коли задачу можна звести до вирішення рівняння дифузії, авторам [17] вдалося створити метод розрахунку конденсації і випаровування для несферичних частинок, використовуючи формалізм функцій Гріна - завдання зводиться до вирішення відповідного інтегрального рівняння, при цьому можуть бути використані чисельні методи - аналітичні залежності в цьому випадку отримати не вдається. Ще складніше описати процеси випаровування та конденсації частинок, в середовищі, що складається з декількох летких компонентів [23]. Передбачалося, що процес стаціонарний, випаровуються компоненти хімічно інертні, пари являють собою ідеальний газ. Для перехідного режиму використовувалася формула Фукса - Сутугіна. По суті, цей підхід представляв собою застосування раніше розроблених моделей для бінарної суміші. Зіставлення модельних розрахунків з експериментальними результатами випаровування суміші азотної кислоти з водою показало, що при різних зовнішніх умовах (співвідношеннях компонент і відносній вологості) більшість моделей можна застосовувати, якщо підігнати відповідним чином модельні параметри, наприклад, ймовірність прилипання.

З точки зору коректності постановки задачі і знаходження її вирішення слід відзначити роботу Сахні [24]. Взагалі кажучи, ця робота відноситься до розрахунку потоку нейтронів - в сповільнювачі реактора з урахуванням поглинання їх чорними сферами. Тим не менш, вона повністю застосовна для випаровування і конденсації частинок сферичної форми. По суті справи ця робота - рішення задачі Мілна для сферичної геометрії. Це завдання було зведено до інтегрального рівняння першого роду, потім перетворено до сингулярного рівняння типу Коші, яке було потім вирішено чисельними методами. Ці результати, зокрема, були використані Фуксом і Сутугін [8] для отримання Апроксимаційні формули перехідного режиму. Очевидно, що для отримання точних співвідношень для потоку молекул на поверхню частинки, необхідно вирішувати рівняння для функції розподілу Больцмана. Усе визначається тим, в якому вигляді брати праву частину цього рівняння, нижче ми повернемося до етому.2.2 Постановка завдання.

Наука про аерозольні частинки почалася c вирішення проблеми випаровування в газоподібному середовищі.

Припустимо, нам відомий радіус частинки - a, і концентрація молекул пари навколо цієї частки - n (r), де r - радіус-вектор, побудований з точки початку координат (центр частки). Потрібно знайти залежність радіуса частинки від часу - a (t). Отже, масу частинки можна виразити як, де ? - щільність частинки, площа поверхні частинки -, тоді буде справедливо рівняння:

, (2.39)

де j - щільність потоку конденсується молекул пари, m0- маса молекули. Продифференцировав ліву частину і спростивши рівняння (2.39) отримаємо:

(2.40)

Проінтегрувавши цей вираз, отримаємо:

(2.41)

Видно, що для розрахунку швидкості випаровування або конденсації, що і складає нашу задачу, необхідно знати величину потоку молекул пари на поверхню частинки. Вперше її записав Максвелл в кінці 19-го століття:

(2.42)

тут j - це щільність потоку конденсується молекул пара (кількість молекул осаждающихся на одиниці площі частинок в одиницю часу); D - коефіцієнт дифузії молекул пари в газі-носії, - концентрація пари на далеких від частки відстанях і у поверхні частинки відповідно; а - радіус частинки. Цей результат і його модифікації справедливі для порівняно великих часток, розмір яких істотно перевищує довжину вільного пробігу конденсуються молекул.

Інший граничний випадок був отриманий значно пізніше для вільно молекулярного режиму: конденсаційний потік пропорційний твору теплової швидкості молекули поперечному перерізу частинки (квадрату радіусу частинки)

(2.43)

Як вже зазначалося вище, для перехідного режиму, коли рівняння для потоку молекул перетворюється з виду (33) до форми (34), запропоновано досить багато підходів [2] - [11]. З цих формул можна виділити вираз, запропоноване Фуксом і Сутугін, оскільки воно найбільш часто цитується:

, (2.44)

де х = а / l і l відносна і розмірна довжина вільного пробігу. Якщо ввести термін - ефективність конденсації а - то завдання буде зведена до знаходження цієї величини, через яку визначається потік молекул на поверхню частинки:

(2.45)

Таким чином, всі зусилля експериментаторів і теоретиків зводилися до визначення саме цієї величини.

Пропонований нижче підхід заснований на розрахунку ефективності конденсації а за допомогою розподілу молекул пари за швидкостями і координатами, як це було зроблено у Сахні [24]. Для отримання цієї функції розподілу необхідно вирішувати рівняння Больцмана. Щоб спростити отримання цього рішення, права частина рівняння Больцмана - інтеграл зіткнення - був лінеаризовану. Такий прийом був зроблений Бхатнагар, Гроссом і Круком [27] - так зване БГК наближення. У цьому БГК наближенні використовуються найбільш прості граничні умови. Передбачається, що частково молекули відчувають дзеркальне відображення, а деякі з молекул осідають на поверхні. У цьому наближенні інтеграл зіткнень представлений в досить простому вигляді:

(2.46)

тут- не залежить від швидкості частота зіткнень, ця величина має порядок, де а - радіус частинки, n - концентрація молекул пари, - середня швидкість відносного руху молекул. Незважаючи на те, що складається враження, що зроблено досить грубе наближення - складний інтеграл зіткнень замінений досить простим доданком - в такій формі рівняння Больцмана зберігає основні свої властивості, і, як буде видно нижче, ця простота позірна. Можна легко показати, що рішення рівняння (2.46)

- Задовольняють рівнянням збереження маси, імпульсу і енергії;

- Задовольняє Н - теоремі.

Простота рівняння (2.46) оманлива. Це рівняння має сильну нелінійність, таким чином, локальні параметри - маса, імпульс і енергія повинні визначатися через одночасткову функцію розподілу, тому, як буде видно нижче, в той час як вдалося піти від одних проблем, виникли інші. При побудові наближень слід брати до уваги, що вид рівняння (2.46) дає два характерних часу - характерний час мікроскопічної релаксації, час за котороезаметно змінюється. Крім цього, через налічіявознікает другий характерний час -. Легко показати, що. Отриманий конденсаційний потік виражений через просторову концентрацію конденсується пара. Показано, що мінімальної інформації про профіль концентрації досить для отримання точного аналітичного виразу для молекулярного потоку при довільному режимі конденсації і довільної ймовірності прилипання. Це і є основний результат запропонованого підходу. Слід кілька слів сказати про співвідношення між рівноважної концентрацією пара і концентрацією пара біля поверхні частинки. Взагалі кажучи, передбачається, що, де- рівноважна концентрація пари поблизу поверхні частинки. У той же час це не зовсім так. Наприклад, при неодиничної ймовірності прилипання (?), концентрація поблизу поверхні частинки відрізняється оті визначається кінетикою процесу перенесення маси до частинки. Те ж саме відноситься до перехідного режиму конденсації, де стрибок концентрації (також виникає завдяки динаміці перенесення маси) змушує поверхневу концентрацію відрізнятися від добре відомого значення. Насправді концентраціюсаму необхідно знаходити з рішення динаміки зіткнення, що обмежує застосування співвідношення. Більш детально ця проблема буде обговорюватися в рамках ВГК моделі поряд з проблемою стрибка концентрації.

3. Рішення завдання і результати дослідження 3.1 лінеаризовану рівняння Больцмана для сферичної геометрії в одношвидкісному наближенні.

Розглянемо отримання лівій частині рівняння для функції розподілу Больцмана - знайдемо вираз оператора. Для рішення рівняння введемо нову систему ортогональних координат. Ця система координат дуже схожа на сферичну систему координат -.

Зв'язок вводиться системи координат - вона також ортогональна - з декартовій може бути представлена системою рівнянь:

(3.1)

Для обчислення градієнта в цій системі координат знайдемо метричний тензор:

(3.2)

Після простих обчислень можна отримати:

(3.3)

Тоді для градієнта довільної функції в цій системі координат:

(3.4)

Де- відповідні орти в напрямках. Тоді похідна в напрямку вектораможет бути представлена у формі:

(3.5)

Для розглянутої функції розподілу Больцмана, як це було зроблено в одношвидкісному наближенні, відповідним завданню Мілна:

(3.6)

Тоді ліва частина рівняння для функції розподілу Больцмана в системі координат, описаної раніше, буде виглядати наступним чином:

(3.7) 3.2 Основні рівняння

Припустимо, що є сферична частинка (крапля рідини), яка оточена молекулами газу-носія, концентрація яких-концентрації пари, який може як конденсуватися на краплі, так і випаровуватися. Для того щоб знайти потік пари на частку і розподіл концентрації його навколо частинки, необхідно розрахувати функцію розподілу пари по координатам і ско5ростям. Для цього, взагалі кажучи, необхідно вирішити рівняння Больцмана. Будемо вважати, що лінійна форма рівняння Больцмана дає добрі результати для розглянутого випадку:

(3.8)

Тут- функція розподілу, що залежить оті r, а r відстань від центру частинки до r и- кут між радіальним напрямком і напрямком швидкості молекули. Інші позначення: l - середня довжина вільного пробігу і

(3.9)

це чисельна концентрація молекул пари. Для простоти будемо працювати в системі одиниць, де l = 1.

(3.10)

При інтегруванні (3.8) пополучается рівняння безперервності:

(3.11)

Функцію розподілу зручно розбити на дві частини:

(3.12)

де- одинична функція Хевісайда. З урахуванням (3.12) рівняння (3.8) дає два спарених рівняння дляі:

(3.13)

(3.14)

Функціііопісивают молекули пари рухаються у напрямку до поверхні частинки і від частинки. Чисельна концентрація молекул і їх потік може бути виражений через ці функції:

(3.15)

(3.16)

Система рівнянь (3.13) і (3.14) повинна бути доповнена граничними умовами:

(3.17)

Це найбільш прості граничні умови, що встановлюють зв'язок між функціямііс допомогою ймовірності прилипання молекули пари до поверхні частинки. Формула (3.9) означає, що частка налітають на частку молекул пари, які залишаються на її поверхні, становить, решта молекули, частка яких, дзеркально відбиваються від поверхні. Нижче будуть представлені більш загальні граничні умови, які не внесуть істотних змін у подальший решеніе.3.3 Формальне рішення рівняння для функції розподілу.

Введемо нові змінні, які пов'язані ссоотношеніямі:

(3.18)

У цих змінних рівняння (3.6) і (3.7) приймають форму:

(3.19)

(3.20)

Припустимо, що- це відома функція координат, тоді рішення рівняння (3.19) можна отримати у вигляді:

(3.21)

де. Права частина рівняння (3.21) містить зростаючу з r експоненту, від якої слід позбутися вибором функціі.Окончательний результат набуває вигляду:

(3.22)

У змінних (3.22) мають форму:

(3.23)

Теперьпрінімает вигляд:

(3.24) 3.4 Точні результати вирішення рівнянь

Подальші кроки пов'язані з отриманням явного виду рішення (3.24). Для цього необхідно отримати залежність. Введемо нову функціюуравненіем:

(3.25)

Ця функція призначена для того, щоб плавно перейти від значень концентрації пари на поверхні частинки до концентрації на далеких від частки відстанях. Природно ,. При підстановці виразу (3.24) в (3.25) отримуємо:

(3.26)

Тут введені позначення. Перший інтеграл в правій частині (3.26) легко порахувати:

(3.27)

Другий теж легко привести до зручного для використання увазі, для цього введемо заміну змінних:,:

(3.28)

В результаті дляполучім зручне вираз:

(3.29)

Тепер вирази для розподілу концентрациии потоку молекул j приймають форму:

(3.30)

(3.31)

Тут введено такі обозначеніяі

(3.32)

У відповідності з рівнянням (3.11) можна записати, що, а також, звідки з урахуванням (3.25) прідля потоку біля поверхні частинки отримаємо:

(3.33)

де D коефіцієнт дифузії (D = 1/3 в БГК наближенні) і введемо позначення. Таким чином, знайдено зв'язок між потоком у поверхні частинки з параметрами розподілу концентрації пари на далекому відстані від неї.

Щоб встановити форму цієї залежності, представимо у вигляді двох доданків, кожне з яких визначає поведінку концентрації у поверхні і далеко від частки:

(3.34)

Тут функціяравна одиниці пріі мізерно мала на відстанях порядку довжини вільного пробігу молекул пара і більше (r порядку 1 в наших одиницях). Тоді

, (3.35)

де

(3.36)

и

(3.37)

При підстановці співвідношення (3.34) в рівняння (3.30) і (3.31) можна отримати:

(3.38)

(3.39)

де. Рівняння (3.33) дозволяє виключити комбінаціюпрі допомогою лінійної системи рівнянь дляі:

(3.40)

(3.41)

Рішення цих рівнянь можна представити через детермінанти:

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Остаточно отримаємо:

(3.45)

Можна отримати і явну форму цих виразів:

(3.46) 3.5 Прикордонний шар.

Слід враховувати, що, незважаючи на те, що всі вище отримані вирази точні, поки немає рецепту, як рахувати інтеграли, що входять у вирази (3.42- 3.44). Для цього треба зрозуміти, як вибрати конкретний вид функції. Взагалі кажучи, це може бути зроблено при знаходженні точного рішення рівняння (3.8). Проте на даному етапі це неможливо. Насправді відомі властивості функції, тому її можна підібрати, використовуючи підганяльні параметри пробних функцій. Для цього необхідно за допомогою цієї функції зуміти підібрати правильний профіль концентрації парів навколо частинки. Такою функцією може бути залежність виду:

(3.47)

де величина параметра- це характерне відстань, на якій вільно молекулярний режим переходить в безперервний. Множітель- описує профіль концентрації конденсуються пари в безстолкновітельном режимі, коли потік пропорційний щільності, а не її градієнту. Оскільки потік пропорційний, то. Експонентний множник аппроксимирует перехід від вільно молекулярного режиму до безперервного. Таким чином, замість рівняння (3.36) виходить:

(3.48)

Представлена інтерпретація досить прямолінійна, чутливість остаточного результату до велічінебудет пізніше досліджена. На малюнку 1 показаний профіль концентрації при різних значеннях величини. Взагалі кажучи, може бути знайдена за допомогою варіаційних розрахунків.

Рис. 1. Профіль концентрації поблизу поверхні частинки (див. Рівняння (3.25), (3.34) і (3.47)). Концентрації нормовані на 1, відстань виміряна в довжинах вільного пробігу. Криві 1-4 розраховані для = 1, 3, 10, відповідно як функції відстані від центру частинки. Радіус частинки а = 1. Остання крива відповідає наближенню стрибка профілю концентрації: сам профіль концентрації отриманий з рівняння Фіка, а граничні умови для концентрації пара - з рішення кінетичного рівняння (див. Рівняння (3.59)).

Отже, знайдемо параметр. Для цього побудуємо функціонал і мінімізуємо його чисельними методами за допомогою ЕОМ. Отже, згадаємо рівняння (3.13). Воно і стане основою для нашого функціоналу:

(3.49)

В результаті перетворення отримаємо:

(3.50)

Тепер можна записати функціонал, який треба мінімізувати щодо параметра:

(3.51)

де

(3.52)

, (3.53)

, (3.54)

, (3.55)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

Вищеописана модель була реалізована в двох видах: як програми мовою C з використанням бібліотеки GSL, а так само у вигляді додатку пакета Mathcad. Розглянемо отримані результати:

Рис. 2. Значення функціоналу (3.51) в дифузійному (безперервному) режимі.

Рис. 3. Значення функціоналу (3.51) в перехідному режимі.

Рис. 4. Значення функціоналу (3.51) в свободномолекулярном (кінетичному) режимі.

Ми бачимо, що функціонал зменшується з ростом. Це відповідає стрибка концентрації на поверхні частинки. Таким чином, модель виявилася чутливою до стрибка концентрації, тобто виправдовує наближення, описане нижче.

Розглянемо вплив параметра на остаточний результат:

Рис. 5. Залежність потоку конденсується парів. Потоки нормовані на 1, відстані виміряні в довжинах вільного пробігу: а) - повна ймовірність прилипання, крива 1 відповідає = 1, крива 2 відповідає стрибка концентрації (), показано також і ставлення цих потоків; б) - при уменьшенііпрібліженіе стрибка концентрації дає кращу точність

З малюнка 5 видно, що остаточний результат не сильно залежить від параметра. Максимальне відхилення між граничними значеніямііне перевищує 10% і зменшується при уменьшеніі.3.6. Наближення стрибка концентрації на поверхні частинки

Розглянемо випадок, коли. При большіхфункціяведет себе досить різко (на відстанях порядку), при цьому вона змінюється отдо (див. Рис. 1). На граничному значенііето зміна відповідає стрибка концентрації між значеніяміі. Інтегралинаходятся в цій межі. Звичайно, це наближення залишає правильним асимптотичну поведінку потоку при великих і малих значеннях а. Якщо знехтувати виразом, пропорційним, то можна з рівнянь (3.40) і (3.41) отримати:

(3.59)

(3.60)

(3.61)

При виведенні цих рівнянь було використано те, что.3.7 Чисельні результати

Залежно j від імовірності пріліпаніяпоказани на малюнку 6 для різних розмірів часток а.

Рис. 6. Залежність відносного потоку конденсується парів (, де- потік при вільно молекулярному режимі при) від імовірності прилипання. Відстані виміряні в довжинах вільного пробігу. При розрахунках використовувалася система рівнянь (3.38).

Потокбил знайдений з рівняння (3.59), а після цього був зіставлений з формулою Фукса-Сутунгіна, яка для проізвольнихможет бути переписана у формі рівняння (3.59) с, заміненим на ([10]):

(3.62)

Відповідність між формулами, як можна бачити з малюнків 8 і 9, не потребує коментарів за винятком того, що при малихето відповідність стає гірше.

Рис. 7. Потік конденсується парів: порівняння наближення стрибка концентрації з формулою Фукса-Сутугіна при ймовірності прилипання = 1. Потоки поблизу поверхні частинки нормовані на 1, відстані виміряні в довжинах вільного пробігу. Крива 1: формула Фукса-Сутугіна. Крива 2: наближення стрибка концентрації (рівняння (3.59)).

Рис. 8. Потік конденсується парів: порівняння наближення стрибка концентрації з формулою Фукса-Сутугіна при ймовірності прилипання = 0.1. Потоки поблизу поверхні частинки нормовані на 1, відстані виміряні в довжинах вільного пробігу. Крива 1: формула Фукса-Сутугіна. Крива 2: наближення стрибка концентрації (рівняння (3.59)).

Графік зростання частки для різних ймовірностей прилипання представлена на малюнку 9 і малюнку 10 була знайдена з рівнянь (2.41) і (3.59).

Рис. 9. Розмір частки a (t), знайдений з рівнянь (2.41) і (3.59). Маса і густина налітають частинок взяті рівними одиниці.

Рис. 10. Розмір частки a (t), знайдений з рівнянь (2.41) і (3.59). Маса і густина налітають частинок взяті рівними одиниці.

4. Висновки і висновок.

В результаті роботи над дипломом було зроблено:

1. Досліджено процес конденсації при різних числах Кнудсена.

2. Для розрахунку щільності потоку молекул пари на частку було використано рішення лінеаризованого рівняння Больцмана.

3. Оцінено значення параметра рішення рівняння Больцмана для широкого діапазону значень чисел Кнудсена.

4. Виявлено, що модель одношвидкісного наближення дає стрибок концентрації на поверхні. Це означає, що значення параметра рішення повинно бути дуже великим.

5. Чисельні експерименти показали, що найбільш важливі величини, потік молекул пари, швидкість росту частки, слабо залежать від значення визначається параметра.

6. При малих значеннях ймовірності прилипання ця залежність стає ще менше.

7. Запропоновано та реалізовано алгоритм розрахунку конденсаційного росту частинок при різних числах Кнудсена імовірностях прилипання молекул пари до поверхні частинки.

Список літератури

1. J.C. Maxwell Collected Scientific Papers, Cambridge, 11, 625, 1890.

2. Фукс Н.А. Випаровування і зростання крапель в газоподібному середовищі. - Вид. АН СРСР, Підсумки науки, с. 90, 1958.

3. Н.Фукс, ЖЕТФ, т.4, вип. 7, 1934.

4. Li YQ, Davidovits P., Shi Q., Jayne JT, Kolb CE, Worsnop DR Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O (g) on Liquid Water as Function of Temperatrue. - J.Phys.Chem.A, 105, 29, 10627-10634, 2001.

5. Heidenreich S., Buttner H. Investigation about the infuence of the Kelvin effect on droplet growth rate. - J.Aerosol Sci., V.26, n.2, 335 - 339, 1995.

6. Shi Q., Davidovits P., Jayne JT, Worsnop DR, Kolb CE Uptake of gas-phase ammonia. 1. Uptake by aqueous surfases as function of pH. - Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O (g) on Liquid J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8812-8823, 1999.

7. Swartz E., Shi Q., Davidovits P., Jayne JT, Worsnop DR, Kolb CE Uptake of gas-phase ammonia. 2. Uptake by sufuric acid surfaxres J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8824-8833 1999

8. Widmann J.F., Davis E.J. Mathemetical models of the uptake of C1ONO2 and other gases by atmospheric aerosols. - J.AerosoI Sci., V.28, n.2, pp. 87 - 106, 1997.

9. Fuchs N.A., Sutugin A.G. Highly dispersed aerosols, in Topicsin Current Aerosol Research (Part 2), ed. by CM. Hidy and J.R. Brock, New York, pp. 1-200, 1971.

10. Dahneke B. Simple kinetic theory of Brownian diffusion in vapor and aerosols, in Theory of Dispersed Multiphase Flow, ed. by R.E. Meyer Academic Press, New York, pp. 97 - 133, 1983.

11. Loyalka S.K. Modelling of condensation in aerosols. - Prog. Nucl.Energy, v.12, pp.1-? 1983.

12. Sitarski M., Nowakowski B. Condensation rate of trace vapor on Knudsen aerosols from solution of the Boltzmann equation. - J.Colloid Interface Sci., V.72, pp.113-122, 1979.

13. Лушніков А.А., Загайнов В.А. Кінетичні ефекти конденсації при довільній ймовірності прилипання молекул до частинок. - Изв. АН, сер. ФАС), т.38, №2, с. 192 - 199.

14. К. Черчіньяні. Теорія і додатки рівняння Больцмана. - Вид. Світ. Москва, 1978.

15. Резібуа П., Де Ленер П. Класична кінетична теорія рідин і газів. - Вид. Світ, Москва, 1980.

16. Bhatnagar PL, Gross EP, Krook M. A model for collision processes in gases.
Древньоруський іконопис
Зміст Введення 1. Історія еволюції іконопису 2. Російський іконопис 3. Функції ікони 4. Ікона - мальовничий твір 5. Ікона в сучасній Росії Висновок Список джерел, що використовуються Вступ На сучасному етапі духовного розвитку, в Росії все більше приділяється часу культурному розвитку особистості

Древнє мистецтво народів півдня Пріамурья (петроглифы і скульптура)
Древнє мистецтво народів півдня Пріамурья (петроглифы і скульптура) План Ведіння Розділ 1. Історія дослідження древнього мистецтва Пріамурья (основні етапи і проблематика) Розділ 2. Древні наскальний зображення (петроглифы) Пріамурья 2.1 Характеристика, ареал поширення і періодизація петроглифов

Древньогрецький костюм. Його вплив на костюми подальших епох
Міністерство освіти Російської Федерації Уряд Ленінградської області Ленінградський державний університет ім. А.С. Пушкина Кафедра Всесвітньої Історії РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Древньогрецький костюм. його вплив на костюми подальших епох. Склала: Студентка I курсу Денного відділення Факультету Історії

Древньогрецький і Древнеєгипетська культури
МОСКОВСЬКА АКАДЕМІЯ КОМПЛЕКСНОЇ БЕЗПЕКИ ПРЕДПРІНІМАТЕЛЬСТВАУральськоє представництво Контрольна робота По дисципліні «Культурология'На тему: «ДРЕВНЬОГРЕЦЬКИЙ І ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ КУЛЬТУРИ; ЗАГАЛЬНЕ І ОСОБЛИВЕ» Челябінськ, 2009 р. Зміст Введеніє_ 3 1. Древнеегипетская культура_ 5 2. Древньогрецький

Будинок-музей Хлебнікових
АСТРАХАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КАФЕДРА КУЛЬТУРОЛОГИИ ЗВІТ по музейно-краєзнавчої (ознайомчої) практики в Будинку-музеї родини Хлебнікових Виконала: студентка III курсу Спеціальність - вчитель культурологи Фомічова О.В. Перевірила: Завідуюча кафедрою культурологи Хлищева Є.В. АСТРАХАНЬ

Диффузионистское напрям
Державний комітет по рибальству РФ АСТРАХАНСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Інститут Економіки КОНТРОЛЬНА РОБОТА По дисципліні: «Культурология» Тема: « Диффузионистское напрям у вивченні культури» Виконав: Студент группыЗФЭ-88 Серега Перевірив: Д.Е.Н, О.К. ДИФФУЗИОНИСТСКОЕ НАПРЯМ В ВИВЧЕННІ

Діалог культур
Міністерство освіти Російської Федерації ТОМСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ І РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ (ТУСУР) ДІАЛОГ КУЛЬТУР Тематичний реферат по дисципліні «Культурология» (чебное допомога «Культурология», автор Т.І. Суслова, 2001 р.) Виконав: 2006 р Зміст 1 Введення... 3 2 Поняття

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати