трусики женские украина

На головну

 Можливості використання елементів теорії ймовірностей і статистики на уроках математики в початковій школі - Психологія, педагогіка

Дипломна робота студента Сидорова Івана

Білоруський державний педагогічний університет імені Максима Танка

Мінськ 2002

Введення

Розвиток теорії ймовірностей з моменту зародження цієї науки і до теперішнього часу було кілька своєрідним. На першому етапі історії цієї науки вона розглядалася як цікавий "дрібничка", як збори курйозних завдань, пов'язаних в першу чергу з азартними іграми в кості й карти. Засновниками теорії ймовірностей були французькі математики Б. Паскаль і П. Ферма, і голландський учений Х. Гюйгенс, у відповідях яких на запити азартних гравців і листування між собою були введені основні поняття цієї теорії - ймовірність події і математичне очікування.

Найважливіший етап теорії ймовірностей пов'язаний з ім'ям швейцарського математика Я. Бернуллі. Їм було дано доказ окремого випадку закону великих чисел, так званої теореми Бернуллі. З того часу теорія ймовірностей оформляється як математична наука.

Суворе логічне обгрунтування теорії ймовірностей відбулося в XX в. і пов'язаний з іменами радянських математиків С. Н. Бернштейна і А. Н. Колмогорова.

Протягом останніх десятиліть елементи теорії ймовірностей і комбінаторики то вводилися розділом в курс математики загальноосвітньої школи, то виключалися взагалі. Увага, яка приділяється цього навчального предмета в усьому світі, дозволяє припустити, що концепція його введення є актуальною.

На наш погляд, заслуговує на увагу методика навчання учнів теорії ймовірностей, яка грунтується на понятті логіко-методичної моделі "експеримент".

Експеримент - це модель досвіду з кінцевим безліччю фіналів. Як і в будь-якої моделі виділено головне: безліч результатів і можливість настання кожного з них. Деякі експерименти доступні дітям молодшого шкільного віку.

Чому ж реально викладати в початковій школі елементи теорії ймовірностей?

Вона вимагає вельми небагато чого від технічно формалізованої математики: якщо опанувати діями з дробами, можна вже досить далеко просунутися. Зачатки алгебри дозволяють сформулювати теоретико-імовірнісні принципи в загальному вигляді. Теорію ймовірностей можна застосовувати також безпосередньо як і елементарну арифметику, т. Е. З допомогою моделей, які кожен може зрозуміти відразу.

Правильне розуміння теорії ймовірностей є прекрасною можливістю показати школярам процес математизації - і це практично єдина можливість після елементарної арифметики, слідом за якою погано засвоєна дедуктивного робить незрозумілими інші гілки математики.

Відомі багато прекрасні досліди введення теорії ймовірностей вже на ранніх стадіях навчання. Ми підтримуємо ідею А. Енгеля пронизувати елементами теорії ймовірностей вивчення дробів в молодших класах, вважаючи таке наближення до реальної дійсності корисним. У підході А. Енгеля вдається домогтися безперервності вивчення теорії ймовірностей. Ми вважаємо, що школяр, який займався нею в досить ранньому віці, легше перенесе абстрактну, далеку від реальної дійсності "математизацію" в старших класах. Точно також йому піде на користь вивчення теорії ймовірностей у старших класах, якщо вже в молодших були введені деякі елементи предмета на описовому рівні.

Враховуючи вимоги до сучасного навчання і можливості 6-10 річних дітей, шкільна програма передбачає сформувати в учнів елементи математичних понять і логічної структури мислення. Це потрібно від вчителя, але, на жаль, багато з них ігнорують програму. Але навіть якщо вчитель програму не ігнорує, то він до кінця не розуміє як викладати елементи розділу математики, який називається математична логіка, як включати в систему навчання елементи теорії ймовірностей і статистики. На жаль, мало методичних посібників для вчителів початкової школи, які допомогли б упоратися з такими завданнями, зробили б навчальний процес цікавим і доступним.

Об'єкт дослідження - процес підготовки вчителя початкових класів до навчання молодших школярів елементам теорії ймовірностей і статистики.

Предметом дослідження є вплив системи завдань на формування імовірнісних та статистичних понять в учнів початкової школи.

Гіпотеза дослідження. Розумові здібності, як і всякі інші, можна і треба розвивати. Досягненню цієї мети багато в чому може сприяти вивчення елементів теорії ймовірностей і статистики через систему спеціальних завдань і експериментів.

У зв'язку з висунутої гіпотезою визначені мета і завдання дослідження.

Мета: показати методику роботи використання елементів теорії ймовірностей і статистики на уроках математики в початковій школі; створити систему завдань і вправ, спрямованих на знайомство і засвоєння нових знань.

Завдання:

? показати доступність вивчення елементів теорії ймовірностей і статистики у початковій школі;

? показати роль задач і експериментів у засвоєнні елементарних знань про теорію ймовірностей і статистики;

Методологічною і теоретичною основою є роботи вітчизняних і зарубіжних філософів, педагогів, психологів, математиків.

Базою дослідження була гімназія № 1 м Слонима.

Під час дослідження використані методи:

- Вивчення і аналіз літератури з психології, педагогіки, логіці, математиці, підручників з математики для початкової школи під ред. А. А. Столяра;

- Аналіз діючої програми навчання математики в початкових класах;

- Бесіда;

- Розповідь;

- Педагогічне спостереження за діяльністю учнів;

- Аналіз письмових відповідей учнів.

Зауваження.

1) У першому розділі ми пропонуємо мінімальний теоретичний матеріал, яким повинен володіти вчитель початкових класів. Тут мало методичних вказівок. Але навіть з наведених визначень, прикладів видно, що матеріал доступний учням III-IV класів, а деякі з завдань - і більше молодшим школярам.

2) Методика роботи з елементами теорії ймовірностей розглядається у другому розділі; там же ми повернемося до ряду положень з глави I.

3) Нумерація завдань, прикладів - наскрізна.

Глава I. Загальне уявлення про теорію ймовірностей

Імовірність - характеристика ступеня появи деякої події при тих чи інших певних умовах.

Класична теорія ймовірностей розглядає ймовірність як відношення числа сприятливих випадків до всіх можливих. При цьому передбачається, що всі розглянуті випадки є рівноможливими, рівноімовірними. Так, якщо ми беремо ідеально виготовлену шестигранную гральну кістку, то у нас немає підстав вважати, що вона на якусь із граней буде випадати частіше, ніж на іншу; більше того, є всі підстави для того, щоб вважати рівноімовірними випадання її на кожну з граней. Тому при киданні такий кістки випадання кожної з них можна чекати з імовірністю, рівної 1/6. У класичній теорії ймовірностей ми маємо справу з випадками, коли обчислена чисто теоретично вірогідність тієї чи іншої події підтверджується в процесі дослідної перевірки. Така ситуація, яка грунтується на симетричності фіналів досвіду, порівняно рідко зустрічається при дослідженні реальних подій в науці і практиці. Теорія частотної, або статистичної, ймовірно, біля витоків якої стояли Р. Мізес [1] і Г. Рейхенбах [2], долає зазначену обмеженість класичної теорії.

Ключовим у частотній теорії є поняття відносної частоти. Це відношення числа появ досліджуваного події в серії випробувань в даних умовах до числа всіх випробувань, в яких ця подія могла б з'явитися при тих же умовах. Частотна теорія дозволяє за результатами відносної частоти досліджуваних масових випадкових подій судити про їх ймовірності. Застосування математики до вивчення подій такого характеру спирається на те, що в багатьох випадках при багаторазовому повторенні випробувань в приблизно рівних умовах частота появи результату залишається приблизно однаковою. Результат же являє собою відношення числа дослідів, в яких він мав місце, до загального числа вироблених дослідів. Так частота попадання в ціль для даного стрілка в одних і тих же умовах при значному числі випробувань залишається майже однієї і тієї ж. Відсоток бракованих виробів в даному ряду випробувань в одному і тому ж виробництві при однакових умовах приблизно один і той же.

Останнім часом розробляється логічна (індуктивна) теорія ймовірності, в якій вивчається ставлення між посилками і укладанням в правдоподібних умовиводах. Логічна ймовірність характеризує розумну ступінь віри в появу деякої події в умовах певної невизначеності. Логічна ймовірність використовується в ймовірнісної і індуктивної логіці [4].

"Математика випадку" - так ще в XVII в. назвав теорію ймовірностей один з її засновників, французький вчений Блез Паскаль [3].

- Випадок? А навіщо його вивчати? - Запитаєте ви.

Виявляється, ще в давнину люди помітили, що випадкова подія - зовсім не виняток у житті, а правило. Це стало об'єктивною передумовою для виникнення науки про випадкових явищах. Знати закони випадку необхідно. Ось приклад.

У всіх великих населених пунктах є станції швидкої медичної допомоги. Немає можливості заздалегідь передбачити моменти, коли потрібно надати допомогу раптово захворіли людям. Як багато протягом заданого часу буде викликів до таких хворих? Як довго доведеться лікаря затриматися у хворого? Скільки лікарів і машин необхідно мати під час чергування, щоб, з одного боку, хворі не надто довго чекали допомоги, а з іншого - не спостерігалося б занадто непродуктивного використання лікарського персоналу? Ми стикаємося з типовою ситуацією, в якій випадковими є моменти викликів, тривалість перебування лікаря у хворого, тривалість проїзду машини від пункту "Швидкої допомоги" до будинку хворого ... (Гнеденко)

Як бачимо, невідкладна допомога залежить від багатьох випадкових подій. E щоб допомога була дійсно невідкладної, треба вміти враховувати всі ці випадковості.

Можна навести і більше буденні, більш примітивні, якщо завгодно, приклади. Під стелею висить лампочка - ви не знаєте, коли вона перегорить. Чи буде завтра сніг, нікому напевно невідомо, навіть бюро погоди помиляється. Учитель не знає, скільки помилок зробить школяр в диктанті.

Теорія ймовірностей - математична наука, яка якраз і вивчає математичні моделі випадкових явищ, з її допомогою обчислюють ймовірності настання певних подій [5]. Розглянемо вирішення декількох простих завдань цієї складної науки.

I. 1. Як п оймать випадок?

Візьміть 7 однакових кульок від настільного тенісу. На кожному напишіть номер - 1, 2, ..., 7. Три з них (1, 2, 3) позначте чорнилом - це будуть "чорні кулі", а інші - "білі". Тепер візьміть мішечок або ящичок - це буде ваша "урна" - і покладіть в неї кулі.

Починаємо досліди.

Кульки треба перемішати і витягнути один. Запишіть, якого він кольору, і покладіть кульку назад. Це перший досвід. Так можна робити багато разів підряд. За півгодини можна провести більше ста дослідів.

Ми хочемо передбачити, скільки разів з 100 буде вийнято чорна куля. Яка його частка у всіх дослідах? Природно, кожен раз результат залежить від випадку - може попастися чорна куля, а може і білий. Але при великому числі дослідів приблизну частку чорних куль можна передбачити!

Кожного разу ви виймали з урни або перший куля, або другий, ..., або сьомий - всього сім можливих результатів кожного досвіду. Кулі ретельно перемішані, на дотик розрізнити їх не можна, у всіх однакові шанси бути вийнятими. Математики кажуть: всі сім фіналів рівноможливі.

Тепер зрозуміло, що кожна куля може з'явитися в 1/7 частини всіх дослідів, і чим більше разів ви виймаєте кулі, тим ближче до 1/7 частка будь-якого з семи фіналів. Звичайно теоретично можна допустити, що всі сто раз ви виймаєте, наприклад, перший кулю. Але це зовсім винятковий випадок, але ми говоримо зараз про середні результати.

Що ж можна сказати про чорний колір? Він може в кожному досвіді з'явитися одним з трьох способів, у трьох исходах з семи (адже у нас три чорних кулі). Ці результати називаються сприятливими для появи чорного кулі. Отже, всіх дослідів - 7, сприятливих результатів - 3, отже, в середньому в 3/7 всіх дослідів виймуть чорна куля. І чим більше дослідів, тим ближче його частка до 3/7. Це і є ймовірність появи чорного кулі.

Цей приклад ілюструє формулу класичної теорії ймовірностей:

 Ймовірність події =

 Число сприятливих результатів

 Число всіх равновозможних результатів

Ця формула отримана за допомогою міркувань. Але чи відповідають міркування дійсності? Формулу перевіряли вчені на багатьох дослідах, і завжди вона отримувала підтвердження. Частка дослідів, в яких подія здійснювалося, була близька до розрахункової. Цією формулою користуються, коли результати досвіду рівноможливі і треба тільки обчислити вірогідність.

Досвідом або випробуванням називають провадження певного комплексу умов або дій, при яких відбувається відповідне явище. Можливий результат досвіду називають подією. Наприклад, досвідом є підкидання монети, а подіями - "герб" або "цифра" на верхній стороні після падіння монети. Дослідами є стрілянина по мішені, витяг кулі з ящика, кидання грального кубика і т. Д.

I. 2. Класифікація подій

Достовірним називають подію, яка обов'язково відбудеться в даному досвіді. Наприклад, якщо в ящику знаходяться тільки червоні кулі, то подія з шухляди витягнуто червоний куля є достовірним (в ящику немає куль іншого кольору).

Неможливим називається подія, яка не може відбутися в цьому досвіді. У нашому прикладі таким є подія з шухляди витягнуто синій куля (таких куль просто немає).

Випадковим називається подія, якщо воно може відбутися, а може і не відбутися в даному досвіді. Якби в урні перебували червоні і сині кулі, то подія з шухляди витягнуто червоний куля - випадкове (адже ми можемо і не витягти червону кулю в даному випробуванні). Випадковими подіями є "герб" і цифра на верхній стороні монети при її підкиданні, виграш по квитку лотереї і т. П.

Дві події називаються спільними в даному досвіді, якщо поява однієї з них не виключає появи іншого в цьому ж досвіді. Так, при підкиданні двох монет події A - "герб на верхній стороні першої монети" і B - "цифра на верхній стороні другої монети є спільними.

Рівноможливими вважають події, якщо немає підстав вважати, що одна подія є більш можливим, ніж інші. Наприклад, при підкиданні монети подія K (поява цифри) і подія L (поява герба) рівноможливими. Такими ж є появи будь-який з шести граней при підкиданні грального кубика.

Кожна подія, яка може наступити в результаті досвіду, називається елементарним результатом (елементарним подією або шансом). Наприклад, події A1, A2, A3, A4, A5, A6 - елементарні результати при підкиданні кубика.

Елементарні результати, при яких дана подія настає, називаються сприятливими цій події, або сприятливими шансами. Наприклад, при підкиданні грального кубика елементарні результати A2, A4, A6 є придатними події "випало парне число очок".

Приклад 1. підкидає два гральних кубика, підраховуються суми випали очок (суми числа очок на верхніх гранях обох кубиків). Сума очок на двох кубиках може змінюватися від 2 до 12. Записати повну групу подій в цьому досвіді.

Рішення. Повну групу подій утворюють рівноможливими елементарні результати (k; m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представлені в таблиці. Елементарний результат означає, що на першому кубику випало k очок, а на другому m очок. Наприклад (3, 4) - на першому кубику 3 очки, на другому - 4 очки.

Oaae. A

 (1, 1) (2,1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

 (1, 2) (2,2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

 (1, 3) (2,3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

 (1, 4) (2,4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

 (1, 5) (2,5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

 (1, 6) (2,6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

Приклад 2. Скільки елементарних фіналів сприяє події "на обох кубиках випало однакове число очок" при підкиданні двох гральних кубиків.

Рішення. Цій події сприяють 6 елементарних фіналів (див. Табл. 1): (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Приклад 3. Підкидається два гральних кубика. Якою подією сприяє більше елементарних фіналів: "сума випали очок дорівнює 7", "сума випали очок дорівнює 8"?

Рішення. Події "сума випали очок дорівнює 7" благоприятствуют 6 випадків (в табл. 1 виділені кольором). Події "сума випали очок дорівнює 8" сприяє 5 фіналів: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Відповідь ясна.

До речі кажучи, можна запропонувати учням та інше завдання: підрахувати, скільки елементарних фіналів сприяє подій "сума очок на кубиках дорівнює 2", "сума очок на кубиках дорівнює 3" і т. Д., І ці результати відзначити на координатній площині, з якою учні початкових класів знайомі.

?en. A

Приклад 4. Підкидається три гральних кубика, підраховуються суми очок, що випали на них. Скількома способами можна отримати в сумі 5 очок; 6 очок?

Рішення. Отримати в сумі 5 очок можна шістьма способами: (1; 1; 3) [4], (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2 ), (2; 2; 1). Отримати в сумі 6 очок можна десятьма способами (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2 ; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).

I. 3. Класичне визначення ймовірності

Ймовірністю події називається відношення числа елементарних фіналів, благоприятствующих цієї події, до числа всіх рівно можливих фіналів досвіду, в якому може з'явитися цю подію. Ймовірність події A позначають через P (A) (тут P - перша буква французького слова probabilite - ймовірність):

,

aaa m - число елементарних результатів, що сприяють події A; n - число всіх рівно можливих елементарних фіналів досвіду, що утворюють повну групу подій.

Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло на початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Приклад 5. В урні 10 однакових за розмірами і вагою куль, з яких 4 червоних і 6 блакитних. З урни витягується 1 кулю. Яка ймовірність того, що витягнутий куля виявиться блакитним?

Рішення. Подія "витягнутий кулю виявився блакитним" позначимо літерою A. Дане випробування має 10 равновозможних елементарних фіналів, з яких 6 сприяють події A. Відповідно до формули отримуємо

.

Приклад 6. Всі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і поміщені в урну. Після ретельного перемішування з урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться делящимся на 5?

Рішення. Позначимо через A подію "число на взятій картці кратно 5". В даному випробуванні є 30 равновозможних елементарних фіналів, з яких події A сприяють 6 випадків (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже,

.

Приклад 7. Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Рішення. Двозначними числами є числа від 10 до 99; Найбільше таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В даному випадку m = 9, n = 90:

,

де A - подія "число з однаковими цифрами".

Приклад 8. Підкидається два гральних кубика, відзначається число очок на верхній грані кожного кубика. Знайти ймовірність того, що на обох кубиках випало однакове число очок.

Рішення. Позначимо цю подію буквою A. Події A сприяють 6 елементарних фіналів: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всього равновозможних елементарних фіналів, що утворюють повну групу подій, в даному випадку n = 62 = 36 (див. Табл. 1). Значить, шукана ймовірність

.

Приклад 9. підкидає два гральних кубика, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що імовірніше - отримати у сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: A - "випало 7 очок", B - "випало 8 очок". Події A сприяють 6 елементарних фіналів, а події B - 5 випадків (див. Табл. 1, рис. 1). Всіх равновозможних елементарних фіналів - 36, що видно з тієї ж таблиці. Значить:

,.

Отже ,, т. Е. Отримати в сумі 7 очок - більше ймовірне подія, ніж отримати в сумі 8 очок [14, 98].

Завдання 1 [5]. В урні лежать 5 червоних, 12 білих і 9 синіх кульок. Знайти ймовірність того, що: а) виймуть біла куля; б) виймуть червоний куля; в) виймуть синій куля; г) виймуть кольорова куля.

Обговорення. У задачі є 5 + 12 + 9 = 26 равновозможних результатів. Тому ймовірності рівні:

а); б); в).

На разі г) зупинимося докладніше. Напевно, кольоровим кулею можна назвати червоний або синій куля. Вийняти кольорова куля можна одним з 5 + 9 = 14 способів. Таким чином, кольорова куля можна достатьспособамі.

Завдання 2 (подвійне випробування). В урні 3 чорних і 4 білих кулі. Ви виймаєте один з них, кладете назад, перемішуєте і виймаєте інший. Можливо одне з трьох: 1) обидві кулі чорні, 2) обидві кулі білі, 3) кулі різних кольорів. Які ймовірності цих подій?

Обговорення. Умовно чорним кулям дамо номера 1, 2, 3; білим - 4, 5, 6, 7. Пари букв показують колір двох вийнятих куль (ліва літера відноситься до першого виймання, права - до другого). Складемо таблицю.

Oaae. B

 1 (ч) 2 (ч) 3 (год) 4 (б) 5 (б) 6 (б) 7 (б)

 1 (ч) чч чч чч чб чб чб чб

 2 (ч) чч чч чч чб чб чб чб

 3 (ч) чч чч чч чб чб чб чб

 4 (б) БЧ БЧ БЧ бб бб бб бб

 5 (б) БЧ БЧ БЧ бб бб бб бб

 6 (б) БЧ БЧ БЧ бб бб бб бб

 7 (б) БЧ БЧ БЧ бб бб бб бб

Неважко підрахувати, що равновозможних результатів 49. Імовірність появи двох чорних куль дорівнює, двох білих -, куль різних кольорів -.

Завдання 3. Знайдіть імовірності того, що при подвійному випробуванні як в попередній задачі: а) виймуть принаймні одна чорна куля; б) виймуть хоча б один білий кулю; в) першим виймуть чорна куля; г) останнім виймуть біла куля.

Обговорення. Для вирішення скористаємося таблицею з попередньої задачі. Ймовірності рівні: а); б); в); г).

I. 4. Про сенс формули ймовірності події

Ми вивели цю формулу за допомогою деяких тверджень. Чи можна стверджувати, що ми її довели, як доводять теореми? Ні, звичайно. Ми побудували модель реального явища (виймання куль з урни). Модель підтверджується фактами і експериментами. А з математичної точки зору формула є визначення ймовірності. І ця формула пов'язує модель з реальним світом.

Завдання 4. Кинуті незалежно один від одного дві правильні гральні кістки. Знайти ймовірності того, що сума очок на верхніх гранях: а) менше 9; б) більше 7; в) ділиться на 3; г) парні.

Обговорення. При киданні двох кісток є 36 равновозможних результатів, оскільки є 6'6 = 36 пар, в яких кожен елемент - ціле число від 1 до 6. Складемо таблицю (табл. 3), в якій зліва число очок на першому кістки, вгорі - на другий, а на перетині рядка і стовпця варто їх сума.

Oaae. C

 1 2 3 4 5 6

 1 2 3 4 5 6 7

 2 3 4 5 6 7 8

 3 4 5 6 7 8 9

 4 5 6 7 8 9 10

 5 6 7 8 9 10 11

 6 7 8 9 10 11 12

Безпосередній підрахунок показує: ймовірність того, що сума очок на верхніх гранях менше 9, дорівнює; що ця сума більше 7 -; що вона ділиться на 3 :; нарешті, що вона парна ,.

Завдання 5. У старовинній індіанської грі "Тонг" два гравці одночасно показують один одному або один, або два, або три пальці на правій руці. Якщо для кожного гравця равновозможних показати 1, 2 або 3 пальці, то чому дорівнює ймовірність того, що загальне число показаних пальців четно? Непарній? Більше чотирьох? Менше двох?

Обговорення. Складемо таблицю, в якій номер рядка - число пальців, показаних першим гравцем, номер стовпчика - число пальців, показаних другим гравцем, а на перетині рядка і стовпця стоїть загальне число показаних пальців, т. Е. Сума номерів рядка і стовпчика.

Oaae. D

 1 2 3

 1 2 3 4

 2 3 4 5

 3 4 5 6

Усього є 9 равновозможних результатів, відповідних дев'яти елементам таблиці. Загальне число показаних пальців четно в 5 исходах, нечетно - в 4, більше чотирьох - в 3 исходах, менше двох - в жодному. Ймовірності дорівнюють відповідно ,,,.

Завдання 6. Яка ймовірність того, що навмання вибране чотиризначний число складено тільки з непарних цифр?

Обговорення. Всього чотиризначних чисел є 9000: вони йдуть в натуральному ряді від 1000 до 9999. Так як непарних чисел є 5, то на кожному з місць (розряди тисяч, сотень, десятків і одиниць) може стояти кожна з 5 цифр. Всього, таким чином, є 5'5'5'5 = 625 чотиризначних чисел, складених тільки з непарних цифр. Значить, шукана ймовірність дорівнює 625/9000 = 5/72.

Завдання 7. Що імовірніше - виграти у равносильного противника 3 партії з 4 або 5 партій з 8?

Обговорення. Перш за все треба ввести рівноможливими наслідки. Противники рівносильні - це означає, що з великої кількості партій приблизно половина закінчується перемогою першого, а половина - другого. Ми вважаємо, крім того, що результати кількох партій не впливають на результати інших. Ця угода дає нам можливість встановити, що, скажімо, в матчі з чотирьох партій все 2'2'2'2 = 16 можливих послідовностей перемог і поразок мають однакову ймовірність.

Розглянемо як приклад велике число матчів з двох партій. З n матчів приблизно в n / 2 в першій партії переможе перший гравець. Оскільки результат першої партії не впливає на результат другої, то приблизно в половині тих матчів, де перший гравець переміг у першій партії, він програє в другій, всього приблизно в n / 2'1 / 2 = n / 4 матчах. Аналогічно події "переміг в обох партіях перший гравець", "переміг у першій партії другий гравець, а в другій - перший", "в обох партіях переміг другий гравець" будуть мати місце приблизно в n / 4 матчах, т. Е. Імовірності всіх цих подій рівні 1/4.

Надалі в задачах ми будемо стикатися з випадками, коли кілька дослідів проводяться незалежно один від одного. Як у попередньому зразку, можна показати, що ймовірність події "результат першого досвіду є A, а другий - B" дорівнює добутку ймовірностей подій "результат першого досвіду є A" і "результат другого досвіду є B".

Повернемося до задачі. У матчі з чотирьох партій є 16 рівноймовірно результатів - послідовностей перемог і поразок першого гравця. Події "перший гравець переміг в 3 партіях" сприятливі 4 результату, оскільки єдина поразка може стояти на одному з чотирьох місць. Значить, ймовірність виграти 3 партії з 4-х у равносильного противника дорівнює 1/4.

У матчі з 8 партій є 28 = 256 равновозможних результатів - послідовностей перемог і поразок першого гравця. У скількох з них рівно 5 перемог? Іншими словами, скільки існує підмножин з 5 елементів у множині з 8 елементів? Комбінаторика підказує нам, що це є число поєднань з 8 елементів по 5 елементів, яке підраховується за формулою :. Таким чином,

.

Значить ймовірність виграти 5 партій з 8 у равносильного противника дорівнює 56/256 = 7/32, що менше 1/4 = 8/32 - ймовірності виграти три партії з чотирьох.

Завдання 8. Нехай ви забули одну цифру потрібного вам номера телефону та набираєте її навмання. Яка ймовірність того, що вам доведеться зробити не більше двох дзвінків?

Обговорення. Ймовірність того, що перший же раз ви наберете правильний номер дорівнює 1/10, оскільки цифр всього десять; всі десять результатів - набір 1, набір 2 і т. д. - рівноможливі, а сприятливим є тільки один з них. Якщо перший раз забута цифра була набрана неправильно, то при другому дзвінку ви будете набирати одну з дев'яти останніх цифр, і ймовірність успіху буде дорівнює 1/9. Рівно два дзвінка будуть зроблені з імовірністю 9 / 10'1 / 9 = 1/10. Ймовірність того, що доведеться зробити не більше двох дзвінків, дорівнює 1/10 + 1/10 = 0,2.

Завдання 9. Кидають три гральні кубики. Що імовірніше: сума очок на верхніх гранях дорівнює 11 або ця сума дорівнює 12? Які ймовірності цих подій? [6]

Обговорення. Насамперед знайдемо, скількома способами можна представити 11 і 12 у вигляді суми трьох натуральних доданків, кожне з яких не перевищує 6. Будемо виписувати суми в порядку зростання доданків. Почнемо з 11. Якщо найменше доданок - 1, то 11 = 1 + 4 + 6 або 11 = 1 + 5 + 5. Якщо 2, то 11 = 2 + 3 + 6 або 11 = 2 + 4 + 5. Якщо 3, то 11 = 3 + 4 + 4 або 11 = 3 + 3 + 5. Цими випадками (6) вичерпуються всі подання 11 у вигляді суми трьох чисел, нанесених на грані кубиків. Число 12 можна представити шістьма способами: 12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4. Шевелье де Мері уклав звідси , що 12 в якості суми буде зустрічатися настільки ж часто, як і 11. Однак результати багатьох ігор показали, що, всупереч розрахункам де Мері, 11 зустрічається частіше. Саме тоді Мері засумнівався в теорії ймовірностей і звернувся до Паскалю за роз'ясненнями. Паскаль вирішив задачу. Виявилося, що теорія ймовірностей вірна, а міркування де Мері помилкові. Шевальє не врахував, що. скажімо, 4 + 4 + 4 може випасти одним способом: на всіх трьох кубиках 4, а 1 + 4 + 6 - багатьма: на першому - 1, на другому - 4, на третьому - 6 або на першому - 6, на другому - 4, на третьому - 1 і т. д.

Знайдемо ймовірності того, що сума очок на верхніх гранях дорівнює 11, і того, що ця сума дорівнює 12. При киданні трьох кубиків мається 6'6'6 = 216 равновозможних результатів. Подія "сума очок дорівнює 11" може здійснитися одним з шести способів: "випали числа 1, 4, 6", "випали числа 1, 5, 5" і т. Д. Порахуємо, скільки для кожного з цих способів є сприятливих результатів. Події "випали 1, 4, 6" відповідають 6 результатів, які можна записати так: 146 (на першому кубику на верхній грані 1, на другому - 4, на третьому - 6), 164, 416, 461, 614, 641. Точно так само 6 випадків сприятливі для будь-якого способу представлення суми у вигляді трьох різних доданків. Події "випали 1, 5, 5" відповідає три результати: 155, 551, 515. Всього для події "сума очок дорівнює 11" сприятливі 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 випадків. А події "сума очок дорівнює 12" сприятливі 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 фіналів, оскільки поданням 4 + 4 + 4 відповідає тільки один результат - 444. Отже, ймовірність того, що сума очок дорівнює 11, є 27/216 = 1/8, а ймовірність того, що ця сума дорівнює 12, є 25/216 = 1/8 - 1/108 <1/8. Вирішення цього завдання показує, як важливо правильно виділити рівноможливими наслідки.

Завдання 10. У шаховому турнірі беруть участь 8 гравців. Номери шести гравців розподіляються за жеребом. Номер визначає положення гравця в турнірних сходах. Припустимо, що кращий гравець завжди перемагає друга за майстерністю, а той у свою чергу перемагає всіх інших. Друге місце займає програв у фіналі. Яка ймовірність того, займе друге за майстерністю гравець?

?en. B

Обговорення. Другий за майстерністю гравець займає друге місце тоді і тільки тоді, коли він знаходиться в тій половині турнірної сходи (верхньої або нижньої), в якій немає першого по майстерності гравця, оскільки в іншому випадку другий програє перший раніше фіналу. Оскільки є 7 ступенів турнірній сходи (крім ступені, зайнятої першим за майстерністю гравцем), які може займати другий за майстерністю гравець, всі ці результати рівноможливі, а 4 з них є сприятливими для виходу у фінал, то шукана ймовірність дорівнює 4/7.

Завдання 11. Король Артур проводить лицарський турнір, в якому порядок змагання визначається жеребом (по турнірних сходах). Серед восьми лицарів, однаково майстерних у ратній справі, два близнюки. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться в поєдинку?

Обговорення. Позначимо близнюків A і B. Якщо A і B входять в одну пару в турнірних сходах, що відбувається з імовірністю 1/7 (для B рівноможливі 7 місць, не зайнятих A), то близнюки свідомо зустрічаються в першому ж турі. Ймовірність того, що B знаходиться в сусідній парі, дорівнює 2/7. У цьому випадку близнюки зустрічаються у другому турі) тільки тоді, коли вони обидва виграють поєдинки першого туру, що відбувається з імовірністю 1/4. Значить, ймовірність події "близнюки зустрічаються у другому турі" дорівнює 2 / 7'1 / 4 = 1/14. Нарешті, ймовірність того, що B знаходиться в іншій половині турнірної сходи, дорівнює 4/7, і в цьому випадку ймовірність зустрічі дорівнює 1 / 4'1 / 4 = 1/16, оскільки обидва повинні перемогти в обох турах; ймовірність події "близнюки зустрічаються у фіналі" є 4 / 7'1 / 16 = 1/28. Всі можливості перераховані, ймовірність зустрічі в одному з турів є сума ймовірностей зустрічей в першому, другому турах і фіналі, т. Е. 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1/4.

Завдання 12. Завдання про розподіл ставки (друге завдання Шевальє де Мері, запропонована Паскалю). Підкидається монета. Перший гравець "набирає" герби, а другий - решки. Той, хто першим набере три одиниці, забирає ставку. Гра була перервана, коли у першого гравця було два герба, а у другого - одна решка. Ставка повинна бути розділена пропорційно шансам на виграш. Як її розділити?

Обговорення. Корисно ввести досвід, що складається у двократному киданні монети. З чотирьох равновозможних результатів ГР (при першому киданні випав герб, при другому - решка), ГГ, РГ, РР, в перших трьох перемога належить першому гравцеві (в перших двох випадках в самій грі монету вдруге не кидають), у четвертому - друга . Шанси гравців на виграш відносяться як 3 до 1. У цьому відношенні і треба розділити ставку.

Глава II. Елементи теорії ймовірностей і статистики на уроках математики в початковій школі (методика роботи)

Перший крок на шляху ознайомлення молодших школярів із світом ймовірності полягає в тривалому експериментуванні. Експеримент повторюють багато разів при одних і тих же умовах, а дітям пропонують вказати результат. Потім умови експерименту змінюють.

Наведемо приклади ігор і завдань, які можна використовувати при знайомстві молодших школярів з основними поняттями теорії ймовірностей [2, 56; 14, 98].

1. Експеримент, що допомагає підвести молодших школярів до понять: неможлива подія, достовірна подія, а щодо випадкових подій - встановити градації: більш ймовірне подія, менш ймовірне подія.

Обладнання: мішок і 9 куль - 3 червоних, 3 білих і 3 зелених.

Опис експерименту. Учитель звертається до хлопців:

- Ви, звичайно, знаєте, що Буратіно дуже любить лялькові вистави, але у нього часто не буває грошей, щоб потрапити в театр. Одного разу продавець квитків погодився дати Буратіно квиток, якщо він вірно відповість на питання: "У мішку є 3 червоних, 3 білих і 3 зелених кулі. Скільки куль потрібно вийняти з мішка, щоб напевно мати кулі трьох кольорів?" Допоможіть Буратіно дати правильну відповідь.

Діти будуть пропонувати різні значення, але їм необхідно обґрунтувати свій вибір, проводячи експерименти. В результаті вони повинні прийти до наступних висновків:

- Якщо вийняти 7, 8, 9 куль, напевно будуть кулі трьох кольорів;

- Якщо вийняти 3, 4, 5 або 6 куль, то можливо, але не обов'язково будуть кулі трьох кольорів;

- Якщо вийняти 1 або 2 кулі, то неможливо отримати кулі трьох кольорів.

Доцільно дослідити, в якому з випадків є найбільша можливість отримати кулі трьох кольорів - якщо витягнути 3, або 4, або 5, або 6 куль. Можна ввести і терміни більш імовірно, менш імовірно.

2. Досліди з п'ятьма монетами. За допомогою цих експериментів можна навчити дитину навичці виводити закономірності при проведенні дослідів.

Обладнання: 5 однакових монет.

Опис експерименту. Учитель розповідає дітям таку історію:

- Коли Буратіно отримав від Карабаса-Барабаса 5 золотих монет, він підкинув кожну монету, щоб упевнитися, чи не сон це, і чи не зникнуть золоті. Буратіно бачив, що кожна монета лягала одним з можливих способів: цифрою вгору або гербом вгору. Потім він підкинув всі 5 монет відразу і підрахував, що 2 монети лягли цифрою вгору, а 3 гербом. Буратіно задумався: які випадки ще можуть вийти? Давайте допоможемо Буратіно.

У цьому й полягає завдання: зазначити, які випадки можливі при киданні п'яти монет. Занести дані в таблицю і заповнити її, написавши своє припущення про кількість появи кожного випадку. Порівняти отримане число з результатами експерименту, проведеного 20, 40, 60, 80 і 100 разів.

Oaae. E

 При киданні Кількість експериментів № п'яти монет 20 40 60 80 100 вих випало: Скільки разів даний результат цифрою гербом предпол реаліз предпол реаліз предпол реаліз предпол реаліз предпол реаліз

 1 травня: 0

 2 квітня: 1

 3 березня: 2

 2 квітня: 3

 1 травня: 4

 6 0: 5

Можна сказати, що кожен з даних випадків називають подією, і з'ясувати, яка подія більш можливо, менш можливо, чи є серед даних подій рівноможливими. Після проведення експерименту 20 разів і занесення даних в таблицю, слід очікувати більш точного збігу передбачуваного й експериментально отриманого чисел появи кожного з випадків у серії з 40 експериментів і т. Д.

3. Експеримент, який можна використовувати при знайомстві з поняттями: рівноможливими події, більш ймовірне подія, менш ймовірне подія.

Обладнання: два білих і одна чорна куля.

Опис експерименту. В ящик або мішок кладуть два білих і одна чорна куля. Потрібно витягнути послідовно один за іншим 2 кулі. Учитель запитує дітей: "Яким може бути результат такого досвіду?"

Виявляється, що може бути 3 випадки:

За допомогою експерименту необхідно з'ясувати, який з цих випадків більш можливий, менш можливий або, може бути, серед них є рівноможливими випадки. Потім отримані експериментальні висновки необхідно обгрунтувати, розглянувши всі можливі комбінації вибору двох куль з наявних трьох, які можна умовно позначити Ч, Б1, Б2.

4. Гра "Яка сума?" Ця гра допоможе підвести дітей до поняття ймовірності з точки зору класичного визначення.

Намалюємо великий прямокутник, 14Ч11 клітин. Між 14 дітьми розподілимо 14 жетонів, пронумерованих від 1 до 14. Діти ставлять свої будиночки на лінію старту на клітку з відповідним номером. Кидаємо дві великі гральні кістки. Після кожного підкидання кісток дитина, номер якого дорівнює сумі очок на випавших гранях просувається на одну клітку до фінішу. Виграє той, хто першим досягне фінішу.

Дуже скоро діти здогадуються, що деякі з них знаходяться в більш сприятливих умовах, ніж інші, і що учасники, які отримали номери 1, 13, 14 не мають жодного шансу просунутися вперед (маючи дві кістки, неможливо в сумі отримати 1 або число, більше 12 ). Тоді діти вирішують, що в наступній партії ці числа треба викинути. Можна зіграти кілька партій. Діти хочуть отримати номер 5, 6, 7, 8, 9, але ніхто не хоче взяти 2, 3, 4, 10, 11 або 12. Розумно спробувати обґрунтувати, чому так відбувається, попросивши дітей відповісти на питання, скількома способами можна отримати 2 , 3, 4, ..., 12 очок при киданні двох гральних кісток.

5. Гра "Скільки опиниться на своєму місці?" Ця гра допомагає на інтуїтивному рівні підвести дітей до поняття відносної частоти.

Треба вирізати з картону 5 однакових карток, написавши на них цифри від 1 до 5, потім перетасувати їх і викласти на стіл в тій послідовності, в якій вони опинилися після перетасування, наприклад, у такій:

При цьому тільки одна цифра - 5 - відповідає номеру місця, на якому вона лежить.

Далі можна сформулювати серію питань, на які діти повинні відповісти на підставі даних, отриманих в ході експериментів. Такими питаннями можуть бути:

1) Як ви думаєте, наскільки рідкісним є результат

2) Чи буде ще більш рідкісний випадок, коли жодна картка не опиниться на своєму місці?

3) Чи буде випадок, коли всі картки лежать на своєму місці?

4) Що можна сказати про частоту результату, коли дві (три, чотири) цифри виявляться на своєму місці?

Експерименти можна вести в наступному напрямку: провести досліди 10 разів; результати занести в таблицю і обчислити значення відносної частоти з кожного питання при n = 10.

 Питання Кількість разів

 Відносна

 частота

 з 10 з 20 з ... з 100

 1 Скільки разів був результат 3,1,4,2,5?

 2 Скільки разів був випадок, коли жодна картка не опинилася на своєму місці?

 3 Скільки разів всі картки виявилися на своєму місці?

 4 Скільки разів дві картки виявилася на своєму місці?

 5 Скільки разів три картки виявилася на своєму місці?

 6 Скільки разів чотири картки виявилася на своєму місці?

Потім повторити досвід ще 10 разів. Насправді ми маємо вже 20 дослідів, які знову заносимо в таблицю і обчислюємо відносну частоту при n = 20. Проробивши досвід, наприклад, 100 разів, можна визначити наближене значення ймовірності для кожного результату.

А як визначити ймовірність на безлічі елементарних подій? Далі можна навести формулу класичної ймовірності (вище ми її пропонували).

Елементарним, як це видно із самої назви, є найпростіше подія, яку не можна розкласти на інші події.

Наприклад, випадання на кубику парного числа - подія не елементарне. Воно розкладається на три події: випала двійка, випала четвірка, випала шістка. А ось випадання кожного числа якраз і є елементарна подія. При киданні кубика отримуємо безліч з 6-ти елементарних подій. Події "випадіння парного числа" відповідає підмножина з елементів 2, 4, 6 (міра цієї підмножини M = 3). Події "випадіння числа більше двох" відповідає підмножина з чотирьох елементів.

Позначимо безліч елементарних подій грецькою буквою (омега). Тоді можемо записати:

.

Приклад. Нехай подія A - випадіння на кубику парного числа; M (A) = 3. Тут-безліч всіх можливих випадань; M () = 6. Значить ,.

Приклад. Візьмемо мішок з 10 кульками (4 червоних, 3 жовтих, 3 синіх). Ти навмання виймаєш з мішка кульку. Безліч елементарних подій складається з 10-ти елементів; кожен елемент - виймання однієї кульки (M () = 10). Безліч елементарних подій розбите тут на три підмножини: червоне (M (K) = 4), жовте (M (Ж) = 3), синє (M (С) = 3). Ймовірність витягнути з закритими очима синя кулька визначається за формулою:

.

Аналогічно без праці перебувають ймовірності P (K) і P (Ж).

Приклад. Візьмемо колоду гральних карт. Елементарна подія - витягування карти з колоди. Всього карт 36 :. Зобразимо безліч вигляді таблиці:

Oaae. F

 6 7 8 9 10 У К Д Т

?

?

?

?

Вкажи заходи наступних підмножин:

- Усіх пікових карт;

- Всіх дам;

- Всіх карт з картинками (валети, королі, пані).

Знаючи міри зазначених підмножин, визнач ймовірності витягнути пікову карту, витягнути даму, витягнути картинку.

Мабуть, для множин з кінцевим числом елементів, де міра - число елементів, все ясно.

Можна було вести мову і про незчисленних множин, але нам здається, що в початковій школі достатньо і цього матеріалу [9, 146; 13, 236-242].

Глава III. Аналіз експерименту

Як сприймають школярі найпростіші (або більш складні) завдання, спрямовані на активізацію різних розумових операцій? Чи можливо навчити учнів початкових класів розв'язувати задачі та проводити експерименти з теорії ймовірностей? Розвиваються при цьому розумові здібності?

Щоб відповісти на ці питання, нами був проведений в гімназії № 1 м Слонима. В експерименті брали участь учні третіх класів. Експеримент складався з трьох частин.

Констатуючий. Були запропоновані прості завдання для перевірки сприйняття школярами імовірнісних задач.

Методичний (навчальний). Пропонувалася система завдань з використанням елементів теорії ймовірностей і статистики, які вони виконували під керівництвом учителя, а також були дані початкові уявлення про теорію ймовірностей.

Контрольний. У цій частині учні розв'язували задачі, схожі на завдання з констатуючого експерименту, але більш складного рівня для остаточної оцінки вміння вирішувати логічні завдання з елементами теорії ймовірностей.

III.1. Констатуючий експеримент

Запропоновані наступні завдання.

1. Є 5 зрілих і 4 незрілих кавуна. Скільки кавунів треба купити, щоб серед них був хоча б один зрілий?

2. Є три ключі від трьох замків. Вони перемішалися. Скільки проб достатньо, щоб підібрати ключі до замків?

3. В акваріумі 6 золотих рибок і 2 незолоту рибки. Навмання дістали 3 рибки. Які рибки могли дістати?

4. У мішечку 3 червоних і 3 жовтих кульки. Скільки треба вийняти навмання, не дивлячись у мішечок, кульок, щоб бути впевненим у тому, що:

а) хоча б один з вийнятих кульок буде червоним;

б) дві кульки будуть різного кольору;

в) не буде жодного червоного кульки.

5. У мішечку 10 однакових за розмірами і вагою куль, з яких 4 червоних і 6 блакитних. З урни витягується 1 кулю. Яка ймовірність (шанс) того, що витягнутий куля виявиться блакитним? Скільки потрібно зробити спроб, щоб дістати 1 блакитний куля?

Мета констатуючого експерименту: перевірити, як учні III класу будуть сприймати і вирішувати ці завдання, т. Е. Вивчити початковий рівень знань, умінь, навичок.

Висновок. Результат експерименту, що констатує висвітлений у таблиці.

 № Ф. І. 1 2 3 4 5 Всього вирішено

 1 Ахремко Ксенія + + + - - 2

 2 Беленко Юлія + + + + - 4

 3 Гедіч Вадим + - - - - 1

 4 Грабунь Максим + + + + - 4

 5 Іванов Роман + - + - - 2

 6 Кисельов Кирило + - - - - 1

 7 Куровська Ольга - + + - - 2

 8 Матеюк Андрій + - - - - 1

 9 Окунь Євген + + - - - 2

 10 Панфілов Єгор - + - - - 1

 11 Сидорик Анастасія + + + + - 4

 12 сочиться Анастасія + + + - - 2

 13 Тимохін Артем + + - - - 2

 14 Филипчик Віталій + - + - - 2

 15 чищення Ірина + - + - - 2

 Разом 13 9 8 3 0 33

В експерименті брало участь 15 чоловік. Нету жодного учня, який вирішив всі завдання. Основний успіх досягнутий при вирішенні завдань №№ 1-3. Отже, як бачимо, результат невисокий.

Причини низьких результатів:

1. Подібні завдання рідко зустрічалися в практиці учнів.

2. Запропоновані завдання найчастіше вирішуються нетрадиційними методами.

3. Учні не знайомі з елементами теорії ймовірностей.

III.2. Методичний (навчальний) експеримент

Мета експерименту: познайомити учнів з елементами теорії ймовірностей, логічним процесами, прийомами вирішення завдань, з проведенням експерименту, обчисленням ймовірності за формулою. Пропонувалися такі завдання.

1. У ящику є 3 чорних і 5 білих куль. Яку найменшу кількість куль треба взяти з ящика (не заглядаючи в нього) щоб серед вийнятих куль виявився: а) хоча б один чорний; б) хоча б один білий?

2. У ящику є 12 однакових куль, що відрізняються тільки кольором: 6 червоних, 3 білих, 2 зелених і 1 чорний. Яку найменшу кількість куль треба взяти з ящика навмання, щоб серед вийнятих куль було не менше двох куль одного кольору?

Рішення. Будемо міркувати таким чином: вийнявши одну кулю, виймаємо наступний. Він може виявитися того ж кольору, що і перший. Але можливо, що друга куля іншого кольору, третя куля відрізняється за кольором від двох перших і т. Д. Найгірший варіант: 4 перших кулі виявилися різних кольорів. Тоді п'ятий куля складе одноколірну пару з одним з раніше вийнятих.

Відповідь: 5 куль [7].

У методичному експерименті учнів познайомилися з поняттями теорії ймовірностей, прийомами обчислень за формулою, вчилися проводити досліди. Наведемо кілька з них.

1. Досліди з п'ятьма монетами, які Буратіно отримав від Карабаса-Барабаса [8].

Велася таблиця, куди заносилися припущення дітей про результат дослідів і дані дослідів. Досвід проводився понад 100 разів.

Учні навчилися проводити експеримент і заносити дані в таблицю, робити висновок.

2. Експеримент з двома білими і одним чорною кулею, де потрібно було з'ясувати, який може бути результат досвіду, якщо витягувати один за іншим 2 кулі. Результати дослідів замальовували.

Після знайомства дітей з формулою, за якою обчислюється ймовірність, були запропоновані завдання таких типів:

1. В урні 10 однакових куль, з яких 4 червоних і 6 блакитних. З урни витягується 1 кулю. Яка ймовірність того, що витягнутий куля виявиться блакитним?

Рішення. Подія "витягнутий кулю виявиться блакитним" позначимо літерою A. Дане випробування має 10 равновозможних елементарних фіналів, з яких 6 сприяють події A. Відповідно до формули отримуємо:

.

2. В урні 3 чорних і 4 білих кулі. Ви виймаєте один з них, кладете назад, перемішуєте і виймаєте інший. Можливий один з трьох фіналів: або обидві кулі чорні, або обидва білі, або вони різних кольорів. Які ймовірності цих подій?

Під час експерименту діти вчилися застосовувати формулу, придумували і свої аналогічні завдання.

III.3. Контрольний експеримент

Мета: 1. Остаточно перевірити, чи доступні початкові логічні поняття, елементи теорії ймовірностей, методика вирішення завдань на знаходження ймовірності якої-небудь події учням початкових класів. 2. Перевірити вміння вирішувати імовірнісні задачі після отримання деяких теоретичних і практичних знань і умінь.

Були запропоновані завдання:

1. У пакеті є цукерки трьох сортів, які не помітні на дотик. Яке найменше число цукерок треба взяти навмання з пакету, щоб серед вийнятих були хоча б 2 цукерки одного сорту?

2. Ключі від чотирьох валіз перемішалися. Потрібно визначити, від якого валізи який ключ. Скільки для цього треба зробити спроб?

3. У мішечку 3 червоних і 3 жовтих кульки. Скільки треба вийняти навмання, не дивлячись у мішечок, кульок, щоб бути впевненим у тому, що:

а) буде 2 жовтих кульки;

б) 3 кульки будуть різного кольору.

4. У мішечку 3 чорних і 4 білих кулі. Ви виймаєте один з них, кладете назад, перемішуєте і виймаєте інший. Знайти ймовірність того, що виймуть чорна куля (3/7), виймуть біла куля (4/7).

5. Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові? (9/90)

Висновок. Результат контрольного експерименту висвітлений у таблиці.

 № Ф. І. 1 2 3 4 5 Всього вирішено

 1 Ахремко Ксенія + + + + + 5

 2 Беленко Юлія + + + + + 5

 3 Гедіч Вадим + + - - - 2

 4 Грабунь Максим + + + + + 5

 5 Іванов Роман + + + + + 5

 6 Кисельов Кирило + + - - - 2

 7 Куровська Ольга + + + - - 3

 8 Матеюк Андрій + - - - - 1

 9 Окунь Євген + + + + - 4

 10 Панфілов Єгор + + - - - 2

 11 Сидорик Анастасія + + + + + 5

 12 сочиться Анастасія + + + + + 5

 13 Тимохін Артем + + + + + 5

 14 Филипчик Віталій + + + + - 4

 15 чищення Ірина + + - - - 2

 Разом 13 9 8 3 0 55

Правильно вирішених завдань - 55. Найбільша кількість рішень досягнуто в задачах №№ 1, 2, 3. На цей раз вирішили всі завдання 7 осіб. Як бачимо, учні 3-го класу після отримання деяких знань і умінь впоралися із завданнями набагато краще, ніж в констатирующем експерименті. Деякі учні вирішили завдання на знаходження ймовірності події.

Отже, результати експерименту підтверджують гіпотезу про те, що розумові здібності можна розвивати. Багато імовірнісні задачі доступні учням початкової школи. Цьому безумовно сприяє система спеціальних завдань і вправ, які, як нам здається, треба в більшій кількості вводити в підручники з математики для початкової школи.

Висновок

Ми спробували показати, наскільки різноманітний і цікавий світ задач і вправ, як важливо, починаючи з початкової школи, розвивати логіку дитини, її розумові здібності, вводячи навіть таке складне поняття як теорія ймовірностей.

Деякі види завдань, прийнятні для початкової школи, розглядалися нами більш детально, більш ретельно розкривалася методика роботи з ними. Багато задач недоступні дітям молодшого шкільного віку, хоча окремі елементи їх в пропедевтическом плані можна пропонувати на уроках математики і заняттях за інтересами.

На підставі вивченої літератури і результатів експерименту ми прийшли до висновків:

1. У нині діючих підручниках з математики (за ред. А. А. Столяра) розглянуті вище завдання присутні, але в малій кількості і епізодично.

2. Оскільки багато завдань з елементами теорії ймовірностей і статистики доступні дітям молодшого шкільного віку, цікаві їм і тісно пов'язані з програмою з математики, то їх необхідно включати в підручники. Вони привертають хлопців і роблять уроки різноманітними і цікавими.

3. Необхідно більш ретельно розробити методику роботи завдань з елементами теорії ймовірностей і статистики.

4. Система вище розглянутих завдань і вправ дозволяє активізувати мислення дітей.

5. Використання різноманітних завдань з елементами теорії ймовірностей і статистики в курсі математики початкової школи дозволяє:

розвивати:

- Логічне і взагалі математичне мислення;

- Здатності до вирішення нестандартних завдань;

- Інтерес до математики як науці;

уточнювати математичні поняття; знайомитися з новими поняттями, створюючи хорошу базу знань для навчання в середньому і старшому ланці школи;

розширювати:

- Коло вправ в курсі математики початкової школи;

- Коло інтересів молодших школярів.

Таким чином, наша гіпотеза в цілому підтверджується: завдання з використанням елементів теорії ймовірностей і статистики можна і потрібно вводити в курс математики початкової школи в бульших кількостях. Це дітям доступно і цікаво.

Даючи учням інструмент - вміння логічно мислити, проводити експерименти, робити висновки, - що дозволяє більш впевнено почувати себе в проблемних ситуаціях, в тому числі і життєвих, - чи не це і є гуманізація освіти? Список літератури

1. Аргинская І. І. Навчаємо по системі Занкова. М., 1991.

2. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Перші теми теорії ймовірностей. Навчально-методичний посібник. Мн., 1978.

3. Бичкова Л. О., Сенютін В. Д. Про вивчення ймовірності і статистики в школі // Математика в школі. 1991. № 6. С. 9-12.

4. Горський Д. П. Короткий словник по логіці. М., 1991.

5. Гусєв В. А., Орлов А. І., Розенталь А. Л. Позакласна робота з математики в 6-8 класах. М., 1995.

6. Каменкова Н. Г. Елементи теорії ймовірностей: Навчальний посібник. СПб, 1993.

7. Програми 12-річної загальноосвітньої школи з рос. яз. навчання. Підготовчий - III кл. Мн., 1999.

8. Столяр А. А. Основи сучасної шкільної математики. Ч. 1. Мн., 1975.

9. Тарасов Л. В. Невипадкова випадковість. Ч. I. / Експериментальний підручник розвиваючого типу по интегративному предмету "Закономірності навколишнього світу" (VI клас). М., 1993.

10. Тихомирова А. Ф., Басов А. В. Розвиток логічного мислення дітей. Яр., 1997.

11. Фройденталь Г. Математика як педагогічна завдання. Ч. II. М., 1983.

12. Ельконін Д. Б. Дитяча психологія. М., 1960.

13. Юркевич А. В., Шербаф А. І., Жавнерко В. В. Про один спосіб викладу теорії ймовірностей в школі // Нові технології в системі безперервної освіти. Т. 2. Мн., 1995.

14. Юркевич А. В., Шербаф А. І. Теорія ймовірностей у задачах. Навчальний посібник. Мн., 1994.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка