Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Дослідження методів розв'язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею - Математика

Зміст

1. Введення

2. Постановка задачі3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР 4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера 5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

6. Побудова загального рішення матричним методом

7. Завдання Коші для матричного метода8. Рішення неоднорідної системи

ГрафікіЗаключеніе

1. Введення

Розглянемо систему лінійних рівнянь першого порядку, записану в нормальній формі:

(1)

де коефіцієнти аij, i = 1,2, ... .., n, к = 1,2, ..., n, є постійними величинами;

yi = yi (t), i = 1,2, ..., n - невідомі функції змінної t.

Якщо все bi (t) (i = 1,2, ..., n) покласти рівним нулю (bi (t) = 0), то вийде однорідна система, відповідна неоднорідною системі (1).

Позначаючи матрицю системи через А (х), а векторчерезтогда систему (1) можемо переписати в матричній формі

(1а)

Якщо, то одержуємо відповідну систему однорідних рівнянь

. (2)

Всяка сукупність n функцій

визначених і безперервно диференційовних в інтервалі (a; b), називається рішенням системи (1) в цьому інтервалі, якщо вона звертає всі рівняння системи (1) в тотожності:

справедливі при всіх значеннях x з інтервалу (a, b). Загальне рішення неоднорідної системи являє собою суму загального рішення відповідної однорідної системи і приватного рішення неоднорідної.

2. Постановка завдання

Мета роботи: дослідження методів розв'язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею:

;; Завдання

1. Знайти власні числа і побудувати фундаментальну систему рішень (ФСР).

2. Побудувати фундаментальну матрицю методом Ейлера.

3. Знайти наближене рішення у вигляді матричного ряду.

4. Побудувати загальне рішення матричним методом. Досліджувати залежність жорданова форми матриці А від її власних чисел.

5. Вирішити задачу Коші.

Початкові умови:

Вектор початкових умов: [1, 2, 3, 4]

t = 0

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

Однорідної лінійної системою диференціальних рівнянь називається система рівнянь виду:

(3)

Якщо в матриці сістемивсе = const, то дана система називається системою з постійними коефіцієнтами або з постійною матрицею.

Фундаментальною системою рішень однорідної лінійної системи рівнянь називається базис лінійного простору рішень a, тобто n лінійно незалежних рішень цієї системи.

Для побудови фундаментальної системи рішень диференціального рівняння необхідно знайти власні числа характеристичного полінома, оскільки залежно від їх виду (характеристичні числа можуть бути дійсними різними, кратними, комплексними) будується фундаментальна система рішень.

Для того щоб ця система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими мала нетривіальне рішення, необхідно і достатньо, щоб визначник системи (вронскиан) дорівнював нулю:

(4)

З цього рівняння ступеня n визначається значення k, при яких система має нетривіальні рішення. Рівняння (4) називається характеристичним.

Запишемо характеристичний поліном, для цього скористаємося функцією CHARPOLY

Для знаходження власних чисел скористаємося функцією SOLVE (U, l), яка повертає характеристичні числа матриці А в вектор l. Отримаємо:

Вийшло два дійсно корняі два комплексно-сполучених кореня. Отже, вектора, що утворюють фундаментальну матрицю, для даного типу коренів будуть перебувати окремо дляі окремо для. Запишемо ФСР для даних для отриманих характеристичних чисел:

Матрицю y (x), стовпцями якої є рішення, що утворюють фундаментальну систему, називають фундаментальною матрицею.

І спільне рішення системи буде виглядати наступним чином:

Знайдемо рішення даної системи за допомогою методу Ейлера. 4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

Метод Ейлера полягає в наступному.

Рішення системи (1) знаходиться у вигляді:

(5)

Функція (5) є рішенням системи (1), якщо- власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, відповідної числу. Якщо власні значенія1,2, ..., nматріци А попарно різні і a1, a2, ..., anсоответствующіе власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:

де С1, С2, ..., Сn- довільні числа.

Для випадку кратних коренів рішення системи приймає вигляд

(6)

де Pi (x) -поліноми ступеня не вище, ніж (к-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а що залишилися до · nk виражаються через них. Для відшукання коефіцієнтів поліномів підставами рішення (6) у вихідну систему рівнянь, прирівняємо коефіцієнти при однакових функціях. Вирішимо систему по відношенню до (k · nk) коефіцієнтів. Отримаємо вираз всіх коефіцієнтів через вільні.

Якщо для кратного власного значеніяматріци А є стільки лінійно незалежних власних векторів, яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:

Якщо для власного значеніякратності k є тільки m (mЩоб знайти вектори, треба підставити вираз (4) в систему (3). Прирівнявши коефіцієнти подібних членів в лівій і правій частинах системи, одержимо рівняння для знаходження векторів.

Для даного завдання були знайдені наступні власні значення:

.

Побудували фундаментальну систему рішень:

Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа. Запишемо третій рядок рішень у загальному вигляді:

Де аij знайдемо за виразом:

або

Отримана матриця:

Вирішуємо систему:

Отримані коріння:

Довизначити

Тоді перший рядок буде мати вигляд:

Аналогічно знайдемо другий рядок фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа -1. Отримані значення:

Тоді другий рядок буде мати вигляд:

Знайдемо третю і четверту рядки фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа. Пов'язаний кореньне породжує нових речових лінійно незалежних приватних рішень.

Отримані значення:

Відокремлюючи в ньому речові і уявні частини, отримаємо два речових рішення, які і складають першу і другу рядки фундаментальної матриці рішень

Аналогічно інші 3:

Запишемо знайдену фундаментальну матрицю рішень:

Помножимо транспоновану фундаментальну матрицю рішень на вектор вільних коеффіціентові отримаємо вектор загального рішення вихідної системи:

Зробимо перевірку знайденого рішення наступним чином:

Отримуємо нульову матрицю-стовпець:

що показує, що загальне рішення знайдено вірно. 5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

Дамо визначення матричному ряду і експоненційної функції матриці.

Матричні ряди. Розглянемо нескінченну послідовність матриць ,,. Будемо говорити, що послідовність матриць сходиться до матриці А:

,

есліпрі. З визначення норми випливає, що збіжність матриць еквівалентна поелементної збіжності. Матричним поруч називається символ, причому кажуть, що цей ряд сходиться до суми, якщо до f сходиться послідовність часткових сум Sk, де

.

Нехай, тоді можна визначити ступінь матриці А звичайним чином:

(K разів).

Розглянемо ряд, званий статечним:

,,,

де за визначенням покладемо A0 = En.

Експоненціальна функція матриці. Як приклад розглянемо статечної ряд, рівний:

.

Так як радіус збіжності відповідного числового ряду

Дорівнює нескінченності, то ряд сходиться при всіх А. Сума ряду називається експоненціальною функцією (експонентою) і позначається через ЕА, якщо ехр {А}.

Наближено вектор рішень можна знайти як добуток матричного ряду:

і вектора початкових умов y0 = [y1, y2, ... ..yk].

Формула є матричної завданням Коші в наближеному вигляді.

Експонентойматріци А називається сума ряду

де Е - одинична матриця.

Матріцаявляется рішенням матричної задачі Коші:

тобто є фундаментальною матрицею системи.

Знайдемо розкладання матричного ряду послідовно по семи, восьми і десяти перших членам.

для отримання розкладання по 7 перших членам (аналогічно по 8,10 і 10). Результатом буде матриця 4 * 4. Отримані матриці множимо на вектор початкових умов S = [1,2,3,4] і отримуємо наближене рішення у вигляді матричного ряду.

При збільшенні членів розкладання ряду вектор наближених рішень буде прагнути до вектора точних рішень. Цей факт можна спостерігати, графічно порівнюючи зображення точного і наближеного рішень (див. Додаток).

Помножимо на відповідний вектор початкових умов і отримаємо наближене рішення у вигляді матричного ряду, запишемо отримане рішення для n = 7.

[S1 ? 1, s2 ? 2, s3 ? 3, s4 ? 4]

6. Побудова загального рішення матричним методом

Матричний метод розв'язання системи рівнянь (1) заснований на безпосередньому знаходженні фундаментальної матриці цієї системи.

Експонентою eAматріци А називається сума ряду

де Е - одинична матриця.

Властивість матричної експоненти:

а) якщо АВ = ВА, то ЕА + В = ЕА * еВ = еВ * ЕА;

б) якщо А = S-1 * B * S, то ЕА = S-1 * eB * S, де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних.

в) матриця y (t) = eAtявляется рішенням матричної задачі Коші:

тобто є фундаментальною матрицею системи (1).

З властивості в) випливає, що рішення y (t) системи (1) задовольняє умові y (0) = y0, визначається виразом y (t) = eAt * y0. Таким чином, завдання знаходження рішень системи рівнянь (1) еквівалентна задачі відшукання матриці eAtпо матриці А.

Для обчислення матриці eAtудобно уявити матрицю А у вигляді:

,

де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних, а BА- жорданова форма матриці А, т.к. eAt = S-1 * eBt * S.

Жорданова форма матриці залежить від виду характеристичних чисел.

1. Нехай характеристичні числа дійсні кратні, тоді Жорданова форма матриці розмірності nxn має вигляд:

де- дійсний корінь кратності n.

2. Якщо серед коренів характеристичного полінома є, як дійсні різні, так і дійсні кратні корені, то матриця В має вигляд:

де- дійсні різні корені, а- дійсний корінь кратності 2.

3. При наявності серед коренів характеристичного полінома коренів комплексно-сполучених Жорданова клітина виглядає наступним чином:

де акомплексно пов'язаний корінь характеристичного полінома.

Так як у нашому випадку серед характеристичних чисел присутні, як комплексно-зв'язані коріння л = 2 - ? ? л = 2 + ?, так і дійсний різне коріння л = -1 ? л = 1, то жорданова матриця виглядає наступним чином:

З рівняння A * S = S * В, де S - невироджена матриця, одержуємо систему 16-го порядку, з якої знаходимо елементи матриці S. Отримана матриця S буде виглядати наступним чином:

Вирішуємо систему 16-го порядку з рівняння A * S = S * В

Доопределяется деякі елементи і отримуємо наступну матрицю S:

Зробимо перевірку A * S - S * В = 0:

Значить матриця переходу знайдена вірно.

Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на, десь це вектор, елементи якого залежать від коренів характеристичного многочлена:

Для комплексних чіселімеет наступний вигляд:

Для випадку коренів дійсних різних:

У нашому случаеполучается рівною:

= Звідси знайдемо спільне рішення у = S *, одержимо:

При підстановці рішення у вихідну систему виходить правильне рівність, з цього випливає, що рішення знайдено вірно:

7. Завдання Коші для матричного методу

Необхідно з усіх рішень системи рівнянь знайти таке рішення, в якому y (i) (t) приймає задане числове значення y0iв заданій точці, тобто знайти значення сiдля наступних заданих значень: x = 0, y = [1, 2, 3,4].

В вектор рішень y (t) підставляємо задані умови і вирішуємо отриману систему відносно c1, c2, c3, c4:

В результаті отримуємо:

При підстановці c1, c2, c3, c4в спільне рішення отримаємо рішення у формі Коші:

Зробимо перевірку, підставивши загальне рішення у вихідну систему:

Вийшов нульовий вектор. Отже, знайдена матриця є рішенням вихідної сістеми.Ісследованіе залежності жорданової форми матриці А від властивостей матриці системи

Нехай J - жорданова клітина матриці А. Для випадку дійсних різних коренів жорданова клітина буде виглядати наступним чином:

Нехай серед дійсних власних чисел матриці А є кратні. Жорданова клітина буде знаходитися за наступною формулою:

Наприклад, якщо кратність k = 2, то жорданову клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо кратність k = 3, то жорданову клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо ж серед трьох власних чіселявляются корінням кратності 2, то жорданова форма буде виглядати наступним чином:

Якщо два власних числа матриці А є комплексними сполученими, то запис жорданової клітини буде виглядати так:

де- дійсна, - уявна частина власного чісла.8. Рішення неоднорідної системи Права частина:

Загальне рішення неоднорідної системи можна знайти за формулою:

Де- ФСР, Со - матриця, F (t) - вектор правих частини.

- Спільне рішення однорідної системи-приватне рішення неоднорідної системи

Отримане приватне рішення неоднорідної системи:

Загальне рішення однорідної системи

Тоді їх сума буде шуканим загальним рішенням неоднорідної системи:

Перевіримо

Знайдене рішення вірно.

Графіки

Зобразимо графічно точне приватне рішення однорідної лінійної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами для початкових умов: t0 = 0, y0 = [1, 2, 3, 4].

Порівняємо графік однієї функції вектора точного рішення і однієї функції вектора наближеного рішення з 3-ма, 5-ю і 7-ма членами ряду:

Де 1 - графік наближеного рішення для трьох членів ряду; 2 - графік наближеного рішення для шести членів ряду; 3 - графік наближеного рішення для дев'яти членів ряду; 4 - графік точного рішення.

Можна зробити висновок:

Зі збільшенням числа членів ряду, число збігу членів ряду з точним рішенням буде збільшуватися, область збіги буде рости.

Висновок

В ході проведеної роботи було вивчено 3 методи знаходження спільного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь: метод Ейлера, рішення у вигляді матричного ряду і матричний метод. У порівнянні з методом Ейлера і матричним методом, метод розкладання в матричний ряд простий в реалізації, але дає наближене рішення. Також була вивчена задача Коші, яка була використана для знаходження приватного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь для даного виду початкових умов.

Для встановлення правильності проведених обчислень була проведена перевірка за допомогою підстановки отриманих рішень у вихідну систему рівнянь.

Для реалізації цієї роботи в DERIVE були використані наступні функції пакету:

1. EIGENVALUES (A,) - обчислення власних чисел матриці A з подальшим записом в вектор.

2. SOLVE (Pm = 0,) - рішення рівняння Pm = 0, де Pm - поліном ступеня m: Pm = p0 * mp1 * m-1 + ... + pm-1 * + pm, а- змінна, щодо якої вирішується дане рівняння.

3. EXACT_VECTOR (A,) - обчислення точного власного вектора матриці А та розміщення цих значень в.

4. DIF (A, x, n) - диференціювання A по xn раз.

5. SUM (M, n, f, g) - обчислення суми M по n змінюються з f до g.

6. VECTOR (u, k, n) - завдання (обчислення) вектора значень при k змінюється від 1 до n.

А також функції меню:

1. SOLVE / SYSTEM -рішення системи з подальшим завданням у діалоговому вікні кількості рівнянь, самих рівнянь і змінних, щодо яких вирішується дане рівняння.

2. Simplify> Expand- розкриття виразів.

Команда Expand використовується для розкриття математичних виразів.

Expand expression: #n: де n - номер рядка виразу (операнда).

Expand Variable: #n.

У цьому варіанті команди необхідно вказати ім'я змінної, по якій буде проведено перетворення. Якщо по всім -.

3. Для побудови графіків використовували функцію 2D-plot.
Гідросфера
План 1. Введення ... .3 2. Використання водних ресурсів ... ..5 3. Забруднення водних ресурсів ... ... ..9 4. Список літератури ... ..15 Введення Гідросфера - водна оболонка Землі, що включає океани, моря, річки, озера, підземні води і льодовики, сніговий покрив, а також водяні пари в атмосфері.

Гігієна навколишнього середовища і здоров'я людини
Гігієна навколишнього середовища і здоров'я людини Роль гігієнічної і екологічної наук в забезпеченні профілактичних задач охорони здоров'я Гігієна - основна профілактична медична дисципліна, орієнтована на збереження і поліпшення здоров'я населення. Основною задачею гігієни є вивчення впливу

Геохімічний круговорот речовин
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Курганський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Контрольна робота з екології студента заочного відділення 1 курсу економічного факультету Єкимова Євгена Вікторовича Курган 2002 1. З яких частин складається біогеохімічний круговорот речовин? Кругообіг речовин на Землі

Гармонізація єдиного еколого-економічного простору України
Зміст Введення Гармонізація єдиного еколого-економічного простору України Висновки Література Введення Обґрунтовано необхідність гармонізації найрізноманітніших соціально-економічних, екологічних, інформаційних, інтелектуальних потреб та інтересів громадян в умовах формування посттрансформаційної

Високомолекулярні флокулянти в процесах очищення природних і стічних вод
ЗМІСТ ВСТУП ГЛАВА 1. високомолекулярних флокулянтів У ПРОЦЕСАХ ОЧИЩЕННЯ ПРИРОДНИХ І СТІЧНИХ ВОД 1.1 Очищення природної води коагулянтами і флокулянтами 1.2 Знебарвлення природної води коагулянтами і флокулянтами 1.3 Очищення стічних вод коагулянтами і флокулянтами 1.4 Теоретичні уявлення та

Вторинна переробка зольного пилу для отримання портландцементу
ВСТУП Процес газифікації вугілля включає високотемпературні реакції вугілля з кисневмісних газом і водяною парою, в результаті чого утворюється газ, що складається в основному з СО і Н2, який може бути використаний як паливо. Побічним продуктом газифікації є зольний шлак, який необхідно видаляти

Вплив антропогенного фактора на життєдіяльність водних організмів
ЗМІСТ Вступ РОЗДІЛ 1 ЛІТЕРАТУРНИЙ ОГЛЯД 1.1 Загальна характеристика токсичних речовин та шляхи їх надходження до водних екосистем 1.2 Основні водні об'єкти м. Чернігова. Їх характеристика 1.3 Забруднення водних систем м. Чернігова комунальними та промисловими стоками Розділ 2 Матеріали

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати