Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Використання вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії - Математика

ДИПЛОМНА РОБОТА

ВИКОРИСТАННЯ ИЗМЕРЕНИЙ І РІШЕННЯ ЗАДАЧ НА МІСЦЕВОСТІ ПРИ ВИВЧЕННІ ДЕЯКИХ ТЕМ шкільного курсу геометрії

ЗМІСТ

ВСТУП. . . . . . . . . . 3

ГЛАВА 1. Зміст та методичні особливості проведення факультативу

§1. Найпростіша геометрія на місцевості. . . . . 5

§2. Вимірювання при різних обмеженнях. . . 11

§3. Викладання математики в сільській школі. . . 12

§4. Факультатив, як одна з форм проведення позакласної

роботи з геометрії. . . . . . . 15

§5. Методика проведення факультативних занять з теми «Рішення

задач на місцевості ». . . . . . . 16

§6. Педагогічний експеримент. . . . . 30

ГЛАВА 2. Комплекс завдань, що вирішуються на місцевості

§1. Завдання з вимірами при різних обмеженнях. 33

§2. На рівній відстані. . . . . . 39

§3. Завдання, які пропонуються учням сільської школи. 47

ВИСНОВОК. . . . . . . . . 62

ЛІТЕРАТУРА. . . . . . . . . 64

Введення

Нехай читач прогулюється у величезному

саду геометрії, в якому він зможе підібрати

собі такий букет, який йому подобається.

Давид Гільберт.

Однією з найважливіших проблем сьогодні в нашій країні є проблема освіти. Причому мова йде не про вищому щаблі, а про середню, найголовнішою, ступені освіти. Сутність проблеми полягає в тому, що в учнів знизився інтерес до вивчення, як усіх предметів, так і математики, зокрема. Тому мета роботи полягає в підвищенні інтересу до математики за рахунок вивчення нового, не пов'язаного з загальноосвітньої програмою матеріалу.

У наш час відбуваються процеси глобалізації освіти, широкого впровадження нових технологій дистанційного навчання, Інтернет і мультимедіа-технологій. Необхідно бачити, що поряд з незаперечними перевагами відбуваються процеси несуть у собі і негативні моменти. Технологізація, комп'ютеризація освіти видаляє учня від учителя інших учнів. Одним з можливих напрямків зближення може бути підвищення інтересу до предмета, демонстрація його практичних застосувань, можливість вирішувати цікаві і практично значущі завдання разом (як з учителем, так і з групою учнів). Особливістю більшості завдань на місцевості є те, що для отримання даних задачі та її рішення необхідна участь кількох людей.

Освіта найтіснішим чином пов'язане з духовною культурою. Мета всього освіти і математичної освіти зокрема - формування, виховання духовної культури особистості. Геометричне мислення у своїй основі є різновидом образного, чуттєвого мислення.

Наочність і практичність навчання геометрії є необхідними умовами успішного її вивчення. Формування відстороненого мислення у школярів з перших шкільних кроків вимагає попереднього поповнення свідомості конкретними уявленнями. При цьому вдале і вміле застосування наочності спонукає учнів до пізнавальної самостійності і підвищує їх інтерес до предмета, є найважливішою умовою успіху [7].

Наочні методи застосовуються на всіх етапах педагогічного процесу. Формування геометричних уявлень є важливим розділом розумового виховання, політехнічної освіти, мають широке значення у всій пізнавальної діяльності людини [13].

Відомо, що механічне, нетворче засвоєння школярами великого обсягу фактів, представлених в шкільному курсі математики, несумісне зі справжньою освіченістю, з повноцінним вихованням розумових, моральних та інших якостей особистості учнів, підготовкою їх до активної участі у створенні матеріальних і духовних цінностей незалежно від того, яку професію вони отримають надалі. Вдалий підбір змістовних практичних завдань ще не забезпечує належного ефекту. Такі завдання, як правило, викликають в учнів утруднення. Умови прикладної задачі тільки тоді легко доходить до свідомості учнів, коли вони (а тим більше вчитель) зустрічалися з описуваної виробничої ситуацією в реальній дійсності. Тому при постановці завдань слід широко спиратися на наочні аналоги з виробничого оточення школи, на трудовий досвід учнів.

Велике значення геометрії у розвитку особистості. Встановлено, що розвинене просторове мислення, міцні математичні знання і вміння школярів є найважливіші компоненти готовності до безперервної освіти, що є актуальним в даний час. Необхідність досить високого рівня розвитку просторового мислення для успішного засвоєння учнями загальноосвітніх предметів і подальшого професійної освіти в умовах сучасного виробництва доведена багатьма дослідниками психологами.

Вміння розв'язувати задачі на місцевості - так само як і керувати їх рішенням - приходить з досвідом, при систематичному використанні таких завдань у навчальному процесі.

Все вище сказаної говорить про актуальність проблеми дослідження, яка полягає у вивченні теорії і відборі змісту даної теми для шкільного курсу математики.

Об'єктом дослідження є процес навчання учнів математики.

Предметом дослідження - зміст теми «Використання вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні шкільного курсу геометрії» і організація діяльності вчителя та учнів.

Завдання дослідження:

1. Вивчити математичну, психолого-педагогічну, методичну літературу з проблеми дослідження.

2. Підібрати і адаптувати для школярів теоретичний і практичний матеріал, що дозволяє продемонструвати додаток геометричних фактів до вирішення завдань на місцевості.

3. Знайти ефективні шляхи і способи організації факультативних занять.

4. Розробити методику проведення факультативних занять з теми «Рішення задач на місцевості».

5. Провести експериментальну перевірку відібраного матеріалу і методики факультативних занять.

ГЛАВА 1

§1. Найпростіша геометрія на місцевості

Для практичних цілей часто виникає необхідність проводити геометричні побудови на місцевості. Такі побудови потрібні і при будівництві будівель, і при прокладанні доріг, і при різних вимірах об'єктів на місцевості. Можна подумати, що робота на рівній поверхні землі (а саме такий ми і будемо її вважати у всіх завданнях цього параграфа) нічим, по суті, не відрізняється від роботи циркулем і лінійкою на звичайному аркуші паперу. Це не зовсім так. Адже на папері циркулем ми можемо проводити будь окружності або їх дуги, а лінійкою - будь-які прямі. На місцевості же, де відстані між точками досить великі, для подібних дій знадобилася б довга мотузка або величезна лінійка, які не завжди є під руками. Та й взагалі креслити прямо на землі, які б то не було лінії-дуги або прямі - представляється досить складним. Таким чином, побудови на місцевості мають свою специфіку [21].

Необхідно відмовитися від проведення справжніх прямих на землі. Будемо ці прямі прокладати, т. Е. Відзначатимуть на них, наприклад, кілочками, досить густу мережу точок. Для практичних потреб цього зазвичай вистачає, оскільки пересування по прямій від одного кілочка до іншого, розташованому на близькій відстані від першого, - дія, цілком здійсненне.

Так само необхідно при побудовах не проводити на землі будь-які дуги взагалі - великі чи маленькі. Тому фактично циркуля у нас немає. Все, що залишається від циркуля, - це здатність відкладати на даних (прокладених) прямих конкретні відстані, які повинні бути задано не чисельно, а за допомогою двох точок, вже позначених кілочками десь на місцевості. Адже самі відстані будуть вимірюватися кроками, ступнями, пальцями рук або будь-якими відповідними для цієї мети предметами (в кращому випадку вимірювальними приладами). Так що відкласти відстань, складене, скажімо, з 25 кроків, 3 розмахів пальців і 2 сірникових коробок, можна лише в такому ж вигляді, але ніяк не помножене, наприклад, Наілі на.

При зазначених обмеженнях, не користуючись до того ж транспортиром, працювати, звичайно, важко, але все ж завдання можна вирішити.

На місцевості кілочками позначені два віддалені один від одного точки. Як прокласти через них пряму і, зокрема, як можна без помічника встановлювати кілочки на прямий між даними точками? [6]

Користуючись зоровим ефектом перебувають в загораживание двох кілочків третім, хто стоїть на спільної з ними прямий, неважко встановити ще один кілочок в деякій точці С на продовженні відрізка сконцамі в двох даних точках А і В. Після цього точки відрізка АВ можна побудувати за допомогою того ж ефекту , оскільки вони будуть лежати на продовженні або відрізка АС, або ЗС (залежно від того, яка з точок - А чи В - знаходиться ближче до тічці С). Взагалі, будь-яка точка прямої АВ буде лежати на продовженні хоча б одного з відрізків АВ, АС або ВС.

На місцевості кілочками позначені дві точки одній прямій і дві точки інший прямий. Як знайти точку перетину цих прямих?

Користуючись зоровим ефектом, зазначеним у

вирішенні задачі вище, легко знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо відразу ясно, що вона лежить на продовженнях обох відрізків з кінцями в даних точках. В іншому випадку достатньо спочатку прокласти одну або обидві прямі так, щоб на кожній з них з одного боку від передбачуваної точки перетину були відзначені по дві точки.

На місцевості є такі точки А і В. Знайдіть точку С, симетричну точці А відносно точки В.

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З на відстані АВ від точки В. Для цього знадобиться виміряти в підхожих одиницях довжини відстань між точками А і В.

Рис. 1

На місцевості є такі три дані точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Через точку А прокладете пряму, паралельну прямій ВС.

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній точку D на відстані АВ від точки В (рис. 1). Продовжимо пряму CD за точку С і відкладемо на ній точку Е на відстані CD від точки С. Тоді відрізок АЕ буде паралельний відрізку ВС, що є середньою лінією трикутника ADE. Запропонований спосіб вигідно відрізняється від безлічі інших способів, що спираються па вимірювання кутів чи розподіл відрізка навпіл.

Рис. 2

Знайти середину відрізка АВ, заданого на місцевості двома точками А і В.

Візьмемо якусь точку С, не лежить на прямій АВ. Продовжимо пряму ВС за точку С і відкладемо на ній точку D на відстані 2ВС від точки С (рис. 2). Продовжимо пряму AD за точку А і відкладемо на ній точку Е на відстані AD від точки А. Бажана середина F відрізка АВ лежить його перетині з прямою ЄС. Дійсно, відрізок СЕ паралельний відрізку AG - середньої лінії трикутника CDE (тут G - середина відрізка CD). Так як, крім того, BC = CG, то CF - середня лінія трикутника ABG, звідки AF = FB.

Бути може, наведений спосіб знаходження середини відрізка здасться не найпростішим. Однак його переваги добре проявляються в наступній завданню, вирішивши яку учень зможе ділити відрізок не тільки на дві, але і на будь-яке число рівних частин.

Відрізок, заданий на місцевості двома точками А і В, потрібно розділити щодо, в якому знаходяться довжини двох відрізків KL і MN, заданих на місцевості точками K, L і М, N. Як це зробити?

Побудова точки F, що ділить відрізок АВ у відношенні AB: BF = KL: MN, зробимо аналогічно побудові середини відрізка АВ, описаного у вирішенні завдання 1.5. Відмінність полягатиме лише в тому, що точку З виберемо на відстані KL від точки В, а точку D - на відстані 2MN від точки С (рис.2). У цьому випадку пряма ЄС як і раніше буде паралельна відрізку AG, а значить, розділить відрізок АВ в тому ж відношенні, в якому вона ділить відрізок BG.

Рис. 3

На місцевості є такі три точки А, М і N, що не лежать на одній прямій. Прокласти бісектрису кута MAN?

Виберемо на одній стороні даного кута (рис. 3) точки В і С, а на іншій точки D і Е так, щоб виконувалися рівності

AB = ВС = АD = DE

Знайдемо точку Про перетину прямих BE і CD. Тоді пряма АТ буде шуканої бісектрисою, оскільки в трикутник АСЕ бісектриса AF є одночасно і медіаною, а значить, проходить через точку Про перетину медіан ЕВ та CD.

Прокладіть на місцевості якусь пряму, перпендикулярну прямій, що проходить через задані точки А і В. Як прокласти перпендикуляр до прямої АВ, що проходить через дану точку Н?

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З на відстані АВ від точки В. Крім того, відкладемо на тій же відстані від точки У ще дві точки D і Е в двох різних, але не протилежних напрямках (рис. 4). Знайдемо точку F перетину прямих АЕ і CD, а також точку G перетину прямих AD і РЄ.

Пряма FG перпендикулярна прямій АВ. Дійсно, точки А, Е, D і С рівновіддалені від точки В, тобто лежать на одній окружності з центром В і діаметром АС. Отже, вписані кути ADC і АЄС прямі, тому AD і РЄ - висоти трикутника AFC. Так як всі три висоти цього трикутника перетинаються в одній точці G, то пряма FG перпендикулярна стороні АС. Для того щоб прокласти перпендикуляр до прямої АВ через дану точку Н, достатньо прокласти через цю точку пряму, паралельну прямій FG.

Рис. 4 Рис. 5

На місцевості є такі точки А і В. Знайдіть точки С, D і Е, для яких виконані рівності = 45є, є, є.

Прокладемо перпендикуляр до прямої АВ, перетинає в якійсь точці промінь АВ. Без обмеження спільності вважаємо для зручності, що ця точка перетину і є точка В. На перпендикуляре по різні сторони від точки В відкладемо точки С і F (рис. 5), віддалені від точи В на відстань АВ. Тоді кут ВАС дорівнює (з рівнобедреного прямокутного трикутника ABC). На пряме AF відкладемо точку G на відстані АВ від точки А, потім на прямий ЗС відкладемо точку D на відстані СО від точки В. Тоді кут BAD дорівнює 60 °, так як по теоремі Піфагора для прямокутних трикутників ABC, ACG і АВD мають місце рівності

AD =.

Для побудови точки Е тепер залишається прокласти бісектрису кута ВАD.

§2. Вимірювання при різних обмеженнях

Для знаходження відстаней, висот, глибин або інших розмірів реальних об'єктів не завжди можна обійтися безпосереднім їх виміром - у багатьох випадках такі виміри пов'язані з певними труднощами, а то й взагалі практично неможливі [5]. Однак у своїй діяльності людині доводиться часом замислюватися над тим, як все-таки можна визначити потрібну йому величину і як зробити це точніше.

Основними вимірювальними «приладами», які завжди є «під рукою», є: крок, п'ядь (розмах пальців), сажень (розмах рук), рівень очей (відстань від землі до очей) і т. Д. Не менш важливо стежити за надійністю способу, тобто залежністю його точності від різних похибок, які неминуче виникають при роботі на місцевості [11].

Визначити довжину свого кроку, щоб згодом вимірювати відстані кроками досить легко. Найпростіший і, здавалося б, точний спосіб полягає в тому, щоб зробити один крок і виміряти відстань між крайніми (найбільш віддаленими) точками двох ступень. Такий спосіб явно не годиться з двох причин. По-перше, відстань між крайніми точками ступень не дорівнює довжині кроку, а перевершує її на довжину однієї ступні (правильніше було б виміряти відстань, наприклад, між носками двох ступень). По-друге, при всьому старанні навряд чи можна зробити один звичайний крок - для цього вам потрібно опинитися в стані звичайної ходьби.

Для визначення довжини кроку достатньо пройти якесь заздалегідь відоме і не надто коротку відстань, скажімо між сусідніми кілометровими або стометровими стовпчиками на шосе, і поділити цю відстань на кількість зроблених кроків.

Відзначимо, що середня довжина кроку дорослої людини приблизно дорівнює половині його зростання, рахуючи до рівня очей.

Вимірюючи будь-які довжини пальцями руки, краще не відривати руку від вимірюваної поверхні, а приставляти один палець до іншого, який потім знову витягати в заданому напрямку (описаний процес віддалено нагадує рух гусениці). Щоб знайти довжину такого розмаху своїх пальців, найпростіше відкласти уздовж якої-небудь прямої одні або кілька десятків розмахів пальців, а потім поділити на їх кількість відкладену в результаті довжину.

§ 3.Преподаваніе математики в сільській школі

В особливу увагу потребує сільська школа. Її стан і рівень роботи суттєво впливає на соціальний розвиток села, закріплення молоді, підвищення культурного рівня сільського населення, вирішення демографічних проблем в села. Перед сільською школою ставиться завдання виховання в учнів прагнення активно брати участь у піднесенні сільськогосподарського виробництва [19].

Великі можливості природної органічного зв'язку навчального матеріалу з сільськогосподарським виробництвом є у вчителя математики. Такий зв'язок може здійснюватися різними способами: повідомлення вчителя на уроках про застосування досліджуваних питань в сільськогосподарській практиці, рішення задач прикладного характеру, проведення практичних робіт та екскурсій.

Традиційної та найбільш природною формою зв'язку навчальної роботи з математики із сільськогосподарським виробництвом є рішення на уроках завдань із сільськогосподарської практики. З іншого боку, практичні завдання сприяють формуванню правильного розуміння природи математики, розвитку матеріалістичного світогляду.

Властивості вимірювання відрізків знаходять застосування на практиці. Розглянемо інструмент (демонструє модель-см рис 6, а), за допомогою якого зручно проводити перевірку глибини оранки. Називається інструмент бороздомером. Він складається з двох лінійок однакової довжини нерухомою, що кінчається косинцем, і рухомий. Для виміру глибини оранки бороздомер встановлюють вертикально косинцем на неорану поверхню поля, а рухому лінійку опускають на розчищене дно борозни Верхній кінець рухомий лінійки показує глибину борозни за шкалою, нанесеною від верхнього кінця нерухомою лінійки. Доведемо це.

 б)

 а)

Р

Рис. 6

З геометричної точки зору нам дано відрізок AD (виконується рис. 6, б) і точки В і С на ньому, причому відомо, що АС = = BD Потрібно довести, що CD = АВ.

Рішення. Можна записати, що АС = АВ + ВС, BD = ВС + CD Так як А С = BD, то АВ + ВС = = ВС + CD. Звідси і випливає, що CD = АВ.

Властивості прямокутного трикутника використовуються при конструюванні різних приладів. Розглянемо модель Екліметр - приладу для вимірювання на місцевості величини кута нахилу прямої Принцип дії його такий (демонструється модель - див. Рис. 7, ОР - нитка з грузиком). Нитка ЗР показує на шкалі величину шуканого кута. Доведемо це. Зобразимо пряму SO (рис. 7).

Рис. 7

Кут нахилу прямої - це кут, який вона утворює з горизонтальною прямою. Нитка з грузиком - схил - займає положення прямої, перпендикулярної горизонтальній прямій. Опустимо з точки О перпендикуляр до прямої SB. Вийде точка Р. Відновивши з точки О перпендикуляр до прямої SO, отримаємо кут РОР, величину якого показує шкала приладу.

Отже, ми прийшли до такої геометричної задачі:

Дано :.

Довести.

Рішення. Так як трикутник OPS прямокутний, то. Згідно основному властивості вимірювання кутів. Поетомуотсюда і випливає, що

На малюнку 8 зображено мірний циркуль, що використовується для вимірювання різних частин тіла тварини. Шкала циркуля влаштована так, що залежно від величини х кута АОВ (, коли кульки А і В стикаються) вона показує відстань l між кульками А і В

Рис. 8

а) Знайдіть формулу для градуювання шкали циркуля (залежність l отx).

Рішення. З прямокутного трикутника АСО маємо АС =. Позначивши постійне для даного циркуля відстань між точками О і А через r, отримаємо:

б) У мірного циркуля фабричного виготовлення r = 44 см, кут між крайками т і п в зімкнутому стані дорівнює 50 °. Яка максимальна величина, яку можна виміряти цим циркулем?

Рішення Граничний випадок вимірювання, коли кромки т і п утворюють розгорнутий кут. При цьому.

Шкала фабричного приладу проградуйована до 75 см.

§4. Факультатив, як одна з форм проведення позакласної роботи з геометрії

Під позакласною роботою з математики розуміються необов'язкові систематичні заняття учнів з викладачем у позаурочний час. Слід розрізняти два види позакласної роботи з математики:

- Робота з учнями, відстаючими від інших у вивченні програмного матеріалу (додаткові позакласні заняття);

- Робота з учнями, які проявляють до вивчення математики підвищений, порівняно з іншими, інтерес і здібності (власне позакласна робота в традиційному розумінні сенсу цього терміна).

Факультативні групи працюють на базі загального курсу геометрії і не вимагають перебудови системи навчання. Заняття такого роду - більш масова форма підвищення математичної підготовки школярів.

Факультативні заняття необхідно співвідносити з основним курсом геометрії. Для досягнення такого зв'язку використовуються різноманітні прийоми:

- Систематизація, коли відповідна факультативна тема вивчається після того, як в основному курсі накопичений великий матеріал, що відноситься до даної теми;

- Послідовне розгортання теорії, коли в основному курсі є початковий етап її побудови, що не доведений до узагальнюючих результатів;

- Розгорнутий опис додатків певного методу, якщо в основному курсі вони тільки згадані.

Займаючись на факультативних заняттях, учні мають більшу можливість підготуватися до олімпіад, до виступів на шкільних математичних вечорах. Тим самим факультативи роблять позитивний вплив на позакласну роботу.

Завдання, які пропонуються учням на факультативних заняттях, повинні мати пізнавальний інтерес, залучати і зацікавлювати учнів, розвивати в них винахідливість і мислення [24] .§5. Методика проведення факультативних занять з теми «Рішення задач на місцевості»

Головною метою факультативних занять є поглиблення і розширення знань, розвиток інтересу учнів до предмета, розвиток математичних здібностей, прищеплення школярам інтересу і смаку до самостійних занять, виховання і розвиток ініціативи і творчості, розвиток певних сторін мислення і рис характеру учнів. Також заняття сприяють професійної орієнтації учнів і допомагають у підготовці до вступних іспитів.

Основні завдання факультативних занять: враховуючи інтереси і схильності учнів, розширити і поглибити знання з предмета, забезпечити засвоєння ними програмного матеріалу, ознайомити школярів з деякими загальними ідеями сучасної математики, розкрити докладання математики на практиці. Повторити навчальний матеріал і систематизувати знання учнів з планіметрії (підготовка до вступних іспитів). Показати додатки математики до вирішення практичних завдань. Професійна орієнтація (математика, архітектура, землевпорядкування, кадастрову справу; формування умінь застосовувати наявні теоретичні знання до вирішення завдань.

Об'єктом дослідження є організаційно - педагогічна діяльність загальноосвітньої школи в області факультативних занять.

Предмет дослідження - організація математичних факультативів у середній загальноосвітній школі у світлі реалізації вимог сучасної концепції освіти.

Висунемо гіпотезу дослідження: якщо систематично і цілеспрямовано включати в шкільний курс геометрії різноманітний матеріал, то це підвищить інтерес учнів до геометрії і розвине їх творчі здібності.

Факультативний курс математики являє собою систему кількох тем, кожна з яких розвиває деякі з основних для шкільної математики ідей, понять, методів [3].

Курс розроблений для учнів старших класів і розрахований на півріччя. Факультатив проводився в ліцеї №10 м Ставрополя.

Тематичне планування.

1. Найпростіші завдання, які вирішуються на місцевості 1ч

2. Завдання з вимірами при різних обмеженнях 2год

3. На рівній відстані 1ч

4. Окружність 2год

5. Тригонометричні функції 1ч

6. Нерівність трикутника і рівняння прямої 1ч

7. Подоба фігур 1ч

8. Правильні багатокутники 1ч

9. Центральний кут і дуга кола 1ч

10. Площі фігур 1ч

11. Кути між прямими і поскостямі 1ч

12. Багатогранники 1ч

13. Тіла обертання 1ч

14. Метод геометричних місць 1чЗанятіе 1. Тема: Найпростіші завдання, які вирішуються на місцевості

Мета уроку: навчитися застосовувати теоретичні знання для вирішення завдань з практичним змістом, показати красу і значущість геометрії.

Обладнання: дошка, крейда, лінійка, транспортир. Бажано проводити в шкільному дворі при наявності обладнання.

Структура уроку:

1. Організаційний момент - 1-3 хвилини.

2. Актуалізація знань - 7 хвилин.

3. Пояснення нового матеріалу - 20 хвилин.

4. Обговорення з учнями минулого уроку - 5 хвилин.

5. Видача домашнього завдання - 5 хвилин.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент. Добитися уваги учнів, перевірити готовність до уроку.

2. Актуалізація знань: повторення теорії

а) Ознаки подібності трикутників.

б) Пропорційні відрізки в колі.

3. Пояснення нового матеріалу.

Слово вчителя про мету цього уроку

Геометрія - це не просто наука про властивості трикутників, паралелограмів, кіл. Геометрія - це цілий світ, який оточує нас з самого народження. Адже все, що ми бачимо навколо, так чи інакше відноситься до геометрії, ніщо не вислизає від її уважного погляду. Геометрія допомагає людині йти по світу з широко відкритими очима, вчить уважно дивитися навколо і бачити красу звичайних речей, дивитися і думати, думати і робити висновки.

Виступ вчителя з коротким повідомленням про Конан Дойл

Всесвітньо відомий письменник Артур Конан Дойль був лікарем. Але він дуже добре, мабуть, знав геометрію. В оповіданні "Обряд родини Масгрейвів" він описав, як Шерлоку Холмсу потрібно було визначити, де будуть кінець тіні від в'яза, який зрубали. Він знав висоту цього дерева раніше. Шерлок Холмс так пояснив свої дії: "... я пов'язав разом два вудилища, що дало мені шість футів, і ми з моїм клієнтом відправилися до того місця, де колись ріс в'яз. Я встромив свій шест в землю, зазначив напрямок тіні і виміряв її. У ній було дев'ять футів. Подальші мої обчислення були вже зовсім нескладні. Якщо палиця заввишки в шість футів відкидає тінь у дев'ять футів, то дерево заввишки шістдесят чотири фути відкине тінь в дев'яносто шість футів, і напрямок тієї й іншої, зрозуміло, збігатиметься ".

Завдання 1. Вимірювання висоти дерева

Для того, щоб виміряти висоту дерева BD, приготували прямокутний трикутник АВ1C1с кутом А = 45оі, тримаючи його вертикально, відійшли на таку відстань, при якому, дивлячись уздовж гіпотенузи АВ1, побачили верхівку дерева В. Яка висота дерева, якщо відстань АС = 5, 6м, а висота людини 1,7м?

Дано: АВ1С1, С = 90о, А = 45о. АС = 5,6м h людини = 1,7м.

Знайти: BD

Рис. 9

Рішення:

1) Так какао загальний для обох трикутників, аАС1В1іАСВ (за умовою) прямі (тобто рівні за 90о), тоАС1В1іАСВ - подібні (за ознакою подібності про 2-х кутах).

2) ТогдаАВ1C1 = АВС = 45о, => ВС = АС = 5,6 м, але до отриманої довжині ми повинні ще додати зріст людини, тобто довжина дерева BD = 7,3м.

Відповідь: 7,3м.

Завдання 2. Ворожа вишка

Відкриту ділянку дороги знаходиться на смузі АВ шириною в 50м; ворожий спостережний пункт знаходиться на верху дзвіниці заввишки MN = 22м. Якої висоти слід зробити вертикальну маску КВ на відстані 500м від дзвіниці, щоб закрити дорогу від спостерігача супротивника?

Рис. 10

Дано: AMN, АВ = 50м, MN = 22м, BN = 500м.

Знайти: КВ.

Рішення: АКВ ~ АМN (по 2-му кутах: А - загальний, АВК іAMN - прямі, а якщо трикутники подібні, то всі його елементи теж подібні. Тобто ,, а. Отже, м.

Відповідь: 2 м.

Завдання 3. Земля як на долоні, коли ти в небі на повітряній кулі

Як далеко видно з повітряної кулі, що піднявся на висоту 4 км над Землею (радіус Землі приблизно дорівнює 6370 км)?

Рішення:

Рис. 11

По теоремі про дотичної до кола, дотична перпендикулярна радіусу, проведеного в точку дотику, то естьOTM = 90о. MO = 6370 + 4 = = 6374 км, тоді за теоремою Піфагора:

MT2 + OT2 = MO2

MT2 = MO2- OT2

MT = 112,9 км

Відповідь: 112,9 км

Завдання 4. Визначення відстані до кораблів у морі

Вирішення окремих старовинних завдань практичного характеру можуть знайти застосування і в даний час, а тому заслуговують уваги. Історія геометрії зберігає чимало прийомів вирішення завдань на знаходження відстаней. Визначення відстаней до кораблів, що знаходяться в морі, - одна з таких завдань, яке вирішується двома способами.

Знайти відстань від точки А, що знаходиться на березі до корабля

Дано: А = 1; В = 2; АВ = а.

Знайти: АК.

Рішення:

1-й спосіб. Нехай корабель знаходиться в точці К, а спостерігач в точці А. Потрібно визначити відстані КА. Побудувавши в точці А прямий кут, необхідно відкласти на березі два рівних відрізка АВ = ВС. У точці С знову побудувати прямий кут, причому спостерігач повинен йти по перпендикуляру до тих пір, поки не дійде до точки D, з якої корабель К і точка В були б видні лежачими на одній прямій. Прямокутний трикутники ВСD і ВАК рівні, отже, CD = AК, а відрізок CD можна безпосередньо виміряти.

Рис. 12

Другий спосіб, який отримав назву методу тріангуляції, знайшов застосування в астрономії. З його допомогою вимірювалися відстані до небесних тіл.

Рис. 13

Цей метод складається з 3-х етапів:

1. Вимірювання кутів 1 і 2 і відстані АВ.

2. ПостроеніеА'В'К 'з кутами 1 і 2 при вершинах А' і В 'відповідно.

3. Враховуючи подібність трикутників АВК, А'В'К 'і рівність, за відомим довжинах відрізків АВ, А'к' і А'В 'неважко знайти довжину відрізка АК.

4. Підсумки уроку.

На уроці були розглянуті найбільш актуальні завдання, пов'язані з геометричними вимірами на місцевості - визначенням висоти предмета, знаходженням відстані до недоступних предметів. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії і можуть використовуватися для практичних робіт.

5. Завдання додому:

№1. Гора Ельбрус (на Кавказі) піднімається над рівнем моря на 5600м. Як далеко можна бачити з вершини цієї гори?

№2. М - спостережний пункт висотою h метрів над Землею; радіус Землі R, MT = d є найбільша видиме відстань. Довести, що.

№ 3. Знайти відстань від острова, що знаходиться на озері, до пункту В на березі. (Острів Про прийняти за точку).

Рис. 14

Заняття 2. Тема: Завдання з вимірами при різних обмеженнях.

Мета уроку: навчитися застосовувати наявні теоретичні та практичні знання для вирішення завдань на місцевості. Вивчити виготовлення приладів для вимірювання висоти. Познайомитися з різними способами вирішення завдань.

Обладнання: дощечка або шматок кори, шпильки, ниточка з грузиком, записна книжка, олівець, дзеркало, жердину.

Структура уроку:

1. Організаційний момент - 1-3 хвилини.

2. Актуалізація знань - 7 хвилин.

3. Пояснення нового матеріалу - 20 хвилин.

4. Обговорення з учнями минулого уроку - 5 хвилин.

5. Видача домашнього завдання - 5 хвилин.

Хід уроку:

1. Організаційний момент. Добитися уваги учнів, перевірити готовність до уроку.

2. Актуалізація знань.

а) властивості рівнобедреного трикутника;

б) подібність трикутників.

3. Пояснення нового матеріалу.

Існують різні способи вимірювання висоти дерев [6]. Розглянемо деякі з них.

1.Самое простий спосіб полягає в тому, що в сонячний день можна користуватися будь тінню, якою б довжини вона не була. Вимірявши свою тінь або тінь якогось жердини, обчислюють шукану висоту з пропорції (рис. 15)

AB: ab = BC: bc

тобто висота дерева у стільки разів більше вашої власної висоти (або висоти жердини), у скільки разів тінь дерева довше тіні людини (або тіні жердини). Це випливає з геометричного подібності трикутників ABC і abc (по двох кутах).

Рис. 15

Цілком можливо обійтися при вимірюванні висоти і без допомоги тіней. Таких способів багато.

2. Можна скористатися властивостями рівнобедреного прямокутного трикутника, звернувшись до вельми простому приладу, який легко виготовити з дощечки і трьох шпильок. На дощечці будь-якої форми, навіть на шматку кори, якщо у нього є плоска сторона, намічають три точки - вершини рівнобедреного прямокутного трикутника - і в них встромляють сторчма по шпильці (рис. 16).

Рис. 16

Якщо немає під рукою креслярського трикутника для побудови прямого кута, немає і циркуля для відкладення рівних сторін, то можна перегнути будь клапоть паперу один раз, а потім поперек першого згину ще раз так, щоб обидві частини першого згину збіглися, - і отримаємо прямий кут. Та ж папір нагоді і замість циркуля, щоб відміряти рівні відстані.

Відійшовши від вимірюваного дерева, потрібно тримати прилад так, щоб один з катетів трикутника був спрямований прямовисно, для чого можна користуватися ниточкою з грузиком, прив'язаним до верхньої шпильці. Наближаючись до дерева або віддаляючись від нього, завжди можна знайти таке місце А (рис.17), з якого, дивлячись на шпильки а і з, можна побачити, що вони покривають верхівку З дерева: це означає, що продовження гіпотенузи ас проходить через точку С. Тоді, очевидно, відстань аВ одно СВ, оскільки кут а =.

Рис. 17

Отже, вимірявши відстань аВ (або на рівному місці, однакове з ним відстань АD) і перебував BD, тобто піднесення аА очі над землею, отримаєте шукану висоту дерева.

3. Можна обійтися навіть і без булавочного приладу. Тут потрібен жердину, який доведеться увіткнути прямовисно в землю так, щоб виступає частина якраз дорівнювала зростанню людини. Місце для жердини треба вибирати так, щоб, лежачи, як показано на рис. 18, було видно верхівку дерева на одній прямій лінії з верхньою точкою жердини. Так як трикутник Abc - рівнобедрений і прямокутний, то кут А = і, отже, АВ одно ВС, тобто шуканої висоті дерева.

Рис. 18

4. В якості приладу для приблизної оцінки недоступною висоти можна використовувати кишенькову записну книжку й олівець. Вона допоможе побудувати в просторі ті два подібних трикутника, з яких виходить шукана висота.

Рис. 19

Книжку треба тримати біля очей так, як показано на спрощеному рис. 19. Вона повинна перебувати в прямовисній площині, а олівець висуватися над верхньому обрізом книжки настільки, щоб, дивлячись з точки а бачити вершину В дерева покритої кінчиком b олівця. Тоді внаслідок подібності трикутників abc і АВС висота ВС визначається з пропорції

BC: bc = aC: ac

Відстань bc, ac і АС вимірюються безпосередньо. До отриманої величині ЗС треба додати ще довжину CD, тобто - На рівному місці - висоту очі над грунтом. Так як ширина ас книжки незмінна, то якщо завжди ставати на одному і тому ж відстані від вимірюваного дерева, висота дерева буде залежати тільки від висунутої частини bc олівця .. Тому можна заздалегідь обчислити, яка висота відповідає тому або іншому висунення, і нанести ці числа НЕ олівець. Нотатки перетворитися тоді в спрощений висотомір.

5.Своеобразний спосіб визначення висоти дерева за допомогою дзеркала. На деякій відстані (рис. 20) від вимірюваного дерева, на рівній землі в точці С кладуть горизонтально дзеркальце і відходять від нього назад в таку точку D, стоячи в якій спостерігач бачить в люстерко верхівку А дерева. Тоді дерево (АВ) у стільки разів вище зростання спостерігача (ЕD), у скільки разів відстань ВС від дзеркала до дерева більше відстані СD від дзеркала до спостерігача. Чому?

Рис. 20

Рішення:

Спосіб заснований на законі відбиття світла. Вершина А (рис. 21) відображається в точці А 'так що АВ = А'В. З подоби ж трикутників ВСА 'і CED випливає, що

A'B: ED = BC: CD.

У цій пропорції залишається лише замінити А'В рівним йому АВ, щоб обгрунтувати зазначене співвідношення.

Рис. 21

Цей зручний і нехлопотлівий спосіб можна застосовувати у всяку погоду, але не в густому насадженні, а до самотньо стоїть дереву.

4. Підсумки уроку.

На уроці були розглянуті різні способи вимірювання висоти дерев. Вивчені різні прилади для вимірювання висоти дерев. Отримані знання досить легко застосовуються на практиці.

5. Домашнє завдання.

№1. Як за допомогою дзеркала можна виміряти висоту дерева, якщо до нього неможливо підійти впритул?

№2. В 40 метрах одна від одної ростуть дві сосни. Висота однієї 31м, інший - 6м. Як обчислити відстань між їх верхівками?

§6. Педагогічний експеримент

З проблеми дослідження було проведено природно - педагогічний експеримент.

Експеримент проходив у три етапи:

1 етап - констатуючий експеримент. При його проведенні були виявлені знання учнів з теми «Використання та вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії», при цьому використовувалися різні форми і методи виявлення знань, такі як: анкетування, бесіди з учнями та вчителями, спостереження за учнями.

2 етап - пошуковий. На цьому етапі проводився відбір завдань для проведення факультативу. В результаті був підібраний комплекс завдань, при роботі з яким учні знайомляться з завданнями, які розв'язуються на місцевості, здійснюється повторення і систематизація знань шкільного курсу геометрії, пропедевтика ряду геометричних понять, підвищується інтерес школярів до математики, виробляється усвідомлений підхід до застосування знань на практиці.

3 етап - навчальний (формуючий), коли була проведена експериментальна перевірка знань, отриманих в ході проведення факультативних занять, у вигляді опитування.

На третьому етапі експерименту проводилася перевірка гіпотези.

Висновки: факультативні заняття сприяють поглибленню і розширенню знань, розвитку інтересу учнів до предмета, розвитку математичних здібностей, прищеплення школярам інтересу і смаку до самостійних занять, вихованню та розвитку ініціативи і творчості, розвитку певних сторін мислення і рис характеру учнів. Також заняття сприяють професійної орієнтації учнів. На факультативах здійснюється підготовка до випускних іспитів за рахунок повторення теорії та вирішення різних завдань. В учнів в процесі вивчення теми підвищився інтерес до геометрії, чого не спостерігається в класах, де факультативні заняття не проводилися.

Таким чином, експеримент підтвердив висунуту гіпотезу: якщо систематично і цілеспрямовано включати в шкільний курс геометрії різноманітний матеріал, то це підвищить інтерес учнів до геометрії і розвине їх творчі здібності.

ГЛАВА 2

Існує безліч різних способів проводити вимірювання за допомогою нехитрих приладів і навіть без всяких пристосувань.

Найлегший і найдавніший спосіб - без сумніву, той, який грецький мудрець Фалес за шість століть до нашої ери визначив у Єгипті висоту піраміди [10]. Він скористався її тінню. Фалес, - говорить переказ, - обрав день і годину, коли довжина власної його тіні дорівнювала його зростанню; в цей момент висота піраміди повинна також дорівнювати довжині відкидаємо нею тіні. Звичайно, довжину тіні треба було рахувати від середньої точки квадратного підстави піраміди; ширину цього підстави Фалес міг виміряти безпосередньо.

Фалес жив задовго до Евкліда, автора чудової книги, за якою навчалися геометрії протягом двох тисячоліть після його смерті. Ув'язнені в ній істини не були відкриті в епоху Фалеса. А щоб скористатися тінню для вирішення завдання про висоту піраміди, треба було знати вже деякі геометричні властивості трикутника, - саме такі два:

1) що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, і назад - що сторони, що лежать проти рівних кутів трикутника, рівні між собою;

2) що сума кутів всякого трикутника (або принаймні прямокутного) дорівнює двом прямим кутам.

Тільки озброєний цим знанням Фалес вправі був висновок, що, коли його власна тінь дорівнює його росту, сонячні промені зустрічають рівну грунт під кутом в половину прямого, і, отже, вершина піраміди, середина її заснування і кінець її тіні повинні позначати трикутник. Однак спосіб Фалеса у вказаному вигляді застосуємо не завжди.

§1. Завдання з вимірами при різних обмеженнях

При вирішенні завдань, пов'язаних з вимірюваннями на місцевості не завжди застосовні безпосередні геометричні вимірювання. Існують труднощі, пов'язані з такими вимірами. При вирішенні завдань необхідно, аби способи були здійсненні на практиці і застосовувався мінімум необхідних коштів для побудов, вимірювань і обчислень.

1.1. З'ясуємо як по довжині тіні, що падає від дерева в сонячний день, визначити висоту цього дерева?

Так як промені сонця можна вважати практично паралельними, то тінь від дерева у стільки ж разів довше тіні від якогось жердини, у скільки разів дерево вище жердини. Тому, встановивши вертикально жердину відомої висоти а й вимірявши ставлення k довжини тіні від дерева до довжини тіні від жердини, можна обчислити шукану висоту дерева ka.

Зауважимо, що зазначений спосіб не дуже надійний, тому що відкидається при світлі сонця тінь не має виразної кордону через властиву їй неясно окресленої облямівки півтіні.

1.2. У місті встановлено великий пам'ятник. Мається поштова картка з фотографією цього пам'ятника, зробленої з шанобливого відстані від нього можна скористатися цим знімком для визначення висоти пам'ятника?

Для приблизного знаходження висоти пам'ятника по знімку можна вибрати дві точки, розташовані біля фундаменту цього пам'ятника, і виміряти відстань між ними на фотографії і на місцевості (друга відстань нас цікавить скоріше не в чистому вигляді, а як проекція на пряму, перпендикулярну напрямку, в якому був сфотографований пам'ятник). Знайшовши ставлення k першого з відстаней до другого, ми дізнаємося масштаб знімка, після чого залишиться заміряти на ньому висоту пам'ятника і поділити її на k ..

1.3. Необхідно виміряти на місцевості відстань між двома об'єктами, розділеними будівлею або іншим перешкодою, що не дозволяє безпосередньо прокласти пряму між цими об'єктами. Як проте можна провести зазначене вимір?

Рис. 22.

Нехай А і В - дані точки на місцевості, між якими визначається відстань. Виберемо точку С, з якої видно обидві точки А і В (рис. 22). На продовженні відрізка АС за точку З відзначимо точку D на відстані АС від точки С. Аналогічно на продовженні відрізка ВС за точку З відзначимо точку Е, для якої РЄ = ВС. Тоді відрізки ED і АВ рівні, оскільки вони симетричні відносно точки С.

Якщо ж через нестачу місця точки Е і D вийдуть за межі досяжності, то їх можна в певне число разів наблизити до точки С. Тоді відрізок ED буде в те ж число разів коротше відрізка АВ, так як трикутники ABC і DEC будуть подібні.

1.4. Чи можна скористатися для вимірювання глибини озера стирчить з води очеретом, що не вириваючи його?

Злегка відхиливши очерет і тримаючи його в натягнутому стані, заміряємо відстань а між точками А і В, в яких очерет перетинає поверхню води відповідно у вертикальному і нахиленому положенні (рис. 23). Повернемо очерет в початковий стан і визначимо висоту b над водою, на яку підніметься при цьому точка В нахиленого очерету, зайнявши вихідне положення С. Тоді, позначивши через D підставу очерету, а через х - шукану глибину AD, з прямокутного трикутника ABD знаходимо

откудаі.

Рис. 23 Рис. 24

1.5. Яким способом можна виміряти висоту дерева, не піднімаючись на нього і не вдаючись до допомоги тіней?

Встановивши вертикальний шест на деякій відстані від дерева, потрібно стати в таку точку, з якої верхній кінець жердини загороджує в точності верхівку дерева (рис. 24). Тоді, якщо висота частини жердини над рівнем очей дорівнює а, а відстані від очей по горизонталі до жердини і до дерева дорівнюють b і у відповідно, то з подоби трикутників можна знайти висоту х дерева над рівнем очей. Нарешті, знаючи своє зростання h до рівня очей, отримуємо повну висоту дерева

.

Зауважимо, що обчислення і вимірювання можна спростити, якщо домогтися рівності b = a, яке досягається вибором місця установки жердини. Крім того, можна лягти на землю, що дозволить вважати h = 0, а в результаті висота дерева виявиться рівною x = y.

1.6. Існує величезний ставок круглої форми, обійти який по колу не можна через наявні на його березі різних перешкод в декількох місцях. Крім того, представляється скрутним вимірювати відстань між якими-небудь точками, якщо тільки з'єднує їх відрізок проходить над водою. Чи можна при таких обмеженнях вимірювати діаметр ставка?

Рис. 25

Вставши в точку А на деякій відстані від ставка (рис. 25), можна розташувати перед собою горизонтальну палицю довжини а так, щоб відстані від обох її кінців до одного ока (друге око при цьому краще закрити) були дорівнюють одному і тому ж значенню b , а самі кінці палиці зорово поєдналися з крайніми точками ставка, видимими з точки А. Тоді, вимірявши відстань у від А до найближчої точки ставка по прямій, що проходить через середину палиці, можна обчислити радіус х ставка, а значить, і його діаметр 2х. Дійсно, з подоби відповідних прямокутних трикутників знаходимо

,

звідки 2bx = ax + ay, тобто x = y.

Зауважимо, що якщо домогтися рівності b = а (що досягається вибором точки А), то коефіцієнт при у в останній формулі буде дорівнює 1, а шуканий діаметр ставка виявиться рівним 2х = 2у.

1.7. Як дізнатися, на якій висоті знаходиться шпиль, розташований на будівлі, всередині і поблизу якого вимірювання скрутні?

Необхідно встановити вертикальний шест на деякій відстані від будівлі і станемо в таку точку, з якої

Рис. 26

верхівка шпиля візуально поєднується з верхнім кінцем жердини (рис. 26). Потім, пройшовши деяку відстань в напрямку від будівлі по прямій, на якій лежить перша точка і проекція А шпиля на горизонтальну площину, ще раз виконайте таку ж операцію. Нехай висота жердини над рівнем очей дорівнює а, відстань від очей до жердини в першому положенні виявилося рівним b, а в другому с. Тоді, вимірявши відстань у між точками В і С, в яких ми стояли в першому і в другому випадках, можна порахувати висоту х шпиля над рівнем очей. Справді, позначимо через z відстань між точками А і В. З подоби відповідних трикутників маємо

,

откудаі, тобто

Коефіцієнт при у в останній рівності можна зробити рівним 1, якщо в першому положенні жердини домогтися рівності b-а, а в другому - рівності з = 2а.

1.8. Як перебуваючи на березі річки виміряти її ширину, не маючи можливості перебратися на інший берег. Для цього необхідно відшукати очима на протилежному березі річки близько до води якої-небудь помітний орієнтир А - камінь, деревце і т. П. - І відзначити на своєму березі точку В, відстань від якої до точки А являє собою, по-вашому, ширину ріки. Як виміряти довжину відрізка АВ?

Виберемо точку С на продовженні прямої АВ за точку В, а також точку D, не лежить на прямій АВ (рис. 27). Потім виберемо точки Е і F на продовженнях прямих BD і CD відповідно за точку D так, щоб виконувалися рівності BD = DE, CD = DF. Нарешті, знайдемо точку G перетину прямих EF і AD. Тоді шукане відстань між точками А і В дорівнюватиме довжині відрізка EG. Дійсно, з рівності трикутників BDC і EDF (по двох сторонах і куту між ними) маємо рівність кутів CBD і FED. Тому трикутники BAD і EGD рівні (по стороні і двом прилеглим до неї кутам), а значить, рівні і їх відповідні сторони АВ і GE.

Рис. 27 Рис. 28

1.9. Необхідно дізнатися відстань до високої будівлі, яке можна побачити прямо з двору будинку Природно, в міських умовах безпосередньо пройти до будівлі по прямій лінії вам не вдасться. Більше того, геометричні побудови можна здійснювати лише на порівняно невеликому майданчику перед будинком. Вкажемо спосіб для визначення шуканого відстані.

Для знаходження відстані від даної точки В до недоступною точки А можна використовувати побудови, аналогічні наведеним у вирішенні завдання 1.8. з тією лише різницею, то точки Е і F на рис. 27 слід вибрати ближче до точки D, т. Е. На відстані, в однакове число разів меншому довжин відрізків BD і CD відповідно. У стільки ж разів відрізок GE виявиться меншим відрізка АВ, що випливає з подібності трикутників BAD і EGD.

1.10. Людина перебуває на одному березі річки, а на іншому, недоступному для нього березі розташовані два об'єкти. Як виміряти відстань між ними?

Нехай А і В - недоступні точки, між якими треба знайти відстань. Виберемо на деякій прямій три точки D, Е і F так, щоб виконувалася рівність DE = -EF (рис. 28). При цьому заздалегідь потурбуємося про те, щоб точка С перетину прямих AF і BD виявилася доступною і лежала з того ж боку від прямої DF, що і відрізок АВ: цього можна досягти зменшенням відрізка DF і переобозначеніе його кінців. На продовженні відрізка РЄ за точку Е відзначимо точку G на відстані РЄ від точки Е. Далі знайдемо точку Н перетину прямих DG і АЕ, а також точку К, перетину прямих FG і BE. Тоді шукане відстань дорівнюватиме КН. Дійсно, при перетворенні симетрії відносно центру Е точка С переходить в точку G, точка D - в точку F, пряма CD - в пряму GF, пряма BE - в себе, а точка В перетину прямих CD і BE - в точку К перетину GF і BE. Аналогічно точка А при цьому перетворенні переходить в точку Н, тому відрізок НК симетричний відрізку АВ відносно точки Е.

§2. На рівній відстані

У цьому параграфі розглядається кілька практичних завдань, в яких потрібно використовувати геометричний матеріал для знаходження точок або ліній на місцевості з міркувань рівності будь-яких відстаней. Побудови, які знадобляться для вирішення цих завдань, повинні бути по можливості більш простими. Якщо вони не зажадають ніяких коштів, що виходять за рамки найпростішої геометрії на місцевості, то такі побудови можна буде здійснити в звичайних умовах без використання скільки-небудь складних вимірювальних приладів [2]. В іншому випадку для реалізації побудов можна зобразити вихідну конфігурацію на плані і, вирішивши завдання на папері за допомогою циркуля і лінійки, перенести результат на місцевість.

Нижче передбачається, що всі населені пункти мають незначні розміри і можуть бути прийняті в задачах за точки, а магістралі, канали і залізниці є прямими і мають дуже малу ширину, тобто можуть бути представлені як прямі лінії.

Завдання

2.1. Неподалік від двох населених пунктів проходить шосе. У якому місці цього шосе потрібно побудувати автозаправну станцію, щоб відстані від неї до обох пунктів були однаковими?

Позначимо через А і В дані в задачі населені пункти і проведемо на місцевості серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Так як всі точки цього перпендикуляра рівновіддалені від пунктів А і В і ніякі інші точки цим властивістю не володіють, то автозаправну станцію потрібно побудувати в точці перетину перпендикуляра з шосе (якщо така точка знайдеться).

2.2. Мешканці трьох будинків вирішили спільними зусиллями побудувати колодязь. Яке місце для колодязя слід вибрати, щоб всі три відстані від нього до будинків були однаковими?

Нехай А, В і С - точки розташування трьох даних будинків. Проведемо серединні перпендикуляри до відрізків АВ і ВС. Тоді точка О їх перетину буде єдиною точкою, рівновіддаленою від точок А, В і С, оскільки для цієї точки виконані рівності АТ = ОВ і ВО = ОС, а якщо точку О вибрати інакше, то для неї хоча б одне із зазначених рівностей буде несправедливо . Зауважимо, що проведені перпендикуляри можуть і не перетнутися, але тільки у випадку, коли точки А, В і С лежать на одній прямій. Таким чином, шукане місце для колодязя - точку О - можна знайти наведеним способом, але лише за умови, що будинки розташовані не на одній прямій.

2.3. Дві магістралі перетинаються під кутом, всередині якого протікає річка. Де побудувати міст через річку, щоб відстані від нього до обох магістралей були однаковими?

Проведемо бісектрису кута, утвореного магістралями. Так як всі точки цієї бісектриси рівновіддалені від магістралей і ніякі інші точки всередині кута цим властивостям не володіють, то міст через річку потрібно побудувати в точці перетину бісектриси з річкою (якщо така точка знайдеться).

2.4. Дві магістралі перетинають канал в різних місцях. Де потрібно розмістити піонерський табір, щоб відстані від нього до каналу і до кожної магістралі виявилися однаковими? Вкажіть місце розташування піонерського табору, при якому ці відстані мінімальні?

Кожна магістраль, перетинаючись з каналом, утворює дві пари вертикальних кутів, а чотири їх бісектриси складають дві прямі (рис. 29). Так як всі точки цих биссектрис рівновіддалені від каналу і відповідної магістралі, а ніякі інші точки цим властивістю не володіють, то всі можливі місця розташування піонерського табору, лежать на перетинах биссектрис кутів при різних вершинах А і В.

Рис. 29

Таких точок перетину може бути, взагалі кажучи, чотири, оскільки будь-яка з двох прямих, що проходять через вершину А, може перетнутися з будь-якої з двох прямих, що проходять через вершину В. Якщо магістралі не паралельні, то ніякі пари цих прямих не паралельні і всі чотири точки перетину реалізуються, а найменша відстань до каналу (а значить, і до магістралей) досягається в тій точці О перетину биссектрис, яка лежить всередині трикутника, утвореного каналом і магістралями. Дійсно, з двох точок перетину бісектриси внутрішнього кута трикутника при вершині А з биссектрисами кутів при вершині В ближче до вершини А (а значить, і до каналу) лежить точка О. Аналогічно з двох точок перетину, що лежать на бісектрисі внутрішнього кута трикутника при вершині В , також вибираємо точку О. Нарешті, остання точка перетину бісектрис зовнішніх кутів трикутника при вершинах А і В лежить разом з точкою О на бісектрисі кута трикутника при вершині С, причому точка О лежить ближче до вершини С, отже, ближче до магістралей і, стало Можливо, до каналу. Якщо ж магістралі паралельні, то чотири бісектриси кутів при вершинах А і В утворюють паралелограм (через симетрії всієї картини щодо середини відрізка АВ), тому обидві точки перетину цих прямих рівновіддалені від каналу.

2.5. В якому напрямку через місто має проходити магістраль, щоб два даних населених пункти лежали по різні боки від неї на однаковій відстані?

Нехай через місто А потрібно провести магістраль, рівновіддалену від пунктів В і С (рис. 30). Так як точки В і С повинні лежати по різні сторони від шуканої магістралі, то вона повинна перетнути відрізок ВС, причому точка перетину повинна збігатися з серединою цього відрізка (що випливає з рівності відповідних прямокутних трикутників). Таким чином, шукана магістраль визначена однозначно, якщо тільки сама точка А не збігається з серединою відрізка ВС (у разі їх збігу годиться будь-який напрямок).

Рис. 30

2.6. Як повинна проходити магістраль, щоб відстані від неї до трьох даних населених пунктів були однаковими? Вкажіть положення магістралі, при якому ці відстані мінімальні.

Позначимо через А, В і С три даних населених пункти. Якщо шукана магістраль може проходити так, щоб всі три точки лежали по одну сторону щодо магістралі (в тому числі і на ній самій) і до того ж на рівній відстані від неї, то точки А, В і С лежать на одній

Рис. 31

прямої, паралельної магістралі. У цьому випадку відстань мінімально, коли магістраль проходить через ці точки.

В іншому випадку дві з даних точок, скажімо А і В, повинні лежати по один бік від шуканої магістралі, а третя - по іншу (рис. 31). Так як магістраль рівновіддалена від точок А і С, то вона проходить через середину відрізка АС (див. Рішення задачі 2.5), а так як вона рівновіддалена від точок В і С, то проходить і через середину відрізка ВС. Таким чином, ми довели, що шукана магістраль проходить по одній з трьох середніх ліній трикутника ABC.

Серед можливих розташувань магістралі найменша відстань до точок А, В і С, рівну половині найменшою висоти трикутника ABC, досягається, коли магістраль паралельна найбільшій стороні цього трикутника (точніше, який-небудь з найбільших сторін, якщо їх декілька), оскільки найменша висота в трикутнику відповідає найбільшій стороні - адже їх твір є константа, рівна подвоєною площі трикутника.

2.7. Магістраль перетинає канал під кутом, всередині якого розташований населений пункт. В якому напрямку слід провести через цей пункт пряму дорогу, щоб відстані по ній до магістралі і до каналу виявилися однаковими?

Проведемо пряму через точку А перетину магістралі з каналом і через даний населений пункт В. Розглянемо точку С па цій прямій, віддалену від точки В на відстань АВ (рис. 32). Тоді якщо шукана дорога перетинає магістраль і канал в точках D і Е відповідно, то точка Звістка центр симетрії чотирикутника ADCE, який, стало бути є параллелограммом. Тепер самі точки D і Е можна знайти, провівши через точку С прямі, паралельні каналу і магістралі, до перетину їх відповідно з магістраллю (в точці D) і з каналом (в точці Е).

Рис. 32

2.8. Залізниця перетинає канал під гострим кутом, всередині якого розташований населений пункт. У якому місці залізниці потрібно розташувати полустанок, щоб відстані від нього до цього пункту і до каналу виявилися однаковими? Вкажіть положення полустанка, при якому ці відстані мінімальні.

З точки А перетину залізниці з каналом через даний населений пункт У проведемо промінь. Опустимо з якої-небудь точки О залізниці перпендикуляр ОС до каналу і знайдемо на промені АВ точки, віддалені

Рис. 33

від точки О на відстань ОС. Таких точок виявиться дві - це буду точки D і Е, що лежать на колі з центром О і радіусом ОС. Для визначеності будемо вважати, що DA> EA (рис. 33). Проведемо відрізки BF і BG, що з'єднують точку В з точками F і G на залізниці і паралельні відрізкам DO та ЕО відповідно. Тоді з подібності відповідних трикутників буде випливати, що точки F і G рівновіддалені від каналу і від точки В, т. Е. Вони вкажуть шукані місця розташування полустанку. Ніяких інших можливостей для розташування полустанка немає, оскільки для будь шуканої точки існує перетворення гомотетии відносно точки А, що переводить шукану точку в точку О, а точку В в точку променя АВ, віддалену від точки О на відстань ОС, т. Е. В одну з точок D або Е.

Мінімальна відстань до полустанку досягається в точці F, для якої маємо

,

ібоі.

2.9. Дві магістралі перетинаються під кутом, всередині якого розташований населений пункт. Як вибрати місце для пристрою ставка круглої форми, щоб відстані від нього до цього пункту і до кожної магістралі виявилися однаковими?

Знайдемо точку О, в якій повинен знаходитися центр ставка. Оскільки точка О рівновіддалена від двох даних магістралей, то вона лежить на бісектрисі кута між ними. Таким чином, завдання зводиться до знаходження на даній прямій l - бісектрисі - точки О, рівновіддаленою від даної точки А - населеного пункту - і від іншої даної прямої - тієї з магістралей, яка утворює з прямою l кут, що містить точку А (цей кут буде обов'язково гострим, так як він дорівнює половині кута між магістралями). Така ситуація розібрана у вирішенні завдання 2.8.

Рис. 34

2.10. Як вибрати місце для пристрою ставка круглої форми, щоб відстані від нього до даної магістралі і до кожного з двох даних населених пунктів, розташованих з одного боку від магістралі, були однаковими?

Знайдемо точку О, в якій повинен знаходитися центр ставка. Оскільки точку О рівновіддалена від двох даних населених пунктів А і В, то вона лежить на серединному перпендикуляре до відрізка АВ (рис. 34). Таким чином, завдання зводиться до знаходження на даній прямій h (перпендикуляре) точки О, рівновіддаленою від точки А чи точки В і від іншої даної прямої l (магістралі). Якщо прямі h і l не паралельні і не перпендикулярні, то вони в перетині утворюють гострий кут, всередині якого розташована одна з точок А і В (адже обидві ці точки лежать по одну сторону від прямої l). Спосіб знаходження точки О в цьому випадку зазначений у вирішенні завдання 2.8. Якщо прямі h і l перпендикулярні, то точка О повинна бути рівновіддалена від точки їх перетину і від точки А, і цей випадок також був розібраний у вирішенні завдання 2.1. Нарешті, якщо прямі h і l паралельні, то точка 0 повинна бути віддалена від точки А на відстань, рівну відстані d між прямими h і l. Тому шукана точка лежить на перетині прямої h і кола з центром А і радіусом d (таких точок перетину буде дві, оскільки відстань від точки А до прямої h менше d - адже одна з точок А чи В розташована між прямими h і l).

§3. Завдання, які пропонуються учням сільської школи

Окружні

3.1. Для можливості повороту автомобіля (або колісного трактора) напрямні (передні) колеса з'єднані з віссю шарніраміітак, що площини коліс (рис. 35) можуть повертатися щодо осі. Під час правильного повороту всі чотири колеса котяться по дугах концентричних кіл, причому проекції коліс є дотичними до цих колах [19]. Доведіть, що правильний поворот можливий лише тоді, коли напрямні колеса повертаються на різні кути.

Рішення. Припустимо противне, чтоТогда рівні і вертикальні їм кути, а значить, за ознакою паралельності прямиеіпараллельни.

З іншого боку, оскільки углиіпрямие, а прямиеі- дотичні до кола кочення, то прямиеісодержат радіуси концентричних кіл. Значить, прямиеіпересекаются. Протиріччя.

Зауваження. Розглянутий ефект на практиці досягається за допомогою так званої рульової трапеції.

Теореми Піфагора

3.2. Телевізійні радіосигнали розповсюджуються на 15% далі меж прямої видимості антени. При якому найбільшій відстані s від передавальної антени висоти Н можна прийняти телепередачу за допомогою прийомної антени висоти h? Визначити, при якій максимальній відстані можна прийняти передачу за допомогою антени висотою 20м з Останкінської телевежі (її висота 538м).

Рішення. Вершина В приймаючої антени (рис. 36) за рахунок кульової поверхні Землі буде в крайньому випадку ще видна з вершини передавальної антени А тоді, коли точки А і В лежать на дотичній до земної поверхні. У цьому случаегде R - радіус Землі. Так як Н дуже мало в порівнянні з 2R, то, а тому. Вважаючи в цій формулеполучаем.

Рис. 36

Визначивши таким же чином ВС, знайдемо АВ. Збільшивши отриману величину на 15%, отримуємо шукану формулу для s (в м): s. З неї тепер неважко отримати відповідь і на друге питання завдання.

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

3.3. Доведіть, що правильний поворот (див. 3.1.) Автомобіля можливий лише тоді, коли напрямні колеса повертаються на такі кути, чтоесть величина постійна при будь-яких возможнихі.

Рішення. В силу умови правильного повороту точка О (рис. 37) повинна лежати на продовженні задньої осі CD. Так як ,, то з прямокутних треугольніковінаходім:

3.4. Величина кута на місцевості часто визначається лінійними промірами. На сторонах кута відкладають відрізки (рис. 38) АВ = АС = 10 м і вимірюють НД Яка величина кута, якщо ВС = 12 м?

Рішення. Нехай D - середина ВС. Тоді AD - висота бісектриса

Рис. 37 Рис. 38

рівнобедреного трикутника. З прямокутного трикутника ADB маємо:

.

3.5. У будівельній практиці широко поширені поняття ухилу і кута нахилу (ділянки дороги, укосу греблі, стінок каналу, скатів даху і т. П.). Нехай ЄС- деякий відрізок на місцевості, CD - вертикальна, ED - горизонтальна пряма. Кутом нахилу РЄ називається кут CED; ухилом відрізка РЄ називається відношення його підйому CD до його горизонтальної проекції ED. Яка залежність існує між кутом нахилу її відрізка ЄС та його ухилом k?

Відповідь., K = tg.

Нерівності трикутника. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

3.6. При проектуванні сільській дорожньої мережі часто виникає необхідність з'єднати дорогами три пункти А, В і С При цьому можна прокласти дороги по сторонам трикутника ABC, а можна з'єднати ці пункти за допомогою вузла розгалуження О (рис. 39) У якому випадку загальна довжина дорожньої мережі буде менше?

Рішення. Продовжимо відрізок АТ до перетину з відповідною стороною трикутника. В силу нерівності трикутника маємо

АТ + ОЕ <АВ + BE, ОС <ОЕ + ЄС.

Склавши ці нерівності, отримаємо:

АТ + ОС <АВ + ВС

Аналогічно доводиться, що

АТ + ОВ <АС + ВС, ВО + ОС <АВ + АС.

Склавши ці нерівності та спростивши, одержимо

АТ + ВО + СО <АВ + ВС + АС.

Рис. 39

Так що використання вузла розгалуження дає більш коротку дорожню мережу.

3.7. На малюнку 40 зображено поперечний переріз земляної греблі, спорудженої на схилі. Перед початком будівництва такої греблі спочатку відзначають на місцевості (стовпами) її подовжню вісь OS, а потім за допомогою так званих від точекідо осі греблі. Знайдіть ці відстані, якщо відомо, що висота греблі OS = h, ширина гребеня, откосиіімеют ухил (див. 3.5.) 1: n, а ухил схилу 1: m.

Рис. 40

Рішення. Виберемо систему координат так, як показано на малюнку. Тоді прямаяімеет кутовий коеффіціентпроходіт через точку, прямаяімеет кутовий коефіцієнт-і проходить через точку, а проходить через початок координат прямаяімеет кутовий коефіцієнт. Тому що розглядаються прямі мають наступні рівняння:

Точка А належить одночасно прямими. Тому її абсціссуможно знайти з рівняння

Вирішивши рівняння, одержимо, що

Аналогічно знаходимо, що

Отримані формули і використовуються на практиці.

ПОДОБИЕ ФІГУР

3.8. На малюнку 41 зображено висотомір лісника. Він являє собою прямокутну пластинку розміром 10Х 10 см із закріпленим у точці А схилом, шкалою на стороні ВС і візирями в точках А і D. Навівши за допомогою візирів сторону AD на вершину дерева Е і помітивши поділ шкали, яке показує схил AF, лісник з допомогою нескладної формули і знаходить висоту дерева. Нехай, наприклад, BF = 3 см. Доведіть, що

(*)

де Н - висота дерева, h - висота людини на рівні очей, d - відстань від дерева до людини (всі розміри в метрах).

Рис. 41

Рішення. Так какGEA = AFB (доведіть це, розглядаючи пари паралельних прямих), то прямокутні трикутники EGA і FBA подібні. Тому (всі розміри в см):

або

Звідси і випливає (*).

Правильного багатокутника

3.9. Висіваючий апарат більшості сівалок являє собою циліндричну котушку з жолобками (рис. 42), які при обертанні котушки захоплюють зерна і висипають з сівалки. При проектуванні котушки спочатку визначають число жолобків п і ширину жолобка t, виходячи з розмірів та механічних властивостей зерен, для яких призначена сівалка. Ці дані дозволяють знайти діаметр котушки.

Яким повинен бути діаметр котушки висівного апарату зернової сівалки у якої t = 13.6 мм (з урахуванням ширини ребра між суміжними желобками), п = 12?

Рис. 42

Рішення. Потрібно знайти діаметр кола, описаного навколо правильного n-кутника зі стороною ап- t. За відомою формулою отримуємо:

ЦЕНТРАЛЬНИЙ КУТ І дуга кола

3.10. Відомо, що пучок світла від фар розходиться під кутом = 2 ° до напрямку руху. Яка видимість від фар на повороті з радіусом закруглення R = 100 м?

Рішення. Нехай автомобіль знаходиться в точці А (рис. 43) Тоді фари висвітлюють дугу АВ, довжину якої l і потрібно знайти. З'єднаємо точки А і В центром кола О.

Нехай С - середина сторони АВ. Кут СОА дорівнює куту РАВ, так як вони доповнюють кут ВАО до 90 °. Поетому.АОС =, AOB = Значить, м.

Рис. 43

3.11. Працюючи на полі, тракторний агрегат часто здійснює холостий «грушовидний» (рис. 44) або «вісімкоподібних» (рис. 45) поворот, який, як припускають в наближених розрахунках, складається з дуги окружностірадіуса R, плавно (за допомогою сполучення) переходить у прямі l і т. При цьому припускають, що сполучення окружностіс прямими l і т здійснюється дугами окружності того ж радіуса R. Крім того, у разі широкозахватного агрегату (наприклад, трактор з кількома сівалками) радіус повороту R виявляється рівним ширині захоплення b.

Для визначення продуктивності тракторного агрегату необхідно знати довжину його холостого пробігу і, зокрема, довжини неодружених поворотів.

а) Знайдіть довжину грушевидного повороту широкозахватного агрегату.

Рішення. В силу симетрії повороту досить розглянути лише його ліву половину. Поворот починається в точці сполучення з прямою l, а в точці сполучення з окружностьюпроісходіт переїзд з одного кола на іншу. Тому для вирішення завдання необхідно побудувати точки сполучення.

З курсу креслення відомо, що центр З сопрягающей дуги є точкою перетину кола радіуса 2R з центром в О і прямий, паралельної l, віддаленої від l на відстані R (рис. 37), причому точка сполучення А лежить на відрізку СО, а точка сполучення В лежить на перпендикуляре до l, опущеному з точки С.

Пусть- Радіанна міра кута COS. Тоді

Рис. 44 Рис. 45

OCB =, і тому

,

,

а значить, довжина повороту

Знайдемо величину. Оскільки

то

а отже, 0,85. Тому

.

б) Знайдіть довжину вісімкоподібних повороту широкозахватного агрегату.

Рішення. Міркуючи так само, як і при вирішенні попереднього завдання, знайдемо (рис. 34), що

Однак у цьому випадку, а тому, отже, 0,25. Тому

.

Відповіді до завдань показують, що там, де це можливо, краще виконання грушевидного повороту, ніж вісімкоподібних, так як при цьому холостий пробіг агрегату коротше.

Зауваження. Використовувану при вирішенні розглянутих задач формулу- довжини дуги через Радіан міру кута - легко (і доцільно) вивести при вивченні радіанної міри кута.

Площі фігур

3.12. Потрібно викопати канал для подачі води до рибоводному ставку. Є можливість влаштувати його у формі напіввиїмки - напівнасипу (рис. 46). У такому випадку найбільш економічним буде таке розташування каналу, при якому перетин виїмки

Рис. 46

рівновелико перетину насипу (не потрібно буде ні відвозити, ні підвозити грунт). Визначте, якою має бути при цьому глибина виїмки, якщо загальна глибина каналу h = 2м, ширина по дну b = 1м, ширина гребеня виїмки а = 1м, а кут нахилу укосів-45 °.

Рішення. Нехай х - глибина виїмки. Тоді площа поперечного перерізу виемкіплощадь перетину насипу. Прирівнявши площі, отримаємо квадратне рівняння. Вирішивши його, знайдемо х = 1,2м.

3.13. У різних розрахунках з експлуатації зрошувальних систем зустрічається величина R = гідравлічний радіус каналу, де F - площа поперечного перерізу каналу (живий перетин), Р - довжина кордону цього перерізу (змочений периметр). Знайдіть гідравлічний радіус каналу (рис. 47), прокладеного каналокопатели Д - 716 (AD = 260 см, ВС = 60 см, ABC = BCD = 135 °).

Рис. 47

3.14. За допомогою теоретичних розрахунків і експерименту встановлено, що з усіх каналів із заданим живим перетином найбільшою пропускною здатністю і одночасно найменшою фільтрацією відрізняються канали з найменшим змоченим периметром. Про такі канали кажуть, що вони мають гідравлічно найвигідніший профіль.

Перетин каналу - трикутник. Яким повинен бути кут при вершині, щоб канал мав гідравлічно найвигідніший профіль?

Рішення. Нехай F - живий перетин каналу, х - величина кута при його вершині, а - довжина бокової сторони трикутника. Так як F = Р = 2а, то

Змочений периметр Р буде найменшим, когдабудет найбільшим, тобто при х = 90 °.

3.15. Для зберігання зерна на елеваторах часто споруджують ємності у формі циліндрів [4]. При цьому будують відразу кілька таких ємностей, що примикають один до одного в певному порядку, а також в деяких місцях споруджують додаткові круглі стінки. Виходить монолітний корпус з поперечним перерізом досить складної конструкції. Зерно засипається не тільки в циліндричні ємності (круглі силоси), але і в ємності утворилися між ними (силоси-зірочки). Для розрахунку ємності силосного корпусу необхідно знати площі перетинів всіх його силосів.

На малюнку 48 зображено поперечний переріз силосного корпусу одного з елеваторів. Знайдіть площі перерізів силосів-зірочок 2 і 3, знаючи діаметр d силосу 1 і нехтуючи товщиною стінок.

Рис. 48

Рішення. Площадьравна, очевидно, різниці між площею квадрата ABCD і площею кола 1:

Якщо від площі квадрата EFGH (яка, очевидно, дорівнює половині площі квадрата) відняти, то ми отримаємо учетверенное площа луночки. Тому площа луночки

а площа фігури 2

Кути між прямою і площиною

3.16. Знайдіть найбільший допустимий кут а нахилу схилу, вздовж якого може стояти, не перекидаючись тому, загальмований трактор МТЗ-50 (цей кут називається граничним кутом підйому трактора).

Рішення. Потрібно знайти кут між площиною схилу і горизонтальною площиною. Він дорівнює куту між прямими (рис. 49) у поздовжньому перетині схилу. З курсу фізики відомо, що для стійкості тіла на похилій площині необхідно, щоб вертикаль, проведена через центр мас А, не виходила за межі опори BD. Розглянемо граничний випадок, коли ця вертикаль АВ проходить через кордон опори. Проведемо ACBD і розглянемо прямокутний трикутник АСВ. Так як

ВАС = а, то.

У трактора МТЗ-50, що цікавлять нас параметри такі АС == 89 см, ВС == 85 см. Тому для нього, отже, граничний кут підйому.

Рис. 49

3.17. При будівництві будинків на селі нерідко влаштовується так звана чотирьохскатний дах, скати якої представляють собою (рис. 50) два трикутника і дві трапеції з однаковим ухилом. Знайдіть площу покрівлі четирехскатной даху будинку довжини а і ширини b, якщо відомо, що кут нахилу скатів даху дорівнює.

Рис. 50

Рішення. Кут між площинами багатокутників - скатів даху - і площиною ABCD дорівнює, а ортогональні (вертикальні) проекції цих багатокутників на горизонтальну площину утворюють прямокутник ABCD. Тому площа покрівлі S =.

Багатогранник

3.18. При одному із способів захисту грунтів від змиву на схилах штампують лунки у формі прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою (сторона квадрата - 50 см) і висотою 10 см. Визначте, скільки літрів води може зібратися в такій лунці на схилі під кутом нахилу 10 °, якщо додатково відомо, що одна зі сторін підстави лунки горизонтальна.

Рис. 51

Рішення. Так як (рис. 51) BL = 50tgl0 ° <10, то в момент найбільшого наповнення шар води являє собою призму висоти 50 см, підставою якої є трапеція. Тому обсяг води

ТІЛА ОБЕРТАННЯ.

3.19. Колоди і дрова на складах лісоматеріалів укладають в штабелі. Облік покладеної в штабелі деревини ведеться через обсяг штабеля за допомогою коефіцієнта полнодревесності, під яким розуміється відношення обсягу деревини в штабелі до геометричного обсягом штабеля (перший менше через наявність порожнеч між стовбурами). Знайдіть коефіцієнт полнодревесності ідеалізованого прямокутного штабеля (рис. 52), що складається з однакових циліндрів.

Рис. 52

Рішення. Нехай r- радіус основи циліндра, h - його висота. Припустимо, що по ширині штабеля укладено m циліндрів, а по висоті - п. Тоді обсяг деревини в штабелі

.

Штабель приймається за паралелепіпед з вимірами 2mr, 2nr і h. Його обсяг

,

значить, коефіцієнт полнодревесності

.

Дивно, що саме такий коефіцієнт полнодревесності вказано в ГОСТ для правильного прямокутного штабеля з метрових колод без кори.

3.20. При захисту ґрунтів від водної ерозії на схилах іноді роблять лунки у формі напівкулі діаметром d. Скільки води може накопичитися в такий лунці на схилі з кутом нахилу?

Рис. 53

Рішення: Об'єм води дорівнює обсягу (рис. 53) кульового сегмента:

де Н - висота сегмента. Так як відстань від центру лунки до поверхні водитоОтсюда знаходимо:

Висновок

Метою даної роботи було розробка змісту теми «Використання вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії» і методики проведення факультативних занять. У роботі була висунута гіпотеза дослідження, яка полягає в тому, що систематичне і цілеспрямоване впровадження в шкільний курс геометрії різноманітного матеріалу сприяє підвищенню інтересу учнів до геометрії і розвиває їх творчі здібності. В результаті природного педагогічного експерименту гіпотеза була підтверджена.

Були вирішені наступні завдання:

1. Вивчено математична, психолого-педагогічна, методична література з проблеми дослідження.

2. Підібрано і адаптований для школярів теоретичний і практичний матеріал, що дозволяє продемонструвати додаток геометричних фактів до вирішення завдань на місцевості.

3. Знайдені ефективні шляхи і способи організації факультативних занять.

4. Розроблено методику проведення факультативних занять з теми «Рішення задач на місцевості».

5. Проведено експериментальну перевірку відібраного матеріалу і методики факультативних занять.

Практична значимість дослідження полягає в тому, що в ньому обґрунтовані можливості вдосконалення навчально-виховного процесу стосовно до процесу викладання математики шляхом проведення факультативних занять, розроблено рекомендації щодо вдосконалення організаційно-педагогічного забезпечення математичних факультативів. Запропоновані науково - методичні матеріали при використанні в масовій практиці дозволяють знаходити ефективні шляхи організації математичних факультативів. Розроблені матеріали можуть бути використані студентами фізико-математичних факультетів при вивченні методики викладання і на педагогічній практиці, а так само вчителями середніх шкіл при організації та проведенні уроків.

На основі вивчення педагогічної, методико-математичної, психолого-педагогічної літератури, а також досвіду роботи вчителів з питання організацій факультативних занять і безпосередньої роботи з вчителями загальноосвітніх шкіл розроблені рекомендації для успішного функціонування математичного факультативу в середній школі.

Важливим завданням є розкриття психолого-педагогічних основ організації факультативних занять як здійснення профільної диференціації.

Основним напрямком запропонованих рекомендацій, є максимальне підвищення ефективності роботи факультативних занять.

Сучасна загальноосвітня школа ставить завдання профорієнтації учнів після закінчення школи, шляхом введення факультативної форми роботи. У роботі сформульовані рекомендації, які підвищать рівень викладання факультативних занять і тим самим підвищать рівень підготовленості учнів.

Література

1. Бабанський Ю.К. Оптимізація процесу навчання: Общедидактический

аспект. - М., 1977.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика після уроків, М., Просвітництво, 1977.

3. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математичний факультатив вчора, сьогодні, завтра

// Математика в школі - 1987 - №5.

4. Бенбямінов М.Р. Математика і сільське господарство, М., 1968.

5. Вілянкін Н.Я., Шібасов Л.Т., Шібасова З.Ф. За сторінками підручника

математики: Арифметика. Алгебра. Геометрія. - М .: Просвещение:

АТ «Учеб. мет. », 1996.

6. Ганьшин В.Н. Найпростіші вимірювання на місцевості, М., 1973 - 126 с.

7. Гильбух Ю., Кондратенко Л., Коробко С. Як не вбити талант? // Народне

освіту. - 1991. - №4.

8. Геометрія. Навчальний посібник для 9 та 10 класів середньої школи. М., 1979.

9. Депман І.Я., Виленкин Н. Я. За сторінками підручника математики. - М. -:

Просвещение, 1989.

10. Цікава алгебра. Цікава геометрія. / Я.І. Перьльман. -

Ростов н / Д: ЗАТ «Книга», 2005.

11. Іваньков П.О. Основи геодезії, топографії та картографіі.-М., 1972

12. Іванов П.А. Технічні вимірювання М., 1964

13. Калмикова З.І. Типологічні принципи розвивається навчання.-

М .: Знание, 1979.

14. Методика викладання математики в середній школі. Приватна методика:

Навч. посібник для студентів пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. / А.Я.Блох,

В.А. Гусєв, Г.В. Дорофєєв та ін .; Упоряд. В.І. Мішин. - М .: Просвеще-

ня, 1987.

15. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика:

Навч. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. інститутів / В.А. Ога-

Несучи, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкін, В.Я. Саннінскій. - 2-е вид., Пе-

раб. і доп. - М .: Просвещение, 1980.

16. Морозова Н.Г. Вчителю про пізнавальному інтересі. М .: Знание, серія

«Педагогіка і психологія», 1979.

17. Педагогічна енциклопедія: в 2-х т. / Под ред. І.А. Каирова, Ф.Н. Пет-

рова. - М .: Радянська енциклопедія, 1964. - Т.1.

18. Педагогічна енциклопедія: в 2-х т. / Под ред. І.А. Каирова, Ф.Н. Пет-

рова. - М .: Радянська енциклопедія, 1964. - Т.2.

19. Петров В.А. Викладання математики в сільській школі: Кн. для учителів

ля. - М..6 Просвещение, 1986.

20. Погорєлов А.В. Геометрія. М., 1990.

21. Сергєєв І.М., Олехнік С.М., Гашков С.Б. Застосуй математику. - М.,

Наука, 1989.

22. Чічігін В.Г. Методика викладання геометрії: Планіметрія. - М .:

Учпедгиз, 1959.

23. Четверухин Н.Ф. Методи геметріческіх побудов, М., Учпедгиз, 1952.

24. Шварцбурд С.І. та ін. Стан і перспективи факультативних занять

з математики: посібник для вчителя. - М., 1977.
Гармонія людини і природи
План Введення Розділ 1. Гармонія людини і природи - складності побудови від античності до середніх віків Розділ 2. Звернення до гармонізації взаємовідносин людини і природи в епоху Відродження Розділ 3. Пошуки гармонії людини і природи в Новий Час Розділ 4. Ідея гармонії в контексті глобальних

Гази та їх вплив на людину
Реферат з екології на тему "Гази та їх вплив на людину" Зміст Введення 1. Гази з нейтральним або позитивним впливом на організм людини 1.1 Вплив водню на організм людини 2. Шкідливі і токсичні гази 2.1 Вплив озону на організм людини та механізми його лікувального дії 2.2 Вплив оксиду

Високоефективна рідинна хроматографія забруднювачів атмосферного повітря і повітря робочої зони
«Високоефективна рідинна хроматографія забруднювачів атмосферного повітря і повітря робочої зони» Зміст Введення Розділ 1.Измерение і оцінка хімічних забруднювачів Розділ 2. Високоефективна рідинна хроматографія Розділ 3. Сучасне устаткування Додаток Література Введення З погляду забруднення

Викиди від котельні
Розрахунок викидів від котельні очисних споруд, що працює на вугіллі Провести оцінку впливу на навколишнє середовище котельні, що знаходиться на території очисних споруд. Котельня оснащена двома котлами ДКВР- 10-13 з витратою твердого палива 10886,400 т / рік, що працює на вугіллі марки «ГР»

Вплив наркотичних речовин на організм людини в умовах техногенного забрудненя території
Тема : Вплив наркотичних речовин на організм людини в умовах техногенного забрудненя території. ЗМІСТ Вступ Розділ Загальні відомості про наркотичні речовини та вплив на організм людини 1.1. Загальні відомості про наркотики 2.2.

Питання екології стосовно до лісового господарства
ЕКОЛОГІЯ Контрольна робота № 1 Питання № 8. Вода, як середовище проживання тварин організмів: щільність, тиск, кисень, освітленість, сольовий режим, течії, температура. Відмінності від повітряного середовища. Пристосування рослин і тварин. Завдяки широкій поширеності води та її ролі в житті

Вплив хімічних, фізичних та біологічних факторів в ході технологічного процесу на навколишнє середовище та здоров'я людини керування
Зміст Введення Визначення Позначення та скорочення 1 Оцінка впливу на довкілля 1.1 Загальні дані про підприємство 2 Комплексний вплив підприємства на навколишнє середовище 2.1 Оцінка викидів в атмосферу. Їх характеристика 2.2 Санітарно-захисна зона підприємства 2.3 Вплив на підземні та поверхневі

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати